计算机软件及应用系统分析

1在输入r（t）作用下，系统的输出C（t）=C1（t）+C2（t）C1（t）：一般解、通解。它描述了系统在输入为零时的自由运动状态，即调节过程的自由运动分量。它与输入的形式无关。C2（t）：特解。描述了系统在输入函数作用下的强迫运动状态，即调节过程的强迫运动分量。它与输入的形式有关。自由运动分量稳定与否决定了调节系统的稳定性。而自由运动分量是系统的动态方程式所对应的齐次方程的解2齐次方程为：-pi可能是实数根,也可能是复数根（1）假设-pi=δ是一个实数根，其相对应的响应分量Aieδt如果δ<0,则衰减到零;如果δ>0,则发散;如果δ=0,则等于常数.3因为复数根总是成对出现,假设-pk和-pk+1是一对共轭复数根-pk=δ+jω-pk+1=δ-jω它们对应的两个指数分量如果共轭复根的实部δ<0,则衰减到零;如果δ>0,则发散;如果δ=0,则等幅震荡.4控制系统的稳定性分析1(一)线性系统稳定性的概念：(1)稳定性指系统受到扰动作用后偏离原来的平衡状态，在扰动作用消失后，经过一段过渡过程时间能回复到原来的平衡状态或足够准确地回到原来的平衡状态的性能。(2)稳定性取决于系统本身固有的特性，与扰动信号无关。(二)稳定的充分必要条件： 系统特征方程式所有的根(即闭环传递函数的极点)全部为负实数或具有负实部的共轭复数，即所有的极点分布在s平面虚轴的左侧。5结论:调节系统稳定的充要条件是:系统特征方程所有根的实部都必须是负的.或者说:系统的极点都必须具有负的实部,即系统的极点全部位于左半复平面.6由线性代数可知道,方程根的实部全部小于零的必要条件是系数全部大于零.当系统特征方程的全部系数都大于零时,我们可以通过劳斯稳定判据来判定该系统的稳定性.7控制系统的稳定性分析2(三)劳斯稳定判据：1．劳斯稳定判据2．劳斯稳定判据的应用(1)检验稳定裕量：

(2)确定系统个别参数变化对稳定性的影响，以及为使系统稳定，这些参数应取值的范围。

8劳斯稳定判据1(1)写出给定控制系统的特征方程式

(2)列出劳斯阵列：9劳斯稳定判据2(3)根据劳斯阵列表中第一列各元素的符号，用劳斯判据来判断系统的稳定性。 例设某系统的特征方程式为试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：已知特征方程式全部系数都是正值，计算劳斯阵列如下：因为在劳斯阵列表中，左端第一列元素有负数，所以系统不稳定。又由于第一列元素符号改变两次，因此该系统有两个根在s平面的右半部。10劳斯稳定判据特殊情况1(4)两种特殊情况：

①首元素为零：用一个很小的正数ε代替这个零，并据此计算出阵列中其余各项。例 设某系统的特征方程式为试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：劳斯阵列为当ε→0时，劳斯阵列第一列出现两次符号变化。系统不稳定，有两个根在虚轴右边。

11劳斯稳定判据特殊情况2②某一行中的所有元素都为零：

利用该行上面一行的系数构成一个辅助方程式，对辅助方程式求导后的系数列入该行，这样，阵列表中其余各项的计算可继续下去。例设系统特征方程式为：试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：由特征方程式计算劳斯阵列时，发现其第三行的系数全部等于零，故根据第二行各系数求得辅助多项式：将辅助多项式求导，得新方程用新方程的系数[40]代换第三行的零元素，得出劳斯阵列表。由劳斯阵列表可见，该劳斯阵列第一列系数的符号均相同。这种情况表明，系统的特征根中没有正根，而有一对纯虚根存在。12系统特征方程式为试利用稳定判据判别系统是否具有a＝1的稳定裕量。解：列劳斯阵列表可以看出，第一列中各项符号均为正，所以没有根在s右半平面。系统是稳定的。要求判断系统是否具有稳定裕量a＝1。将s＝z－1代入原特征方程式中，得13新的特征方程式为列出劳斯阵列表由于零(ε)上面的系数符号与零(ε)下面的系数符号相同，表明系统没有在z右半平面的根。但由于z1行的系数为零，故有一对虚根存在。这说明原系统刚好有a＝1的稳定裕量。14已知系统结构图如图所示，试确定使系统稳定的K值范围。解：系统的闭环传递函数为闭环特征方程式为劳斯阵列表为为使系统稳定，必须使K＞0，6－K＞0，即K＜6。因此K的取值范围为：0＜K＜6系统临界放大系数为KL＝6

