北京市海淀区首师大附2022-2023学年数学八年级上册期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B

铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.已知一个三角形的两边长分别为2和4,则这个三角形的第三边长可能是（）

A.2B.4C.6D.8

2.现有如图所示的卡片若干张，其中4类、B类为正方形卡片，。类为长方形卡片，

若用此三类卡片拼成一个长为a+2b,宽为a+b的大长方形，则需要C类卡片张数为

A.1B.2C.3D.4

r36

3.解分式方程2+=,下列四步中，错误的一步是（）

x+1x-1X2-1

A.方程两边分式的最简公分母是X2—1

B.方程两边都乘以（X2—1）,得整式方程2（x-l）+3（x+l）=6

C.解这个整式方程得：x=l

D.原方程的解为:x=l

4.下列各式：X/2+1,3。一：区中,分式的个数有（）

3x+l'2a+2'n

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.已知A4BC三&4BC,A与4对应，B与B对应，AA=70°,ZB=50°,则/c

ill111

的度数为（）

A.70°B.50°C.120°D.60°

6.在平面直角坐标系中，直线/:y=x+3与直线/：y=mx+”交与点4（一2力），则

12

fy=x+3

关于x,，的方程组彳的解为（）'

[y=mx+n

x=-1

D.”

8.下列图形中，是轴对称图形的有（）

9.如图，在四边形/BCD中，点P是边CD上的动点，点。是边BC上的定点，连

接力P，PQ,E,F分别是%P，也的中点，连接EF.点P在由C到D运动过程中,

A.保持不变B.逐渐变小C.先变大，再变小D.逐渐变大

10.八年级学生去距学校s千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了1小时

后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车同学速度的m

倍，设骑车同学的速度为x千米/小时，则可列方程（）

SSSS11s

A.—=—+1B.—--=1C.—=-----+1D.----------=1

XmxmxxXmxmx-x

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.在实数范围内规定一种新的运算“☆”，其规则是：a☆b=3a+b,已知关于x的不

等

则m的值是,

12.规定一种新的运算：△★B=4XB—4+B,如4*2=4X2-44-2=6,贝1]6*(-2)的

值为.

13.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为

14.如图，图中两条直线/，/的交点坐标的是方程组的解.

12

15.一个多边形的内角和是外角和的-倍，那么这个多边形的边数为

2

16.小亮是位足球爱好者，某次在练习罚点球时，他在10分钟之间罚球20次，共罚进

15次，则小亮点罚进的频数是,频率是.

17.如图，一次函数V=x+b与一次函数y=kx-1的图像相交于点尸，则关于x的

12

18.已知直线AB的解析式为：y=kx+m,且经过点

b

A(a,a),B(b,8b)(a>0,b>0).当一是整数时，满足条件的整数k的值

a

为——•

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，在平面直角坐标系中，

(1)作出A4BC关于y轴对称的A4BC；

111

(2)在x轴上找出一个点P,使点P到A、B两点的距离相等.

20.(6分)某超市用5000元购进某种干果后进行销售，由于销售状况良好，超市又调

拨9000元资金购进该种干果，购进干果的数量是第一次的1.5倍，但这次每干克的进价

比第一次的进价提高了5元.

(1)该种干果第一次的进价是每千克多少元？

(2)如果超市按每千克40元的价格销售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售

价的6折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？

21.(6分)阅读与思考

X2+(p+q)x+pq型式子的因式分解

X2+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解

因式呢？

我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：(x+p)(x+q)=X2+(p+q)x+pq,因式

分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得X2+(p+q)x+pq=(x+p)

(x+q).利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，

将X2-X-6分解因式.这个式子的二次项系数是1,常数项-6=2X(-3),一次项系

数-1=2+

(-3),因此这是一个X2+(p+q)x+pq型的式子.所以x2-x-6=(x+2)(x-

3).上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线

的左上角和左下角：再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相

乘，秒婀D，使其等于一次项系数，如图所示.

1X2+1X(-3)=-1

这样我们也可以得到X2-X-6=(x+2)(x-3).这种分解二次三项式的方法叫“十字

相乘法”.

