2023年上海市中考数学试卷及答案解析

2023年上海市中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列运算正确的是（）

3252

A.a，+M=“3B.M=a6Q（a）=aD.Va=a

2.在分式方程1+名=5中，设笠^=丫，可得到关于y的整式方程为（）

A.V+5y+5=0B.y2—5y+5=0C.y2+5y+1=0D.y2—5y+1=0

3.下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（）

A.y=6xB.y=—6xC.y=（D.y=-（

4.如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流

量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（）

A.小车的车流量与公车的车流量稳定

B.小车的车流量的平均数较大

C.小车与公车车流量在同一时间段达到最小值

D.小车与公车车流量的变化趋势相同

5.在四边形力BCD中，AD//BC,48=CD.下列说法能使四边形4BCD为矩形的是（）

A.ABHCDB.AD=BCC.NA=乙BD.Z-A=zD

6.已知在梯形4BCD中，连接力C,BD,且4c1BD,设力B=a,CD=b.下列两个说法:①"=

¥，（a+b）;（2）AD=a2+b2＜则下列说法正确的是（）

A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.分解因式：n2-9=.

8.化简：/-一兰的结果为__.

1-x1-x

9.已知关于x的方程Vx-14=2,则％=.

10.函数/(x)=力的定义域为.

11.已知关于x的一元二次方程a/+6x+l=0没有实数根，那么a的取值范围是.

12.在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外

完全相同.那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为.

13.如果一个正多边形的中心角是20。，那么这个正多边形的边数为.

14.一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的,

那么这个二次函数的解析式可以是.

15.如图，在△4BC中，点、D,E在边4B,AC上,24。=BD,CE〃BC,连接DE,设向量同=a.

AC=b＞那么用落b表示DE=.

16.垃圾分类(Refusesorting),是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的

影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类.某市试点区域的垃圾收集情

况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍,

那么估计全市可收集的干垃圾总量为.

17.如图，在△ABC中，ZC=35°,将△ABC绕着点4旋转以0。<a<180。），旋转后的点B

落在BC上，点B的对应点为。，连接AD,AD是4B4C的角平分线，则戊=.

18.在AABC中，AB=7,BC=3,zC=90。，点。在边4c上，点E在C4延长线上，且CD=DE,

如果OB过点4,OE过点。，若OB与OE有公共点，那么OE半径r的取值范围是.

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题10.0分）

计算：弼+熹一0厂2+|门一3|.

20.（本小题10.0分）

（>x4-6

解不等式组：/3x<一+5.

21.（本小题10.0分）

如图，在。。中，弦4B的长为8,点C在B。延长线上，且COSN4BC="OC=^OB.

（1）求。。的半径；

（2）求4BAC的正切值.

22.（本小题10.0分）

“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售.使用这张加油卡加

油，每一升油，油的单价降低0.30元.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.

(1)他实际花了多少钱购买会员卡？

(2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式(不用写出定义域

).

(3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？

23.(本小题12.0分)

如图，在梯形力BCD中力D//BC,点F,E分别在线段BC,AC上，且4凡4c=/.ADE,AC=AD.

(1)求证：DE=AF-.

(2)若N4BC=aDE,求证：AF2=BF-CE.

24.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=1x+6与x轴交于点4,y轴交于点B,点C在线段48上,

以点C为顶点的抛物线M：y=Q/+加；+c经过点8.

yA

(1)求点A,B的坐标;

(2)求b,c的值；

(3)平移抛物线M至N,点C,B分别平移至点P,D,连接CD,且CC〃x轴，如果点「在方轴上,

且新抛物线过点8,求抛物线N的函数解析式.

25.(本小题14.0分)

如图(1)所示，已知在△力BC中，AB=4C,。在边4B上，点尸为边OB中点，以。为圆心，BO为

半径的圆分别交CB,4c于点D,E,连接EF交。。于点G.

(1)如果OG=DG,求证：四边形CEGD为平行四边形;

(2)如图(2)所示，连接OE,如果484c=90。，乙OFE=KDOE,AO=4,求边。B的长;

(3)连接BG,如果AOBG是以0B为腰的等腰三角形，且4。=。凡求需的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

利用同底数基的除法，嘉的乘方，合并同类项，二次根式的化简，对各项进行运算即可.

本题主要考查同底数塞的除法，暴的乘方，合并同类项，二次根式的化简，解答的关键是对相应

的运算法则的掌握.

【解答】

解：4、as4-a2=a3,故A符合题意；

B、a3+a3=2a3,故B不符合题意；

C、（。3）2=。6,故c不符合题意；

。、＜X=|a|，故。不符合题意；

故选A.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

如果与l=y,那么名=：原方程变为：y+i-5=0,方程两边乘最简公分母y,可以把分

式方程转化为整式方程.