15频率特性定常线性系统在正弦输入下的稳态输出为同频率的正弦信号稳态输出与输入信号的幅值比稳态输出对输入信号的相位差1)定义16★由传递函数求得到频率响应函数的另一种定义2)求法★由实验方法求★在初始条件为零的条件下，同时测得输入和输出信号，然后求他们的傅里叶变换，最终可得到17奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性与复变函数位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性。181.辅助函数

控制系统的方框图开环频率特性闭环特征方程一、奈奎斯特稳定判据的数学基础建立在复变函数理论基础上的幅角原理是奈氏判据的数学基础。设开环传递函数为取辅助函数：19(3)F(s)与开环传递函数只相差常量1，的几何意义为：平面的坐标原点就是平面上的点。(4-29)(4-28)辅助函数F(s)的特点：(1)F(s)的零点和极点分别为闭环极点、开环极点。(2)F(s)的零点、极点个数相同（n个)。20图4-34F(s)=1+G(s)H(s)关系图21

假设复变函数为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都连续,也就是说在S平面上除奇点外处处解析，那么，对于S平面上的每一个解析点，在平面上必有一点（称为映射点）与之对应。2.幅角原理映射的概念：例如，当系统的开环传递函数为22

图4-35S平面上的点在F(S）平面上的映射23图4-36S和F(s)的映射关系24设在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函数，若在S平面上任选一封闭曲线，并使不通过的奇点，则S平面上的封闭曲线

映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线。当解析点s按顺时针方向沿变化一周时，则在平面上，曲线按逆时针方向旋转的周数N（每旋转2

弧度为一周），或按逆时针方向包围F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即 若N>0，则按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N<0，则按顺时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N=0，则不包围F(s)平面坐标原点。(4-30)25111226幅角原理表达式F(s)的零点,系统的闭环极点F(s)的极点,系统的开环极点27（a）s平面的Nyquist轨迹（c）［GH］平面的奈氏曲线图4-37（b）［F］平面的奈氏曲线二、奈奎斯特轨迹及其映射S平面的右半圆28闭环系统稳定的充分必要条件是，GH平面上的奈奎斯特曲线当时，按逆时针方向包围点P周。奈氏轨迹在GH平面上的映射称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线.三、奈奎斯特稳定判据应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况：1.当系统开环传递函数的全部极点都位于S平面左半部时(P=0）,如果系统的奈氏曲线

不包围GH平面的点（N=0），则闭环系统是稳定的(z=p-N=0），否则是不稳定的；

292.当系统开环传递函数有p个位于S平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线逆时针包围点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数(N=P)，则闭环系统是稳定的(Z=P-N=0),否则是不稳定的；

4.在有些情况下，

曲线恰好通过GH平面的点（注意不是包围），此时如果系统无位于S平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。3.如果系统的奈氏曲线顺时针包围点（N<0），则闭环系统不稳定。(Z=P-N>0）。30例已知反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析系统的稳定性。奈氏曲线该系统稳定31当在S平面的虚轴上（包括原点）有极点时，由于奈氏轨迹不能经过开环极点，必须避开虚轴上的所有开环极点。图表示当有开环极点为零时的奈氏轨迹.图虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹四、奈奎斯特轨迹32图时的奈氏曲线33例已知反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析系统的稳定性。图奈氏曲线稳定不稳定34练习已知反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析系统的稳定性。35稳定不稳定临界稳定36练习：知反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析当解时系统的稳定性.图系统的奈氏曲线稳定临界稳定不稳定37

伯德稳定判据一、伯德图与奈奎斯特图的对应关系二、穿越的概念三、伯德稳定判据38奈奎斯特图及对应的伯德图一、伯德图与奈奎斯特图的对应关系剪切频率幅值穿越频率相位穿越频率39二、穿越的概念注：从开始的正或负穿越，以半次正或负穿越计算。40五

利用Bode图判断系统稳定性幅相曲线（-1，j0）点的左侧对数幅频特性L(w)>0幅相曲线的负实轴对数相频特性的-180o(2k+1)线幅相曲线中由上向下穿越（逆时针）为正对数相频曲线中由下向上穿越-180o(2k+1)线为正幅相曲线中由下向上穿越（顺时针）为负对数相频曲线中由上向下穿越-180o(2k+1)线为负

