2024届黑龙江省鸡西市东方红林业局中学数学高一上期末学业质量监测试题含解析

2024届黑龙江省鸡西市东方红林业局中学数学高一上期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．对于实数x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（）条件A.充要 B.既不充分也不必要C.必要不充分 D.充分不必要2．若是的重心，且（，为实数），则（）A. B.1C. D.3．已知集合A={t2+s2|t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是Ax+y∈AB.x-y∈AC.xy∈AD.4．下列命题中正确的是（）A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B.模相等的两个平行向量是相等向量C.若和都是单位向量，则=D.两个相等向量的模相等5．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形A.①④ B.①③④C.②③ D.①③6．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能为A. B.C. D.7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（）A. B.C. D.8．设函数（），，则方程在区间上的解的个数是A. B.C. D.9．函数是上的偶函数，则的值是A. B.C. D.10．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为1，则二面角的平面角的余弦值为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=2，∠B'A'C'=90°，则原△ABC的面积为______12．已知函数其中且的图象过定点，则的值为______13．要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使弧AB的长为m，那么圆心角_________．（用弧度表示）14．在中，已知是x的方程的两个实根，则________15．已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长为时，的值等于________.16．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径R的取值范围是_____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知全集，集合，（1）当时，求；（2）如果，求实数的取值范围18．已知函数是偶函数（1）求实数的值；（2）若函数的最小值为，求实数的值；（3）当为何值时，讨论关于的方程的根的个数19．已知.（1）化简；（2）若α＝－，求f(α)的值.20．已知函数fx=-x2（1）求不等式cx（2）当gx=fx-mx在21．2015年10月，实施了30多年的独生子女政策正式宣告终结，党的十八届五中全会公报宣布在我国全面放开二胎政策.2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，会议指出进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施，有利于改善我国人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持我国人力资源禀赋优势.某镇2021年1月，2月，3月新生儿的人数分别为52，61，68，当年4月初我们选择新生儿人数和月份之间的下列两个函数关系式①；②（，，，，都是常数），对2021年新生儿人数进行了预测.（1）请你利用所给的1月，2月，3月份数据，求出这两个函数表达式；（2）结果该地在4月，5月，6月份的新生儿人数是74，78，83，你认为哪个函数模型更符合实际？并说明理由.（参考数据：，，，，）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】从充分性和必要性的定义，结合题意，即可容易判断.【详解】若，则一定有，故充分性满足；若，不一定有，例如，满足，但不满足，故必要性不满足；故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件.故选：.2、A【解析】若与边的交点为,再由三角形中线的向量表示即可.【详解】若与边交点为，则为边上的中线，所以，又因为，所以故选:A【点睛】此题为基础题，考查向量的线性运算.3、C【解析】∵集合A={t2+s2∣∣t,s∈Z}，∴1∈A，2∈A，1+2=3∉A，故A“x+y∈A”错误；又∵1−2=−1∉A，故B“x−y∈A”错误；又∵,故D“∈A”错误；对于C,由，设，且.则.且，所以.故选C.4、D【解析】考查所给的四个选项：向量是可以平移的，则若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定分别重合，A说法错误；向量相等向量模相等，且方向相同，B说法错误；若和都是单位向量,但是两向量方向不一致，则不满足，C说法错误；两个相等向量的模一定相等，D说法正确.本题选择D选项.5、D【解析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误故选D【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.6、C【解析】当时，单调递增，单调递减故选7、B【解析】由题，根据向量加减数乘运算得，进而得.