专题01 相似三角形重要模型-（双）A字型与（双）8字型（解析版）

专题01相似三角形重要模型-（双）A字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线)，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。模型1.“A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔例1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．(1)若，求线段AD的长．(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出．(1)∵四边形BFED是平行四边形，∴，∴，∴，∵，∴，∴；(2)∵四边形BFED是平行四边形，∴，，DE=BF，∴，∴∴，∵，DE=BF，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．例2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在中，、分别是、边上的高．求证：．【答案】见详解【分析】先证明，即有，再结合，即可证明．【详解】∵、分别是、边上的高，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．【答案】##4.8【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案．【详解】∵四边形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，∴，∴，∵，代入可得：，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．(2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．【答案】(1)证明见详解(2)(3)【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出的值；（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长．(1)解：∵，∴，∴，∴．∵，∴．(2)解：由（1）得，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．(3)解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．在中，．∵，∴由（1）得，∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，∴．∴．在中，．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．例5.（2022•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是△ABC的中位线，进而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根据已知易证四边形AEDF是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行线的性质可得∠EDA＝∠CAD，从而可得∠BAD＝∠EDA，进而可得EA＝ED，即可解答；（3）根据A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，从而可得＝，＝，然后把两个式子相加进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵点D是边BC的中点，DE∥CA，∴点E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC，∵点D是边BC的中点，DF∥AB，∴点F是AC的中点，∴FC＝AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；（2）证明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF是菱形；（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF，DF＝AE，∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值为1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41）“8”字模型条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB∥CD；结论：4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.例1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．【答案】

是

##【分析】（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，证明∠CEA=90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB的长，证明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，

∴△ACG≌△CFD，∴∠CAG=∠FCD，∵∠ACE+∠FCD=90°，∴∠ACE+∠CAG=90°，∴∠CEA=90°，∴AB与CD是垂直的，故答案为：是；（2）AB=2，∵AC∥BD，∴△AEC∽△BED，∴，即，∴，∴AE=BE=．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．例2.（2022·广西·中考模拟）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2＝BD•DE．【答案】见解析【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBC，∵BA•BC＝BD•BE．即ABBC=BDBE，∴△（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∠ADB＝∠BCE，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAD＝∠AED，∴△ADE∽△BEC，∴△AED∽△ABD，∴ADBD=DEAD，即AD2＝例3.（2023·浙江九年级期中）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：【答案】【解析】证明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=9∵∠AOB＝∠COD，∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D．∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴AEDF=OEOF，∵AE＝BE，∴CF＝DF．例4．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O．(1)如图1，若连接，则的形状为______，的值为______；(2)若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边．①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：．【答案】(1)等腰三角形，(2)①；②见解析【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，进而可判断△BCD的形状，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根据三角形相似的性质即可求解．（2）①过点E作于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解．②连接，根据，得，即是等边三角形，把旋转得，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到，则可得，根据三角形相似的性质即可求证结论．(1)解：过点C作CH⊥BD于H，如图所示：∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，∴四边形ABHC是矩形，∴AC=BH，又∵BD=2AC，∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，∴的形状为等腰三角形，∵AC、BD都垂直于l，∴△AOC∽△BOD，，即，，故答案为：等腰三角形，．(2)①过点E作于点H，如图所示：∵AC，BD均是直线l的垂线段，∴，∵是等边三角形，且与重合，∴∠EAD=60°，∴，∴，∴在中，，，又∵，，∴，∴，又，∴，又由（1）知，∴，则，∴在中，由勾股定理得：．②连接，如图3所示：∵，∴，∵是等腰三角形，∴是等边三角形，又∵是等边三角形，∴绕点D顺时针旋转后与重合，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解读与图示】图1图2图31）一“A”一“8”模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔2）两“A”一“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：.3）四“A”一“8”模型条件：如图3，DE∥AF∥BC,；结论：AF=AG例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．【详解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；∴，，故B不符合题意，C符合题意；∴，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．例2．（2023·浙江·杭州九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．【答案】（1）3；（2），证明见解析【分析】（1）先证明，再证明，得到，则问题可解；（2）根据题意分别证明，问题可证．【详解】解：（1）是的中点，是的中点，，，，，，，，，，，，，．（2）当，时，由（1）可得，，，，，，，又，，，，，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．例2.（2023·广东九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC,∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2．例3.（2022·浙江九年级期中）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，ABCD=12，BFCF=12．（1）求证：AB∥EF；（2）求S△ABE：【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB∥CD，∴ABCD∵BFCF=12，∴BEED=BFFC，∴EF（2）设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△EDC=（ABCD）2=14，∴∵AECE=ABCD=12，∴∴S△ABE：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝；（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．课后专项训练1.（2021·山东淄博·中考真题）如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意易得，，则有，，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，即；故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2.（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，中，是它的角平分线，是上的一点，交于点，交于点为的中点，若，，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质可知是等腰三角形，再根据相似三角形的判定与性质可知，进而解答即可．【详解】解：过点作，交的延长线于点，∵是的角平分线，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴设，，∴，∵是的中点，∴，∴，过作，垂足为，∴，，∴，故选：．