N=N+-N-N+：幅频特性曲线零分贝线以上频率范围内，对数相频曲线由下向上穿越-180o(2k+1)线的次数；N-：幅频特性曲线零分贝线以上频率范围内，对数相频曲线由上向下穿越-180o(2k+1)线的次数；Z=P-2N41三、伯德稳定判据闭环系统稳定的充要条件是：在伯德图上，当由零变化到时，在开环对数幅频特性为正的频率范围内，开环对数相频特性对线的正穿越与负穿越次数之差为时，系统稳定：否则系统不稳定。若开环传递函数中有积分环节，则由处给相频特性突加个，以虚线表示，计算正负穿越时，补上的虚线看成对数相频特性的一部分。42

系统的相对稳定性

在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。

所谓相对稳定性就是指稳定系统的稳定状态距离不稳定(或临界稳定)状态的程度。反映这种稳定程度的指标就是稳定裕度。一、相对稳定性对于最小相位的开环系统，稳定裕度就是系统开环极坐标曲线距离实轴上点的远近程度。这个距离越远，稳定裕度越大，系统的稳定程度越高。43

系统的相对稳定性稳定裕度的表示:相位裕度和幅值裕度。44二、稳定裕度图最小相位系统的稳定裕度451.相角裕度指幅值穿越频率所对应的相移与－1800角的差值，即(4-30)对于最小相位系统，如果相角裕度，系统是稳定的，且值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度，系统则不稳定。当时，系统的开环频率特性曲线穿过点，系统处于临界稳定状态。使系统达到临界稳定状态时的开环频率特性的相角减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。相角裕度的含义462.幅值裕度h指相位穿越频率所对应的开环幅频特性的倒数值，即对于最小相位系统，当幅值裕度，系统是稳定的，且值愈大,系统的相对稳定性愈好。如果幅值裕度，系统则不稳定。当时，系统的开环频率特性曲线穿过点，是临界稳定状态。使系统到达稳定的临界状态时的开环频率特性的幅值增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的倍数。(4－31)幅值裕度的含义47幅值裕度也可以用分贝数来表示（4－32）1系统相对稳定性的好坏不能仅从相角裕度或幅角裕度的大小来判断，必须同时考虑相角裕度和幅角裕度。2对于一般系统，通常要求相角裕度，幅值裕度（6分贝）。注意：48图稳定裕度的比较49三、相角裕度和幅值裕度的求解方法例已知最小相位系统的开环传递函数为试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。解令50令或51

伯德图法图题Bode图8952例14已知控制系统的开环传递函数为

试分别求出该时的幅值裕度和相角裕度。535455一阶系统的暂态响应分析1

凡其动态特性可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。1．一阶系统的标准形式：(1)微分方程：(2)传递函数：2．一阶系统的单位阶跃响应分析：

一阶系统单位阶跃响应曲线。56一阶系统的暂态响应分析23.一阶系统的暂态性能指标：(1)上升时间tr：(2)控制时间ts：①5%误差带：Δ＝y(∞)－y(t)＝5%y(∞)②2%误差带：Δ＝y(∞)－y(t)＝2%y(∞)57(1)求调整时间ts：

∴T＝0.1(s)→调整时间：ts＝3T＝0.3(s)(取5%误差带)(2)求满足ts≤0.1s反馈系数的值(设该值为Kt)：∴T＝0.01/Kt(s)ts＝3T＝0.03/Kt≤0.1s

→Kt≥0.3s

58二阶系统的暂态响应分析11.典型二阶系统方框图：2.典型二阶系统的传函：

特征方程式： 随着ζ的不同，二阶系统的特征根也不同。

二阶系统单位阶跃响应曲线59二阶系统的暂态响应分析23.欠阻尼情况(0＜ζ＜1)的暂态响应分析： 当输入信号为单位阶跃函数时，系统输出量的拉氏变换为

60二阶系统的暂态响应分析34.欠阻尼二阶系统σ、ζ、ωn和ωd之间的关系：

：极点到虚轴的距离：极点到实轴的距离∴ωn为极点到原点的距离。设os1与负实轴夹角为β，则：61二阶系统的暂态响应分析45.欠阻尼情况(0＜ζ＜1)的暂态性能指标：(1)上升时间tr：

(2)峰值时间tp：62二阶系统的暂态响应分析5(3)超调量σp%：(4)调整时间ts： 在达到稳态值之前，y(t)在两条包络线之间振荡，包络线衰减到0.05或0.02时系统稳定。即：