第04讲 二次函数y=a（x-h）²的图像和性质（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第04讲二次函数的图像和性质会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；掌握二次函数y=a(x-h)2（a≠0）性质，掌握y=ax²（a≠0）与y=a(x-h)2（a≠0）之间联系。知识点1y=a（x-h)²的图像性质：1．二次函数y=a(x-h)2的图象和性质【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象.先列表：描点、连线，画出这两个函数的图象:抛物线开口方向对称轴顶点坐标增减性开口向上y轴（0,0）当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大。开口向上x=2（2,0）当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大。根据所画图象，填写下表：【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．先列表：描点、连线，画出这两个函数的图象:根据所画图象，填写下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标增减性开口向下y轴（0,0）当x＜0时，y随x的增大而减大；当x＞0时，y随x的增大而增小。开口向下x=－1（－1,0）当x＜－1时，y随x的增大而减大；当x＞－1时，y随x的增大而增小。开口向下x=1（1,0）当x＜1时，y随x的增大而减大；当x＞1时，y随x的增大而增小。总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的性质y=a(x-h)2a>0a<0开口方向开口向上开口向下顶点坐标（h，0）（h，0）最值当x=h时，y取最小值0当x=h时，y取最大值0对称轴直线x=h直线x=h增减性当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。知识点2：y=ax²（a≠0）与y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当h>0时,向右平移h个单位长度得到.当h<0时,向左平移-h个单位长度得到.左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变【题型1二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】【典例1】（2022秋•承德县期末）抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）【答案】B【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0）．故选：B．【变式1-1】（2023•丰顺县校级开学）二次函数y＝（x﹣1）2的顶点坐标为．【答案】（1，0）．【解答】解：因为y＝（x﹣1）2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）【变式1-2】抛物线的开口_________，对称轴是____，顶点坐标是______，对称轴左侧，y随x的增大而_____，对称轴右侧，y随x的增大而____．【答案】

向下直线

增大

减小【解答】∵抛物线中a=-1＜0，∴开口向下，对称轴是为直线，顶点坐标是，对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小．故答案为：向下；直线；；增大；减小．【题型2二次函数y=a(x-h)²图像变换问题】【典例2】（2023•东莞市一模）将抛物线y＝4x2向右平移2个单位，可得到抛物线y＝4（x﹣2）2．【答案】y＝4（x﹣2）2．【解答】解：将抛物线y＝4x2向右平移2个单位，可得到抛物线y＝4（x﹣2）2，故答案为：y＝4（x﹣2）2．【变式2-1】（2022秋•盘龙区期末）二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0），则下列4种方法中错误的是（）A．向右平移2个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度【答案】B【解答】解：A、向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣2）2，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故A正确，不符合题意；B、向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣2，当x＝2时，y＝﹣1，所以平移后的抛物线不过点（2，0），故B错误，符合题意；C、向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝x2﹣4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故C正确，不符合题意；D、沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣x2+4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故D正确，不符合题意；故选：B．【变式2-2】（2022秋•津南区期末）抛物线y＝（x﹣2）2是由抛物线y＝x2平移得到的，下列平移正确的是（）A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度【答案】D【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2平移得到抛物线y＝x2，则这个平移过程正确的是向右平移了2个单位，故选：D．【变式2-3】（2022秋•大连期末）把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝﹣x2﹣3 C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣（x+2）2+3【答案】D【解答】解：把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为：y＝﹣（x+1+1）2+3，即y＝﹣（x+2）2+3．故选：D【题型3二次函数y=a(x-h)²的性质】【典例3】（2023•常州模拟）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象的特征，下列描述正确的是（）A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上【答案】D【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2，∴抛物线开口向下，顶点为（1，0），对称轴为直线x＝1，故选：D．【变式3-1】（2022•兴化市模拟）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．经过原点 C．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标是（﹣1，0）【答案】D【解答】解：∵，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，0），∴x＞﹣1时，y随x增大而增大，把x＝0代入得y＝，∴抛物线经过（0，），故选：D．【变式3-2】（2022·绵阳市·九年级专题练习）关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（

）A．开口方向相同B．对称轴相同C．顶点坐标相同D．当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大【答案】A【解答】的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小；的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大．选A．12.关于二次函数，下列说法正确的是（

