平面向量基本定理与坐标表示

2.3.1平面向量基本定理复习1.数乘定义？2.平面向量共线定理？复习3.同起点的三个向量终点共线的充要条件：»

创设情境、提出问题（1）力的分解（2）速度的分解

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使

a=λ1e1

+λ2e2

平面向量基本定理：证明：A1A2当A点不在OE1、OE2两直线上时，过点A分别作OE1、OE2的平行线，得OA1AA2.

由平行向量基本定理知，必存在实数λ1、λ2，使OA1＝λ1

e1

，OA2＝λ2

e2

，

∴a=λ1

e1+λ2

e2当A点在直线OE1或OE2上时，结论也成立.任取一点O，作OE1＝e1，OE2＝e2，OA=aOE2e2Ae1

假设存在实数m1，m2，m1≠λ1，或m2≠λ2

，且仍有a＝m1e1＋m2e2，则λ1

e1+λ2

e2＝m1e1＋m2e2，∴(λ1－m1)e1＝(m2－λ2)e2，不妨设m1≠λ1，则e1＝m2－λ2λ1－m1e2，∴e1与e2共线，这与已知矛盾，∴必有m1＝λ1且m2＝λ2，∴存在惟一的一对实数λ1、λ2，

使a=λ1e1+λ2e2

成立

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.平面向量基本定理告诉我们：（1）任一向量都可沿两个不平行的方向分解为两个向量的和；（2）任一向量a都可表示为一组基底{e1、e2}的线性组合a=λ1e1+λ2e2；（3）这样的表示是惟一的.判：下面向量a、b不共线的有(e1、e2不共线)（）

(1)a=2e1,b=-2e2(2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2(3)a=4e1-e2,b=e1-e2(4)a=e1+e2,b=2e1-2e2.A.(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)

不共线向量有不同的方向，它们的位置关系可以用夹角来表示。关于向量的夹角我们规定：找向量夹角必须保证向量有相同的起点应用举例：应用举例：应用举例：应用举例：应用举例：应用举例：应用举例：应用举例：应用举例：用平行四边形法则呢？应用举例：OABC例3、已知平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点且，用表示.例3、已知平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点且，用表示.解：设练1、已知ABCD为矩形，且AD=2AB，又△ADE为等腰三角形，F为ED的中点，表示向量e1e2练2.若a、b是不共线的两向量,且

=λ1a+b,=a+λ2b(λ1、λ2∈R),则能保证A、B、C三点共线的有（）A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=0平面向量的正交分解定义:走进新课:

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.(1)取基底:与x轴方向,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.xyoa⑴⑴式叫做向量的坐标表示.如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。(2)

任作一个向量a，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj.我们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作得到实数对:在直角坐标系内，我们分别a其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.(1)取基底:与x轴方向,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.xyoa⑴如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。(2)

任作一个向量a，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj.我们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作得到实数对:在直角坐标系内，我们分别a-4-3-2-11234例4.用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.AB12-2-1xy453练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.解：1.已知a

，b

，求a+b，a-b．解：a+b=(i+j)+(i+j)=（+)i+（+)j即a+b同理可得a-b

结论1：两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差平面向量的坐标运算练习．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b的坐标．解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；

结论1：两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差平面向量的坐标运算2．已知．求xyO解：结论2：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．

结论2：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．

平面向量的坐标运算结论3：实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．结论3：实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．练习．已知a=（2，1），b=（-3，4），求3a，3a+4b的坐标．

对向量坐标表示的几点说明(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)有向线段表示的向量坐标等于有向线段的终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标.(3)相等的向量有相等的坐标.例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。xyOA(-2,1)B(-1,3))C(3,4)D(x,y)例2.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是

（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDxyO解法１：设点D的坐标为（x,y）解得x=2,y=2所以顶点D的坐标为（2，2）例2.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是

（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDxyO解法2：由平行四边形法则可得而所以顶点D的坐标为（2，2）变.如图，已知平行四边形的三个顶点（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求第4个顶点的坐标。ABCxyO课堂练习：4.平行四边形ABCD的对角线交于O，且则的坐标为_______________-12(2,4)（-3，9）（-5，5）两个向量共线的充要条件是什么?那么，如何用坐标表示两个共线向量?复习推导过程：向量共线的坐标表示:向量共线的两个等价条件向量共线的两个等价条件讲解范例例6例7、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），判断A、B、C三点的位置关系。ABC例3.讲解范例练习例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是

（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。xyOP1P2P(1)解：（1）所以，点P的坐标为xyOP1P2P(2)xyOP1P2P例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是

（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。解：（2）xyOP1P2P(2)xyOP1P2P例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是

（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。解：（2）解：（2）xyOP1P2P例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是

（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。解：（2）xyOP1P2P例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是

（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。xyOP1P2P例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是

（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。解：（2）例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是

（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。思考.若P1P:PP2＝

如何求点P的坐标?xyOP1P2POAB中,P为直线AB上一点,P1P=λPP2(λ≠-1),P1P2OP例题在ΔOAB中，点C分OA边为1：3，点D分OB边为2：3，AD与BC交于P，设OA＝a，OB＝b，直线OP交AB于E(1)以a、b为基底，求OP的分解式；(2)求E分AB的比.∵P在直线AD上，OABCDPE解（1）由已知，得OD＝b，OC＝

a

2514∴存在实数t,使OP=(1–t)OA+tOD=(1–t)a+tb;25∵OP以a、b为基底的分解式惟一，解得t=,561–t=m,1–m=t.{2514∴∴OP=a+b.1613同理，存在实数m,使OABCDPE=(1–m)b+ma.14OP=(1–m)OB+mOC