请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：

(1)分解因式：y2-2y-1.

(2)若x2+mx-12(m为常数)可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所

有可能值.

22.(8分)如图，在Rt^ARC中，Z0900,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，

1

分别交AC,A8于点M.N,再分别以点M、N为圆心，大壬MN的长半径画弧，两

2

弧交于点P,作射线AP,交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△48。的面积是

23.(8分)已知点M(2a-b,5+a),N(2b-1,-a+b).若点M,N关于y轴对称，

求(4a+b)2019的值.

24.(8分)某商店两次购进一批同型号的热水壶和保温杯，第一次购进12个热水壶和

15个保温杯，共用去资金2850元，第二次购进20个热水壶和30个保温杯，用去资金

4900元(购买同一商品的价格不变)

(1)求每个热水壶和保温杯的采购单价各是多少元？

(2)若商场计划再购进同种型号的热水壶和保温杯共80个，求所需购货资金。(元)

与购买热水壶的数量m(个)的函数表达式.

25.(10分)定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点B(c,d),若点T(x,y)

a+cb+d

满足x=—，y=----＞那么称点7是点4，B的融合点.

33

例如：4—1,8),5(4,-2),当点T(x,y)满是x=二匕㊁=1,n=生1二1=2时，

33

则点TQ2)是点A,B的融合点，

(1)已知点4-L5),5(7,7),6(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点.

(2)如图，点D(3,0),点E&2/+3)是直线/上任意一点，点T(阳j)是点。，E

的融合点.

①试确定J与X的关系式.

②若直线E7'交乂轴于点H,当A。7H为直角三角形时，求点E的坐标.

26.(10分)某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图

书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种

书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元.

(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？

(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜

的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、B

【分析】设第三边的长为X,再由三角形的三边关系即可得出结论.

【详解】设第三边的长为X,

•••三角形两边的长分别是2和4,

/.4-2<x<4+2,即2<*<6,

只有B满足条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小

于第三边是解答此题的关键.

2、C

【分析】拼成的大长方形的面积是(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2,即需要一个边长为

a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab.

【详解】(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.

则需要C类卡片张数为3张.

故选c.

【点睛】

此题考查多项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则.

3^D

【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，

经检验即可得到分式方程的解.

【详解】解：分式方程的最简公分母为(X—D(X+1)=X2—1,故A选项正确；

方程两边乘以(x-l)(x+l),得整式方程2(x-l)+3(x+l)=6,故B选项正确；

解得：x=l,故C选项正确；

经检验x=l是增根，分式方程无解.故D选项错误；

触D.

【点睛】

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式

方程求解.解分式方程一定注意要验根.

4、B

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有

字母则不是分式.

x3a-b

【详解】解.------------的分母中含有字母，是分式；

3x+ia+2

x2+1a

——•，一的分母中不含字母，不是分式；

2n

故选：B.

【点睛】

本题主要考查分式的概念，掌握分式的概念是解题的关键.

5、D

【分析】根据全等三角形的对应角相等，得到NB=NB=50。，然后利用三角形内角

1

和定理，即可求出NC.

【详解】解：^ABC=^ABC,

111

:.NB=NB=50°,

1

・.・N/+NB+NC=180。，4=70。，

AZC=180°-70°-50°=60°；

故选择：D.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对

应角相等，以及熟练运用三角形内角和定理解题.

6、A

【分析】直接根据图像及一次函数与二元一次方程组的关系进行求解即可.

【详解】解：由直线/〔：y=x+3与直线g：y=mx+”交与点/（-2力），可得：

Z?=—2+3=1,所以4（一2,1）；

fy=x+3fx=-2

••由图像可得：关于x,歹的方程组《的解为《；

[y-mx+n[y=1

槌A.

【点睛】

本题主要考查一次函数与二元一次方程组，关键是根据题意得到一次函数与二元一次方程

组的关系即可.

7、D

【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对

应关系，据此即可确定是否是函数.

【详解】解：A、》=3x+1,当x取值时，y有唯一的值对应，故选项不符合；

2

B、y=_，当x取值时，y有唯一的值对应，故选项不符合；

x

1

C、y=--x,当x取值时，y有唯一的值对应，故选项不符合；；

D、M=x,当x取值时，如x=l,y=l或-1,故选项符合；

故选：D.

