高中数学培优讲义练习（选择性必修二）：专题4.9 等比数列的前n项和公式（重难点题型精讲）（教师版）

专题4.9等比数列的前n项和公式（重难点题型精讲）1．等比数列的前n项和公式若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为

=.2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系(1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点.(2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点.3．等比数列前n项和的性质已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：

(1).

(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.

(3)若{}共有2n(n)项，则=q；

若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.4．数列求和的常用方法(1)公式法求和

①直接用等差、等比数列的求和公式.

②掌握一些常见的数列的前n项和公式.(2)倒序相加法求和

如果一个数列{}中，与首、末两项“等距离”的两项,的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(3)错位相减法求和

错位相减法求和适用于型数列，其中、分别是等差数列和等比数列.(4)裂项相消法求和

利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等.【题型1求等比数列的通项公式】【方法点拨】根据所给条件，利用等比数列的前n项和，求解等比数列的基本量，即可得解.【例1】（2022·湖北·高二期中）已知在等比数列an中，a3=4，前三项之和S3=12A．an=16⋅−C．an=4 D．a【解题思路】设公比为q，求出首项a1的公比q【解答过程】设公比为q，则a1q2=4a所以an=4或故选：D．【变式1-1】（2022·安徽铜陵·高一期末）各项均为正数的等比数列an，其前n项和为Sn.若a2−a5=−78，SA．2n B．2n−1 C．3n【解题思路】设公比为q的等比数列an，运用等比数列的通项公式，列方程，解方程即可得到首项和公比，即可得到数列a【解答过程】由各项均为正数，公比为q的等比数列ana2−a可得a1q−a解得a1=1，则an=a故选：D.【变式1-2】（2022·湖南·高三阶段练习）设正项等比数列an的前n项和为Sn，若2S3=3A．4 B．3 C．2 D．1【解题思路】根据第一个等量关系得到关于公比的方程，解方程得到公比的值，代入第二个等量关系得到关于首项的方程，解方程得到首项，从而得到a2【解答过程】设正项等比数列an的公比为q（q则由2S3=3即6a1+即6+q−2q解得q=2（q=−3由S8=2S7+2将q=2代入得27解得a1则a2故选：A.【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习）等比数列{an}中,若公比A．4n−1 B．4n C．3n【解题思路】依题意列方程直接求解a1【解答过程】由条件得a1+a则a故选：A.【题型2等比数列前n项和的性质】【方法点拨】根据题目条件，结合等比数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.【例2】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3A．488

B．508

C．511

D．567【解题思路】根据等比数列的性质知S3，S6−【解答过程】根据等比数列的性质知S3，S6−S3，S9−故选：C.【变式2-1】（2022·全国·高二）已知等比数列an共有32项，其公比q=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列an的所有项之和是（A．30 B．60 C．90 D．120【解题思路】设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2,则S2【解答过程】设等比数列{an}的奇数项之和为则S1=又S1+60=S2，则故数列{an}故选：D.【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知项数为奇数的等比数列{an}A．5 B．7 C．9 D．11【解题思路】根据题意，设an=a1·【解答过程】根据题意，数列{an}又由数列{a则q=21−1故Sn故选：A.【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在m∈N*，满足S2mA．−2 B．2 C．−3 D．3【解题思路】根据S2mSm=9,a2ma【解答过程】设数列an的公比为q若q=1，则S2m故q≠1.∵∴m=3,∴q故选：B.【题型3求等比数列的前n项和】【方法点拨】根据条件，求出等比数列的基本量，得到首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，进行求解即可.【例3】（2022·北京·高三期中）已知等比数列an中，a1=1，且a5+A．15 B．31 C．63 D．64【解题思路】设等比数列的公比为q，根据已知求出q的值即得解.【解答过程】设等比数列的公比为q，由题得q4所以S5故选：B.【变式3-1】（2022·天津·高二期末）已知等比数列an的前n项和为Sn，若an>0，公比q>1，a3+A．31 B．36 C．48 D．63【解题思路】根据等比中项的性质可得a2a6【解答过程】由等比中项的性质得a2又a3解得a3=4a当a3=4a5=16当a3=16a所以a3=4a此时a1所以S6故选：D.【变式3-2】（2022·河北高三阶段练习）设正项等比数列an的前n项和为Sn，若8a1=2A．510 B．511 C．1022 D．1023【解题思路】设正项等比数列an的公比为q(q>0)，由等比数列的通项公式和前n项和公式代入化简可得6+q−2q2=0，即可求出q，进而求出【解答过程】设正项等比数列an的公比为q(q>0)则由2S3=3即6a1+a2解得q=2（q=−3由S2=a所以S8故选：A．【变式3-3】（2022·四川·高三期中（理））已知等比数列{an}为递增数列，Sn是它的前n项和，若a3＝16，且a2与a4的等差中项为20A．2n−2 C．4n＋1【解题思路】根据等比数列的通项公式和等差中项的应用求出等比数列的首项和公比，结合等比数列前n项求和公式计算即可.【解答过程】设该等比数列的通项公式为an=a由题意知a3=16a解得a1所以Sn故选：B.【题型4等比数列的应用】【方法点拨】对于等比数列有关的数学文化、实际问题，读懂其中蕴含的数学语言，建立合适的等比数列，利用等比数列的通项公式、求和公式进行求解.【例4】（2022·河南濮阳·高二期末（理））5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少16，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（