）A．当x<1时，y值随x值的增大而增大 B．当x<1时，y值随x值的增大而减小C．当时，y值随x值的增大而增大 D．当时，y值随x值的增大而减小【答案】D【解答】解；如图，由图像可得：当x<1时，y值随x值的增大先减少后增大，故A错误；当x<1时，y值随x值的增大先减少后增大，故B错误；当时，y值随x值的增大而减少，故C错误；当时，y值随x值的增大而减小，故D正确；故选D．【题型4二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】【典例4】（2022秋•大兴区校级期末）已知函数y＝（x﹣2）2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【答案】B【解答】解：函数y＝（x﹣2）2的对称轴为直线x＝2，开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，点A到对称轴的距离为|﹣1﹣2|＝3，点B到对称轴的距离为|1﹣2|＝1，点C到对称轴的距离为|4﹣2|＝2，∵3＞2＞1，∴y2＜y3＜y1，故选：B．【变式4-1】（2022秋•丹徒区期末）点A（2，y1）、B（3，y2）在二次函数y＝2（x﹣1）2的图象上，则（）A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．0＜y1＜y2 D．0＜y2＜y1【答案】C【解答】解：∵点A（2，y1）是二次函数y＝2（x﹣1）2图象上的点，∴y1＝2（2﹣1）2＝2×1＝2；∵点B（3，y2）是二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1图象上的点，∴y2＝2（3﹣1）2＝2×4＝8．∴0＜y1＜y2．故选：C．【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）在抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：将点m，n）和（m+3，n）代入得到：整理得：解得：把点代入可得：解得：故选：A．【题型5二次函数y=a(x-h)²图像与一次函数综合】【典例5】（2022秋•武清区校级月考）如图，二次函数y＝（x+a）2与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、由抛物线可知，x＝﹣a＞0，由直线可知，a＜0，﹣a＜0，故本选项错误；B、由抛物线可知，x＝﹣a＞0，由直线可知，a＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，x＝﹣a＜0，由直线可知，a＜0，﹣a＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，x＝﹣a＜0，由直线可知，a＞0，﹣a＜0，故本选项正确．故选：D【变式5】（2022秋•武清区校级月考）如图，二次函数y＝（x+a）2与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、由抛物线可知，x＝﹣a＞0，由直线可知，a＜0，﹣a＜0，故本选项错误；B、由抛物线可知，x＝﹣a＞0，由直线可知，a＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，x＝﹣a＜0，由直线可知，a＜0，﹣a＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，x＝﹣a＜0，由直线可知，a＞0，﹣a＜0，故本选项正确．故选：D．1.下列二次函数中，对称轴是直线的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解答】A.y=x2+1的对称轴为直线x=0，所以选项A错误；B.y=2(x+1)

2的对称轴为直线x=-1，所以选项B错误；C.y=-(x+1)

2的对称轴为直线x=-1，所以选项C错误；D.的对称轴为直线x=1，所以选项D正确．故选：D．2.知二次函数的图象经过点，且，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵二次函数，∴它的图象开口向上，对称轴为直线．∵图象经过点，且，∴或，解得．故选：B．3.在抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：将点m，n）和（m+3，n）代入得到：整理得：解得：把点代入可得：解得：故选：A．4.若抛物线的对称轴是直线x=-1，且它与函数的形状相同，开口方向相同，则a和h的值分别为（

）A．3和-1 B．-3和1 C．3和1 D．-1和3【答案】A【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x=-1，且它与函数的形状相同，开口方向相同，∴，故选A．5．（2023•三明模拟）将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度得到的抛物线表达式是．【答案】y＝（x+3）2．【解答】解：将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为y＝（x+3）2．故答案是：y＝（x+3）2．6.已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________．【答案】【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2，中，a＝1＞0，∴此函数开口向上，∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小，∴二次函数的对称轴x＝m≥1．故答案为：m≥1．7.在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a的取值范围是______．【答案】【解答】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为(，0)，当对称轴在点P左侧时，，把P（3，1）代入得，解得或(舍去)，当对称轴在点P右侧时，，把Q（9，1），代入得，解得或(舍去)，∴当时，抛物线与线段PQ有交点，故答案为：1．（2022秋•天河区期末）抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】C【解答】解：∵y＝2（x+1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，0），∴抛物线经过第一、二象限，∴不经过第三、四象限，故选：C．2．（2022秋•密云区期末）将抛物线y＝x2向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是（）A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1【答案】B【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是y＝（x﹣1）2．故选：B．3．（2023•增城区一模）已知A（0，y1），B（3，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定【答案】A【解答】解：将A（0，y1），B（3，y2）代入y＝（x﹣2）2，得：，，∴y1＞y2．故选：A．4.关于二次函数，下列说法正确的是（

）A．对称轴是直线 B．开口向下C．最大值是3 D．当时，随的增大而减小【答案】D【解答】解：由二次函数，A.对称轴为，故A不正确，B.开口向上，故B不正确，C.二次函数当时，有最小值为，没有最大值，故C不正确,D.在对称轴的左侧，即时，随的增大而减小，故D正确,故选D5.关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（

）A．开口方向相同B．对称轴相同C．顶点坐标相同D．当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大【答案】A【解答】的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小；的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大．选A．6．若点、都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【解答】解：根据题意得：当时，，当时，，∴．故选：B7.二次函数的顶点坐标为_______．【答案】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，故答案为：．8.二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是()A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位【答案】C【解答】抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.9.抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为______．【答案】【解答】写出顶点关于y轴对称的点，把它作为所求抛物线的顶点，这样就可确定对称后抛物线的解析式．解：抛物线y＝−（x＋2）2顶点坐标为（−2，0），其关于y轴对称的点的坐标为（2，0），∵两抛物线关于y轴对称时形状不变，∴抛物线y＝−（x＋2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为y＝−（x−2）2．故答案为：y＝−（x−2）2．10.有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：甲：与x轴只有一个交点；乙：对称轴是直线x＝4；丙：与y轴的交点到原点的距离为3．满足上述全部特点的二次函数的解析式为_____．【答案】y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2．【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个交点且对称轴是直线x＝4，∴抛物线的顶点坐标为（4，0），∵抛物线与y轴的交点到原点的距离为3．∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2，把（0，3）代入得3＝a（0﹣4）2