本题考查了用换元法使分式方程简便，掌握换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转

化为整式方程是关键.

【解答】

解：设竽=y，则击得，

原方程变为y+；-5=0,

方程两边都乘y得y2+1-5y=0.

即y2-5y+1=0.

故选D

3.【答案】B

【解析】

【分析】

根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案.

本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键.

【解答】

解：4、y=6x,k=6>0,y随x的增大而增大，不符合题意；

8、y=-6x,k=-6<0,y随x的增大而减小，符合题意；

C、y=*fc=6>0,在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；

。、y=-^,k=-6<0,在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；

故选B.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

根据折线统计图逐项判断即可得.

本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键.

【解答】

解：力、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意；

8、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意；

C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意；

。、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；公车车流量的变化趋势是先增加、再减

小，则此项错误，不符合题意；

故选B.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可.

本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识

并灵活运用是解题的关键.

【解答】

解：A：-AB//CD,AD//BC,AB=CD

.••四边形4BCD为平行四边形而非矩形，故A不符合题意；

B「：AD=BC,AD//BC,AB=CD

四边形4BC0为平行四边形而非矩形，故B不符合题意；

C：vAD//BC

•••NA+=180°

vZ.A=乙B

Z.A==90"

•:AB=CD,AD//BC

：.“=ND=90°,

.•・四边形ABC。为矩形，故C符合题意；

D：-：AD//BC

Z.A+Z.B=180°

•••/.A-Z.D

Z.D+Z.B=180°

••・四边形ABCD不一定是矩形，故。不符合题意；

故选C.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形ZBCD为等腰梯形，即4C=BC,AB〃C。时，

①4C=1^(a+b);②AD=黄。2+炉,其余情况得不出这样的结论，从而得到答案.

本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、

勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关

键.

【解答】

解：过B作BE〃CA,交DC延长线于E,如图所示：

AB

若梯形ABC。为等腰梯形即AD=BC,,AB〃C。时，

.,・四边形ACEB是平行四边形，

CE=AB-,AC=BE,

-AB//DC9

•••Z-DAB=4CBA,

vAB=AB,

/.△DABCBA(SAS)

・・・AC=BD,即BD=BE,

又•・•ACJ.8D,

・•・BE1BD,

在RtZkBDE中，BD=BE,AB=a,CD=b,则DE=DC+CE=b+a,

.-.AC=BE=-^=^DE=^(a+b)，此时①正确；

过B作BF1DE于F,如图所示：

在Rt△中，BD=BE,AB=a,CD=b,DE=b+a,

在RMBDE中，BD=BE,

BF1DE

.・.BF=FE=DE=g(a+b),FC=FE-CE=1(a+ft)—a=^(6-a),

BC=VBF2+FC2=J(竽尸+(殍尸=a2+炉,此时②正确;

而题中，梯形4BCD是否为等腰梯形，并未确定；梯形力BCD是4B〃CC还是4D〃BC,并未确定,

••.无法保证①②正确，

故选D.

7.【答案】(n—3)(n+3)

【解析】

【分析】

利用平方差公式进行因式分解即可.

本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

【解答】

解：n2—9=(n—3)(n+3),

故答案为0-3)(n+3).

8.【答案】2

【解析】

【分析】

根据同分母分式的减法计算法则解答即可.

本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键.

【解答】

解：乙一卢=守=竽辿=2;

1-x1-x1-x1-x

故答案为2.

9.【答案】18

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可.

本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键.

【解答】

解：根据题意得，%-14>0,即XN14,

V%—14=2，

等式两边分别平方，x-14=4

解得：x=18,18>14,符合题意，

故答案为18.

10.【答案】x*23

【解析】

【分析】

根据分式有意义的条件可进行求解.

本题主要考查函数及分式有意义的条件，熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关键.

【解答】

解：由/'（乃二力可知：x-230,

・•・xH23;

故答案为x片23.

11.【答案】a>9

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根的判别式可进行求解.

本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.

【解答】

解：•••关于x的一元二次方程a-+6x+1=0没有实数根，

.・.A=b2-4ac=36—4aV0,

解得：a>9；

故答案为a>9.

12.【答案】|

【解析】

【分析】

根据简单事件的概率公式计算即可得.

本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键.

【解答】

解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相

同，所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为p=2=l,

故答案为|.

13.【答案】18

【解析】

【分析】

根据正边形的中心角的度数为360。进行计算即可得到答案.

本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键.

【解答】

解：根据正n边形的中心角的度数为360。+n,

则n=360+20=18,

故这个正多边形的边数为18,

故答案为18.

14.【答案】y=-x2+1（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据二次函数y=。/+必+。的顶点在、轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确

定

a<0,对称轴％=-；=0,c>0,从而确定答案.