A．10×686C．80×676【解题思路】8个工程队所建的基站数依次成等比数列，比为56，第一个工程队承建的基站数为a1（万），由等比数列前【解答过程】由题意，8个工程队所建的基站数依次成等比数列，比为56，记第一个工程队承建的基站数为a1（万），则a1故选：B．【变式4-1】（2022·四川省高三阶段练习（文））中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（

）A．该人第五天走的路程为14里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里【解题思路】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为q=12的等比数列{an}【解答过程】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为q=12的等比数列设数列前n项和为Sn，则S故S6=a则an故a5a3S3=192(1−由S6故选：D.【变式4-2】（2022·陕西·模拟预测（文））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人最后一天走的路程是（

）A．192里 B．96里 C．12里 D．6里【解题思路】根据题意可知，此人每天走的路程构成等比数列an，公比为12，再根据等比数列的前n项和公式即可解出a1【解答过程】设第n天走的路程为an，n∈1,2,3,4,5,6，所以此人每天走的路程可构成等比数列an，依题可知，公比为12，所以所以a6故选：D．【变式4-3】（2022·山东青岛·高二期中）集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前n次操作中共去掉的线段长度之和不小于2930，则n的最小值为（

（参考数据：lg2=0.3010，lgA．9 B．8 C．7 D．6【解题思路】通过归纳法归纳出每次舍弃的线段的长度，然后由等比数列的前n项和公式求得前n次舍弃的线段的和，然后列不等式求解．【解答过程】第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度和为23×13，第三次操作去掉的线段长度和为2由此得13所以1−(23nlg23所以n的最小值是9.故选：A．【题型5等差、等比数列的综合应用】根据具体条件，借助等差、等比数列的通项公式、性质、求和公式等进行转化求解即可.【例5】（2022·四川·高三期中）已知等差数列an​和等比数列bn​满足a1=b1(1)求an(2)求和：b1【解题思路】（1）设等差数列an的公差为d，利用a1=1，a（2）设等比数列bn的公比为q，则奇数项构成公比为q2的等比数列，利用b2b4=b32=9求出b3【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d由a1=1，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以an的通项公式a（2）设等比数列bn的公比为q，则奇数项构成公比为q由（1）可得a5=9，等比数列bn满足b由于b1=1>0，可得b3所以q2则b2n−1是公比为3，首项为1b1【变式5-1】（2022·河北·高三阶段练习）已知在等比数列an中，a1+a2=4，且a1,a2+2,a(1)求an(2)设cn=2bn−a【解题思路】（1）由已知条件求得等比数列的公比和首项，即可求得其通项公式；（2）求得bn的通项公式，结合（1）的结论可得cn=【解答过程】（1）因为a1,a2+2,a又因为在等比数列an中，a1+a2=4,所以所以a1+3a1=4（2）由bn>0,b1=1，则bn是等差数列，因为b1=1则cn则T=(2+2=2(1−4n【变式5-2】（2022·山西·高三期中）记等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，等比数列bn的公比为q(q>0)，已知a1=(1)求an，b(2)将an，bn中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列cn【解题思路】（1）根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；（2）由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找出相同项，分组求和，可得答案.【解答过程】（1）由S9=9b4，得9a结合q=23d，可得1+32q=q2，所以数列an的通项公式为a数列bn的通项公式为b（2）由（1）可知，当n=100时，a100又bn=2n，所以b1=2，b2=4，b3=8，b4令2=3n+1，解得n=13，令4=3n+1，解得n=1，令8=3n+1，解得n=73，令16=3n+1，解得n=5，令32=3n+1，解得n=313，令64=3n+1，解得n=31，令128=3n+1，解得所以数列an的前100项中与数列bn中相同的项共有4项，即4，16，64，256，即为将an，bn中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列cn，则cn的前100项为数列an的前100项中剔除与数列b所以cn的前100项和为4+301【变式5-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a1+a3=6，a(1)求数列an与b(2)设cn=3an+54⋅b【解题思路】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式及性质列出方程组求解即可；（2）利用错位相减法求出数列的和．【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d则a1+a3=2∴an设等比数列bn的公比为q则b1+b3=b3∴bn（2）由（1）可知c∴Tn则12两式相减得：12∴Tn【题型6数列的求和】【方法点拨】对于具体的数列求和问题，选择合适的数列求和方法，进行求解.【例6】已知数列an的首项a1=1(1)求证：an(2)求数列an的前n项和S【解题思路】（1）由递推式变形得an+1（2）由（1）求得an=3【解答过程】（1）因为数列an的首项a1=1所以an+1−3又a1故数列an−3n是以（2）由（1）可得an−3所以Sn=31+2×−1+【变式6-1】数列an的前n项和Sn满足(1)求数列an(2)若数列bn为等差数列，且b3=a2，b7=【解题思路】（1）根据an与Sn的关系，采用相减法求数列（2）根据数列bn为等