【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，中点的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，则．【详解】∵平行四边形ABCD∴，AD=BC∵E为边AD的中点∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G，则，∴，∵△AEF的面积为2∴故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题．4．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，，，，则对角线与的长分别是（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】过点B作交于点O，证明，可求得，，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而求出的长．【详解】过点B作交于点O，如图所示：

∵，，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∵，∴，∴．在中，，即，解得：，∴．∵，，∴，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理求出BE的长度．5．（2022秋·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点F在平行四边形的边上，延长交的延长线于点E，交于点O，若，则的值为（

）

A． B． C．2 D．【答案】C【分析】先由平行四边形性质得到，，证明得到，进而得到，再证明求解即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∴，∴，∴，则，∵，，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．6．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计，风筝顶角的度数为，在上取D，E两处，使得，并作一条骨架．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，C两点间的距离大约是（）（参考数据：）

A．41 B．57 C．82 D．143【答案】C【分析】设与交于点，连接，交于点，根据已知易证，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．【详解】解：设与交于点，连接，交于点，

，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，两点间的距离大约是，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2023·广东深圳·校考三模）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝．【答案】2【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．8．（2023春·山东东营·八年级统考期末）如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，则cm．

【答案】8【分析】首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，则，然后根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形，∴．∵，∴．∵，∴，∴，即，∴，∴．故的长为．故答案为：8【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些性质及判定是解题的关键．9．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在中，的垂直平分线与的延长线交于点，与交于点，若，则的长为．

【答案】【分析】如图所示，取中点H，连接，先求出，再由线段垂直平分线的性质得到，点D为中点，证明得到，则，再由三角形中位线定理得到，进而证明，得到，利用勾股定理可得．【详解】解：如图所示，取中点H，连接，∵，∴，∴，∵垂直平分线段，∴，点D为中点，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵点H为中点，点D为中点，∴为中位线，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．10．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，与相交于O，则．