2a

本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的

关键.

【解答】

解：••,二次函数y=ax2+b%+c的对称轴左侧的部分是上升的，

••・抛物线开口向下，即aV0,

•・•二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，

，—名=0,即b=0,c>0,

2a

二二次函数的解析式可以是y=-%2+1（答案不唯一）.

15.（答案】gb-g五

【解析】

【分析】

先根据向量的减法可得方=石-五，再根据相似三角形的判定可得△力DEs/iABC,根据相似三

角形的性质可得DE=gBC,由此即可得.

本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键.

【解答】

解：•.•向量荏=出=b^

■.BC=AC-AB=b-a>

•••2AD=BD,

.AD1

AB3

•・,DE//BC,

*'•△ADEIs.ABC,

.竺_竺_工

^~BC~AB=39

:.DE=揶1，

：.DE=^BC=^b-^a,

故答案为!另一g五.

16.【答案】1500吨

【解析】

【分析】

由题意易得试点区域的垃圾收集总量为300吨，然后问题可求解.

本题主要考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键.

【解答】

解：试点区域可回收垃圾占比：1-50%-29%-1%=20%,

试点区域可回收垃圾总量：60+20%=300（吨）

市可收集的干垃圾总量为300x50%x10=1500（吨）；

故答案为1500吨.

17.【答案】（工豹。

【解析】

【分析】

如图，AB=AD,4BAD=a,根据角平分线的定义可得"2。=4BAD=a,根据三角形的外角

性质可得=35°+a,即得NB=AADB=35。+a,然后根据三角形的内角和定理求解即可.

本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟

练掌握相关图形的性质是解题的关键.

【解答】

解：如图，

根据题意可得：AB=AD,/.BAD=a,

•••AC是484c的角平分线，

/.CAD—/.BAD—a,

vZ.ADB=NC+Z.CAD=35°+a,AB=AD,

■■乙B=Z.ADB=35°+a,

则在△ABC中，•••NC+4CAB+/B=180。，

.••35°+2a+35°+a=180°,

解得：a=(^)。；

故答案为(岑)°

18.【答案】<r<2AHL0

【解析】

【分析】

先画出图形，连接BE,利用勾股定理可得BE=利9+4产,AC=2CU，从而可得LIU<rS

2NT10.再根据与OE有公共点可得一个关于r的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即

可得.

本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立

不等式组是解题关键.

【解答】

解：由题意画出图形如下：连接BE,

•・•。8过点4,且4B=7,

.•.08的半径为7,

••,OE过点D,它的半径为r,且C0=0E,

：・CE=CD+DE=2r,

vBC=3,Z-C=90°,

BE=VBC2+CE2=V9+4r2,AC=VAB2-BC2=2-7-10>

在边AC上，点E在。1延长线上,

.(CD<4c即［r<2<T0

“ICE>AC"(2r>2中’

•••V10<r<2V10，

♦•,08与09有公共点,

V9+4r2W7+T•①

AB-rWBEWAB+r，

,7—r<79+4r2(2)

不等式①可化为3r2-14r-40<0,

解方程3r2-I4r-40=0得：r=一2或r=y,

画出函数y=3r2-14r-40的大致图象如下:

由函数图象可知，当yWO时，-2WrW与,

即不等式①的解集为一2<r<^,

同理可得：不等式②的解集为r>2或r<-y,

则不等式组的解集为2<r<y,

又•:<10<r<2<l0-

半径r的取值范围是C由<r<2V10,

故答案为CU<r<2<l0.

19.【答案】解：原式=2+口-2-9+3--石

【解析】根据立方根、负整数指数累及二次根式的运算可进行求解.

本题主要考查立方根、负整数指数惠及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数累及二次

根式的运算是解题的关键.

(3%>%+6①

20.【答案】解：1「小

(-%<-x+5@

解不等式①得：x>3,

解不等式②得：%<y,

则不等式组的解集为3<%<孚

【解析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集.

本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键.

21.【答案】解：(1)如图，延长BC,交。。于点D,连接力D,

由圆周角定理得：^BAD=90°,

•••弦4B的长为8,且cos乙4BC=.

.AB_8_4

••^,

BDBD5

解得80=10,

.•.O。的半径为=5.

(2)如图，过点C作CE148于点E,

力，——、

••・。。的半径为5,

・•・0B=5,

VOC=\oB,

3IS

:.BC=^0B=y,

4

vcosZJlBC=

解得BE=6,

•••AE=AB-BE=2,CE=VBC2-BE2=

NB4C的正切值为黑=I

AE4

【解析】(1)延长BC,交。。于点D,连接AD,先根据圆周角定理可得4BAD=90。，再解直角三

角形可得BC=10,由此即可得；

(2)过点C作CE_L4B于点E,先解直角三角形可得BE=6,从而可得4E=2,利用勾股定理可得

CE=l，则根据正切的定义求解即可.

