专题02 公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系压轴题六种模型全攻略（原卷版）

专题02公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一公式法解一元二次方程的解法】 1【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】 4【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】 6【考点四因式分解法解一元二次方程的解法】 9【考点五换元法解一元二次方程】 12【考点六一元二次方程根与系数的关系】 15【过关检测】 19【典型例题】【考点一公式法解一元二次方程的解法】【例题1】（2023秋·吉林白山·九年级校考期末）解方程：．【变式1-1】（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程：．【变式1-2】（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）解方程：．【变式1-3】（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）按要求解下列方程：(1)用配方法解方程：；(2)用公式法解方程：．【变式1-4】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】【例题2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2023·河南商丘·校考三模）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【变式2-2】（2023·河南三门峡·统考一模）一元二次方程的根的情况（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根【变式2-3】（2023·江西九江·校考模拟预测）已知一元二次方程，下列说法错误的是（

）A．若，则方程没有实数根B．当且方程存在实数根时，两根一定互为相反数C．若，则方程必有两个不相等的实数根D．若，则方程有两个不相等的实数根【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】【例题3】（2023·安徽宿州·校考一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围为________．【变式3-1】（2023·安徽蚌埠·校联考二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．【变式3-2】（2023·四川攀枝花·统考二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．【变式3-3】（2023·安徽蚌埠·校考一模）若关于x的一元二次方程无实数根，则整数k的最小值为___________．【变式3-4】（2023·全国·九年级假期作业）关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【变式3-5】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【考点四因式分解法解一元二次方程的解法】【例题4】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）解方程：．【变式4-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）解方程：(1)；(2)．【变式4-2】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）解方程：(1)；(2)．【变式4-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）用合适的方法解方程：(1)；(2)．【变式4-4】（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）解方程：(1)(2)【考点五换元法解一元二次方程】【例题5】（2023·全国·九年级假期作业）实数满足方程，则的值等于（

）A． B． C．或 D．或【变式5-1】（2023秋·广西河池·九年级统考期末）若实数x，y满足，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或3【变式5-2】（2023·全国·九年级专题练习）若，则______．【变式5-3】（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）阅读材料，解答问题.解方程：.解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得：，，或，，．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解决下列问题：(1)解方程；(2)已知，求的值.【考点六一元二次方程根与系数的关系】【例题6】（2023·四川泸州·统考一模）已知是一元二次方程的两根，则的值是______．【变式6-1】（2023·全国·九年级假期作业）若、为的两根，则的值为______．【变式6-2】（2023·全国·九年级假期作业）设一元二次方程的两根分别是、，计算____________．【变式6-3】（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知a，b满足，，且，则的值为___．【变式6-4】（2023春·全国·八年级专题练习）已知，是方程的两根，则的值为__________．【变式6-5】（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根，且，求k的值．【变式6-6】（2023春·浙江·八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若为正整数，求的值；(2)若满足，求的值．【过关检测】一、选择题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定2．（2023·天津滨海新·统考二模）方程的两个根是（

）A． B． C． D．3．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）若一元二次方程有解，则m的取值范围是（）A． B． C．且 D．且4．（2023·湖北恩施·统考二模）已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（

）A． B． C．或3 D．或15．（2023·河南商丘·统考三模）对于实数、定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定二、填空题6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）方程的根为______________．7．（2023·吉林长春·统考一模）一元二次方程根的判别式的值是_________．8．（2023·江苏·九年级假期作业）设，是方程的两个根，则___________．9．（2023·河南安阳·统考二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．10．（2023春·八年级单元测试）一个三角形的两边长分别为和，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为____．三、解答题11．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．12．（2023春·广东深圳·九年级深圳市福田区石厦学校校考开学考试）解方程：(1)(2)．13．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）解方程：(1)；(2)．14．（2023·北京·统考二模）关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为正整数，求此时方程的根．15．（20