【答案】【分析】如图所示，延长交各格线于点D，证明，即可得到．【详解】解：如图所示，延长交网格线于点D，由网格的特点可知点E在格点处，∵，∴，∴，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．11.已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵DE∥AB，∴CDAC∵CD2＝CF•CA．∴CDAC=CFCD，∴CFCD（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，∵AC•CF＝BC•CE，∴ACBC=CECF，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，∴△BAD∽△DBE，∴BABD=BDDE∴BD212．[阅读理解]构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段DF的中点．[经验运用]请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝CF，连接EF交AC于点G．求证：①G是EF的中点；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若点E在BA的延长线上，点F在线段BC上，DF交AC于点H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它条件不变，请直接写出GH的长．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）BE＝CG，理由详见解析；（3）．【分析】（1）①过点E作EI∥BC交AC于点I，证明△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG即可；②由等腰直角三角形的性质得出AI＝AE，由平行线得出＝＝，证出IC＝BE，由全等三角形的性质得出IG＝CG＝IC，即可得出结论；（2）作EI∥BC交AC于点I，由三角函数证出AE＝2IE，得出IE＝CF，证△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG，IG＝CG，设IE＝a，则AE＝2a，求出＝，则＝＝，得出IC＝EB，即可得出结果；（3）作FP∥AB交AC于P，则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，则tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，求出AE＝PF＝2，BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，AC＝3，证明△CPF∽△CAB，得出＝＝，求出PC＝AC＝，PA＝2，AG＝PG＝，再证明△PFH∽△CDH，得出＝＝，得出PH＝PC＝，即可得出结果．【详解】（1）证明：①过点E作EI∥BC交AC于点I，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠AEI＝∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠AIE＝∠BAC＝45°，∴AE＝EI，∵AE＝CF，∴CF＝EI，∵EI∥BC，∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，在△EIG和△FCG中，，∴△EIG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，∴G是EF的中点；②在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，AE＝EI，∴△AEI是等腰直角三角形，∴AI＝AE，∴＝，∵EI∥BC，∴＝＝，∴IC＝BE，∵△EIG≌△FCG，∴IG＝CG＝IC，∴CG＝×BE＝BE；（2）解：BE和CG之间的数量关系为：BE＝CG；理由如下：过点E作EI∥BC交AC于点I，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，∴tan∠IAE＝＝＝，∴AE＝2IE，∵AE＝2CF，∴IE＝CF，∵EI∥BC，∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，在△EIG和△FCG中，，∴△EIG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，IG＝CG，设IE＝a，则AE＝2a，在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，∴AI＝＝＝a，cos∠IAE＝，即＝＝，∵EI∥BC，∴＝＝，∴IC＝EB，∵IG＝CG＝IC，∴CG＝BE，∴BE＝CG；（3）解：作FP∥AB交AC于P，如图3所示：则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，∴tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，∴PF＝2CF，∵AE＝2CF，∴AE＝PF＝2，同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），∴AG＝PG，∵BF＝2，CF＝1，∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，∴AC＝＝＝3，∵FP∥AB，∴△CPF∽△CAB，∴＝＝，∴PC＝AC＝，PA＝AC﹣PC＝2，∴AG＝PG＝PA＝，∵FP∥CD，∴△PFH∽△CDH，∴＝＝＝，∴PH＝PC＝，∴GH＝PG+PH＝＝．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；作辅助线构建全等三角形与相似三角形是解题的关键．13．（2022·湖南常德·九年级校考期中）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．（1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．①求证：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②．【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题．（2）如图1，证明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根据等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行线分线段成比例定理得：，由此可得结论；（3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再证明△ACB∽△GEB，列比例式可得结论；②如图3，作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，根据AH∥PD，得，设PD=3h，AH=4h，根据EG∥AC，同理得，设BE=y，BC=4y，利用三角形面积公式代入可得结论．【详解】（1）证明：∵AC=AB，∴∠ACB=∠B，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，∴∠BDE=∠ACD；（2）证明：如图1，∵EG∥AC，∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，由（1）知：∠DCA=∠BDE，∵DC=DE，∴△DCA≌△EDG（AAS），∴AD=EG，∵∠B=∠ACB=∠BEG，∴EG=BG=AD，∴DG=AB，∵DE=2DF，AF∥EG，∴，∴DG=2AD=2AG，∴AB=DG=2AG；（3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，则有∠A=∠G，∵AB=AC，CD=DE，∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，∴∠ACD=∠EDG，在△DCA和△EDG中，∵，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，∴，∵EG=AD，AC=AB，∴AB•BE=AD•BC；②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD，∵AF∥EG，∴，∵DE=4DF，∴，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴，设PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴，设BE=y，BC=4y，∴S△ABC=BC•AH===8yh，S△DCE=CE•PD==yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强．14．（2023·浙江金华·统考一模）如图，在中，，，点P是边上的动点，连接并延长交直线于点E，将沿直线折叠得到，直线交直线于F．

(1)求证：．(2)若四边形为菱形，且．求的值．(3)若点P为的中点，在改变长度的过程中，当成为以为腰的等腰三角形时，求的长．【答案】(1)见解析(2)或(3)13或3或或或【分析】（1）由四边形是平行四边形得到，则，由折叠可知，，则，即可得到结论；（2）过点B作于点M，分点F在点D的右侧和点F在点D的左侧两种情况进行求解即可；（3）分五种情况，分别画出图形，分别进行求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，由折叠可知，，∴，∴；（2）过点B作于点M，

则，设，且，∵，四边形为菱形，∴，在中，，即，解得，∴，∴，当点F在点D的右侧时，如图，

∵，∴，在中，，由（1）可知，∴，∴，∵，∴，∴，当点F在点D的左侧时，如图，点F与点M重合，

则，∴，同理可得，综上所述，的值为或；（3）①当时，点F在点E的左侧，如图，过点B作于点M，

由（1）（2）可知，，∵，∴，∴，∵点P是的中点，∴,∵，∴，∴，∴，∵，∴；②当时，若点F在点E的右侧，如图，

则，同理可得，，∵，∴，∴；③当时，若点F在线段上，如图，过点B作于点M，

由（1）（2）可知，，