本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解

题关键.

22.【答案】解：(1)由题意知，1000x0.9=900(元)，

答：实际花了900元购买会员卡；

(2)由题意知，y=0.9(%-0.30),整理得y=0.9%-0.27,

y关于x的函数解析式为y=0.9x-0.27；

(3)当x=7.30,则y=6.30,

•••7.30-6.30=1.00,

优惠后油的单价比原价便宜1.00元.

【解析】(1)根据1000X0.9,计算求解即可；

(2)由题意知，y=0.9。-0.30),整理求解即可；

(3)当x=7.30,则y=6.30,根据优惠后油的单价比原价便宜(x-y)元，计算求解即可.

本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用.解题的关键在于理解题意，正确

的列出算式和一次函数解析式.

23.【答案】(1)证明：---AD//BC,

:.Z-DAE=乙ACF,

Z.DAE=/.ACF

在△OAE和中，\AD=CA

Z-ADE=/-CAF

DAE三△4CF(4S4),

••・DE=AF•

(2)证明：•・•△n4Emz\4C9，

・•・Z-AFC=Z.DEA,

・・・180°-/.AFC=180°-乙DEA,即N/FB=乙CED,

在SBF和ACDE中，｛琮上;温

・•・△ABF〜ACDE,

tAF_BF

''CE='DEf

由(1)己证：OE=AF,

tAF_BF

***~CE=AF9

・・・AF2=BF・CE・

【解析】(1)先根据平行线的性质可得乙ZME=^4CF,再根据三角形的全等的判定可得△ZMEw

△ACF,

然后根据全等的三角形的性质即可得证；

(2)先根据全等三角形的性质可得N4FC=乙。瓦4,从而可得Z4FB=4CED,再根据相似三角形的

判

定可得△ABFfCDE,然后根据相似三角形的性质即可得证.

本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与

性质是解题关键.

24.【答案】解：(1),直线y=4-6与北轴交于点A,y轴交于点8,

.••当％=0时，得y=6,

・・・B(0,6),

当y=0时，+6=0,解得％=—8,

所以4(一8,0),

3

4-

则可设抛物线的解析式为：y=a(x—m)2+-m4-6,

♦.•抛物线M经过点B,

将B(0,6)代入得：cun2+;m+6=6,

vm。0,

3

am=—4

即TH=一工

・•・将？n=-专代入'=a(x-7n7++6,

整理得：y=ax2+|x+6,

所以b=|,c=6;

(3)如图：

•••CZ)//x轴，点P在％轴上，

•••设P(p,0),C(m4m+6),

4

•••点C,B分别平移至点P,D,

二点B,点C向下平移的距离相同,

33

•*»-771+6=6—(彳??2+6),

解得：m=-4,

由(2)知？72=——9

—I?

.•・抛物线N的函数解析式为：y=^(x-p)2,

将B(0,6)代入可得：p=±4/^，

••・抛物线N的函数解析式为：y=裁％-40或y=(%+4V-2)2.

【解析】(1)根据题意，分别将％=0,、=0代入直线丫=,%+6即可求得；

(2)设C(7n,,zn+6),得到抛物线的顶点式为y=Q(%-加尸++6,将B(0,6)代入可求得m=

3

4Q'

进而可得到抛物线解析式为y=ax2+|x+6,即可求得b,c；

(3)根据题意，设P(p,0),C(m，lm+6),根据平移的性质可得点B,点C向下平移的距离相同，即

可求得m=—4,。=得，然后得到抛物线N解析式为：好［0―p)2,将8(0,6)代入可得「=

±4「，即可得到答案.

本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象

和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值.

25.【答案】(1)证明：♦.TC=4B

・••乙ABC=Z.C

vOD=OB

:.Z.ODB=Z.ABC,

・•・zC=Z-ODB

・•.OD//AC,

・・・/是08的中点，OG=DG,

・・・”是AOBD的中位线，

/.FG//FC,BPGE//CD,

・•・四边形CEGD是平行四边形；

(2)解：・・・40FE=4D0E,AO=4,点/边0B中点，

设NOFE=乙DOE=a,OF=FB=a,则0E=OB=2a

由⑴可得0D〃4c

••・Z.AEO—乙DOE—a,

・•・Z-OFE=Z-AEO=a,

又•・,Z.A=Z.A

•••△AEO^LAFE，

AE_AO

'''AF=AE

即AE?=AO-AF,

V44=90°,

在RtAAE。中，AE2=EO2-AO2,

■■■EO2-AO2=AO-AF,