专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）（题型专练）（解析版）

专题02相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1相似三角形的概念】【题型2三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4两角对应相等，两三角形相似】【题型5相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】根据勾股定理，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝2．所以AB2+AC2＝AB2．所以△ABC是直角三角形，且∠B＝90°．所以，夹直角的两边的比为＝2，观察各选项，只有C选项中的三角形与所给图形的三角形相似．故选：C．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个直角三角形 D．有一角为70°的两个等腰三角形【答案】B【解答】解：A、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故D不符合题意．B、两个等边三角形的各角度都为60°，各边对应相等，故A符合题意；C、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故B不符合题意；D、这两个三角形可能分别为：30°，30°，120°与30°，75°，75°的两个三角形，故不能判定各有一个角是30°的两个等腰三角形一定相似，故C不符合题意．故选：B．3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组【答案】A【解答】解：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因为其四个角均相等符合相似的条件；④不相似，因为没有指明边的情况，虽然其四个角均相等，不符合相似的条件；⑤不相似，因为无法得到相等的角或成比例的边；⑥相似，因为两正五边形有相等的角或成比例的边故正确的有③⑥，故选：A．4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③【答案】B【解答】解：图形①的三边为：2，，；图形②的三边为：3，，；图形③的三边为：2，2，2；图形④的三边为：3，，，∵＝，＝＝∴①与③相似，故选：B．5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似 B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似 C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【答案】B【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；故选：B．【题型2三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A． B． C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴，即，解得DF＝2，故选：C．7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81【答案】D【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，∴其面积之比是16：81，故选：D．8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，即＝，解得CD＝2．故选：B．9．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为48．【答案】48．【解答】解：法一、∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝×6×8＝24．∵△ABC∽△DEF，∴两个三角形的相似比为＝．∵△ABC的周长为6+8+10＝24，∴△DEF的周长＝2×24＝48．故答案为：48．法二、∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝×6×8＝24．∵△ABC∽△DEF，∴两个三角形的相似比为＝．∴△DEF的三边长分别为12、16、20．∴△DEF的周长＝12+16+20＝48．故答案为：48．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝8cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，因而两个三角形面积的比是81：36，相似三角形面积的比等于相似比的平方，则相似比是9：6，则有12：DE＝9：6解得：DE＝8cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为32cm2．【答案】32．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比是3：4，∴这两个相似三角形的相似比是3：4，∴这两个相似三角形的面积比是9：16，∵较小三角形的面积为18cm2，∴较大的三角形面积为，故答案为：32．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为1：36．【答案】1：36．【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：6，∴它们的相似比为1：6，∴它们的面积比为1：36，故答案为：1：36．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是1：3．【答案】1：3．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴两个三角形的相似比为，1：3，∴它们的周长比是1：3，故答案为：1：3．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE＝4，则BC＝6．【答案】6．【解答】解：∵AD＝6，BD＝3，∴AD：AB＝6：，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，∴BC＝6．故答案为：6．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为27cm2．【答案】27．【解答】解：设△A′B′C′的面积为Scm2，∵△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面积为12cm2，∴12：S＝9：4，解得S＝27cm2．故答案为：27．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．【答案】证明见解答．【解答】证明：∵AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣5＝3，AE＝AC﹣CE＝6﹣2＝4，∵＝＝，＝＝，∴，又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，∴＝＝，∴△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：∵，AB＝18，AE＝15，∴＝＝，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵BF＝3，CF＝5，∴BC＝BF+CF＝8，∵DE＝15，DF＝25．∠E＝90°，∴EF＝＝20，∴，，∴，∵∠B＝∠E＝90°，∴△ABC∽△DEF．【题型4两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：∵∠A＝40°，∠C＝80°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵∠AED＝60°，∴∠AED＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．【答案】见解答．【解答】证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BDC，∴∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．【答案】见解析过程．【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．【答案】见解答．【解答】解：∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB，∵∠DEC＝∠B，∴∠ADB＝∠DEC，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠DEC，∴∠ADC＝∠AED，∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【答案】见解析过程．【解答】证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC【题型5相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．【答案】△ABC∽△DEF．理由见解析．【解答】解：△ABC∽△DEF．理由：∵AC＝3，BC＝3.5，AB＝4，DF＝1.8，EF＝2.1，DE＝2.4，∴，∴△ABC∽△DEF．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：观察图象可知：∠ACB＝∠DEF＝90°，∵AC＝＝2，EF＝＝4，BC＝＝，DF＝＝2，∴＝＝，∴△ACB∽△FED．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．【答案】（1）12；（2）证明见解析．【解答】（1）解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠DCE，∠ABE＝∠D，∴△ABE∽CDE，∴＝，即＝，∴CD＝12；（2）证明：∵AB＝4，AE＝2，AC＝8，∴＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵AC⊥MN，BD⊥MN，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠AOC＝∠BOD+∠AOC，∴∠A＝∠BOD，∴△AOC∽△OBD；（2）解：在Rt△ACO中，AC＝＝＝4，∵△AOC∽△OBD，∴OC：BD＝AC：OD，∴3：BD＝4：3，∴BD＝．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．【答案】．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，在△ADM和△CDM中，，∴△ADM≌△CDM（SAS），∴CM＝AM．（2）解：过点E作EH⊥MC于点H，∵四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，由（1）知：△ADM≌△CDM∴∠AMD＝∠CMD，∵∠CME＝30°，∴∠AMC＝150°，∴∠AMD＝∠CMD＝75°，又∵∠CMD＝∠CBD+∠MCE，∴∠MCE＝∠CMD﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°∵EH⊥MC，∴△EHC为等腰直角三角形，设CH＝a，则EH＝a，在Rt△MEH中，∠CME＝30°，EH＝a，∴ME＝2a，由勾股定理得：，∴，∴．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【解答】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，∴∠DFC＝∠AED，∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠ADE，∴△DFC∽△AED；（2）解：∵CD＝AC，∴＝，由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，∴＝（）2＝（）2＝．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）15．【解答】（1）证明：∵∠CBD＝∠A，∠D＝∠D，∴△BCD∽△ABD；（2）解：由（1）知：△BCD∽△ABD，∴．∵BC：AB＝3：5，∴．设BD＝3x，则AD＝5x，∴CD＝AD﹣AC＝5x﹣16．∵△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3x）2＝5x（5x﹣16），∴16x2﹣80x＝0．解得：x＝0（不合题意，舍去）或x＝5，∴BD＝3x＝15．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵△AEF是△AED翻折得到，∴∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∴∠FAB＝∠EFC，∴△ABF∽△FCE；（2）解：由题意可知，AF＝AD＝8，，DE＝EF，设CE长为x，则，在Rt△ABF中，，∵△ABF∽△FCE，∴，即，解得：．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为4．【答案】（1）见解析；（2）4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCF＝90°，∵＝，∴△ABE∽△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，∵∠AEB+∠BAE＝90°．∴∠AEB+∠EBG＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠EGB＝90°．即AE⊥BF；（2）解：过点E作EM⊥BC，交BF于M，设EM＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCF＝90°，AB＝CD，∴AB∥EM∥CD，∵E，F分别是BC，CD的中点，∴M是BF的中点，∴CF＝2EM＝2x，∴AB＝CD＝4x，∵AB∥EM，∴△ABG∽△EMG，∴＝4．故答案为：4．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．【答案】（1）详见解答；（2）．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，∴∠BAC＝2∠EAB＝2∠BAD，∠EAD＝2∠BAD．∴∠BAC＝∠EAD．又∵，∴△AED∽△ABC．（