【详解】解：因为在“赵爽弦图”中，若，所以，所以，所以，所以.故选：B8、A【解析】由题意得，方程在区间上的解的个数即函数与函数的图像在区间上的交点个数在同一坐标系内画出两个函数图像，注意当时，恒成立，易得交点个数为.选A点睛：函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置，要做到观察仔细，避免出错9、C【解析】分析：由奇偶性可得，化为，从而可得结果.详解：∵是上的偶函数，则，即，即成立，∴，又∵，∴．故选C点睛：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.10、C【解析】由已知可得AD⊥DC又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角∵EF=（三角形ACD的中位线），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）∴cos∠BEF=故选C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、8【解析】根据“斜二测画法”原理还原出△ABC，利用边长对应关系计算原△ABC的面积即可详解】根据“斜二测画法”原理，还原出△ABC，如图所示；由B′O′＝C′O′＝2，∠B'A'C'＝90°，∴O′A′B′C′＝2，∴原△ABC的面积为SBC×OA4×4＝8故答案为8【点睛】本题考查了斜二测画法中原图和直观图面积的计算问题，是基础题12、1【解析】根据指数函数的图象过定点，即可求出【详解】函数其中且的图象过定点，，，则，故答案为1【点睛】本题考查了指数函数图象恒过定点的应用，属于基础题.13、【解析】由弧长公式变形可得：，代入计算即可.【详解】解：由题意可知：（弧度）.故答案为：.14、##【解析】根据根与系数关系可得，，再由三角形内角和的性质及和角正切公式求，即可得其大小.【详解】由题设，，，又，且，∴.故答案为：.15、【解析】结合题意，得到圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，计算a，即可【详解】结合题意可知圆心到直线的距离，所以结合点到直线距离公式可得，结合，所以【点睛】考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式，难度中等16、【解析】根据题意分析出直线与圆的位置关系,再求半径的范围.【详解】圆心到直线的距离为2，又圆（x﹣1）2+（y+1）2＝R2上有且仅有两个点到直线4x+3y＝11的距离等于1，满足，即：|R﹣2|＜1，解得1＜R＜3故半径R的取值范围是1＜R＜3（画图）故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查数形结合的思想,属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）（-∞，2）.【解析】先解出集合A（1）时，求出B,再求和；（2）把转化为，分和进行讨论.【详解】（1）当时，，∴∴或.（2）∵，∴.当时，有，解得：；当时，因为，只需，解得：；综上：,故实数的取值范围（-∞，2）.【点睛】（1）集合的交并补运算：①离散型的数集用韦恩图；②连续型的数集用数轴；（2）由求参数的范围容易漏掉的情况18、（1）（2）（3）当时，方程有一个根；当时，方程没有根；当或或时，方程有两个根；当时，方程有三个根；当时，方程有四个根【解析】（1）利用偶函数满足，求出的值；（2）对函数变形后利用二次函数的最值求的值；（3）定义法得到的单调性，方程通过换元后得到的根的情况，通过分类讨论最终求出结果.【小问1详解】由题意得：，即，所以，其中，∴，解得：【小问2详解】，∴，故函数的最小值为，令，故的最小值为，等价于，解得：或，无解综上：【小问3详解】由，令，，有由，有，，可得，可知函数为增函数，故当时，函数单调递增，由函数为偶函数，可知函数的增区间为，减区间为，令，有，方程（记为方程①）可化为，整理为：（记为方程②），，当时，有，此时方程②无解，可得方程①无解；当时，时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为；时，方程②的解为，可得方程①有两个解；当时，可得或，1°当方程②有零根时，，此时方程②还有一根为，可得此时方程①有三个解；2°当方程②有两负根时，可得，不可能；3°当方程②有两正根时，可得：，又由，可得，此时方程①有四个根；4°当方程②有一正根一负根时，，可得：或，又由，可得或，此时方程①有两个根，由上知：当时，方程①有一个根；当时，方程①没有根；当或或时，方程①有两个根；当时，方程①有三个根；当时，方程①有四个根【点睛】对于复合函数根的个数问题，要用换元法来求解，通常方法会用到根的判别式，导函数，基本不等式等.19、（1）（2）【解析】（1）直接利用诱导公式化简即可；（2）根据诱导公式计算即可.【小问1详解】解：；【小问2详解】解：.20、（1）x∈（2）m≥1【解析】（1）由不等式fx>0的解集为x1<x<2可得x2-bx-c=0的两根是1,2，根据根系数的关系可求b=3和c=-2，代入不等式cx2【详解】（1）由fx>0的解集为x1<x<2，则-x2+bx+c>0的解集为x1<x<2则1+2=b1×2=-c由cx则解集为x∈（2）由gx=-x则3-m2解出m≥1【点睛】本题考查了三个二次的关系，（1）二次函数的图像与x轴交点的横坐标，二次不等解集的端点值，一元二次方程的根是同一个量的不同表现形式；（2）二次函数、二次不等式，二次方程常称作“三个二次”，其中的某类的问题常