【点睛】

主要考查了函数的定义.函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x,y,对于x

的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，贝丹是x的函数，x叫自变

量.8、C

【解析】根据轴对称图形的概念对各个图案进行判断即可得解.

【详解】解：第1个是轴对称图形，故本选项正确；

第2个是轴对称图形，故本选项正确；

第3个是轴对称图形，故本选项正确；

第4个不是轴对称图形，故本选项错

误.故选：C.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重

合.

9、A

1

【分析】连接AQ,则可知EF为4PAQ的中位线，可知EF=­AQ,可知EF不变.

【详解】如图，连接AQ,

VE,F分别为PA、PQ的中点，

AEF为APAQ的中位线，

1

AEF=—AQ,

:Q为定点,

.♦.AQ的长不变，

.•.EF的长不变，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解

题的关键.

10、A

【分析】设骑车同学的速度为x千米〃卜时，则汽车的速度为mx千米/小时，根据时间=

路程+速度结合骑车的同学比乘车的同学多用1小时，即可得出关于x的分式方程，此

题得解.

【详解】设骑车同学的速度为x千米/小时，则汽车的速度为mx千米/小时，

sS

根据题意得：7=二+1.

XIIIX.

故选：A.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、-2

【分析】根据新运算法则得到不等式3X+m>1,通过解不等式即可求小的取值范围,

结合图象可以求得血的值.

【详解】Tx+m>1,

1-m

:.x>――,

O

根据图示知，已知不等式的解集是X〉1,

1-m

1,

故答案为：m=-2.

【点睛】

本题主要考查了数轴上表示不等式的解集及解不等式，本题的关键是理解新的运算方

法.

12、-9

【分析】根据新公式，A、B分别相当于6和-2,代入公式计算即可.

【详解】6i*r(-2)=6x(-2)-6+(-2)

=-12+3

=-9

【点睛】

本题考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.

60

13、

13

【分析】先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可.

【详解】•.•直角三角形的两直角边长分别为5和12,

斜边长=&+⑵=[3

11

•直角三角形面积S=1X5X12=TX13X斜边的高,

.±5x1260

...斜边1的Vt高==—.

1313

60

故答案为：n.

【点睛】

本题考查勾股定理及直角三角形面积，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平

方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

y=-x+3

14、

y—3x—5

【分析】根据题中给出的点的坐标，用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两直线解

析式所组成的方程组即为所求的方程组.

【详解】解：根据题意可知,（所经过的点的坐标：（2,1）,（0,3）,

/2所经过的点的坐标：（2」），(0,-5),

.•.设/解析式为，=4乂+匕，

11

[1=2/c+b

则有:11，

3=b

1

k=_1

解之得:..1

,b=3

.../1解析式为3/=-乂+3,

设/解析式为y=kx+b,

222

1=2k+匕

则有:22，

-5=b

2

k=3

解之得:..2

b=-5

2

••.1解析式为y=3x-5.

y=-x+3

因此所求的二元一次方程组是

y=3x—5

y=—x+3

故答案是:

y=3x—5

【点睛】

本题考查二元一次方程组与一次函数的关系.方程组的解就是使方程组中两个方程同时成

立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程

组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.

15、1

【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）・180。与外角和定理列出方程，然后求解即可.

【详解】解：设这个多边形是n边形，

7

根据题意得，（n-2）・180。=2*360。，

解得：

n=1.故答案

为：1.

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形

的外角和都是360°.

16、150.75

【解析】根据频数的定义，知小亮点球罚进的频数为15,罚球的总数为20,根据频率

15

=频数+总数可得频率为为=0.75.

故答案为15；0.75.

17、x>-l.

【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点横坐标即可得出答案.

【详解】••,一次函数y=x+b与一次函数》=kx-1的图像相交于点P,交点横坐标

12

为：x=-l,

...不等式x+b>kx-\的解集是X>-

1.故答案为：X>-1.

【点睛】

本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数

y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定

直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.也考查了观察

函数图象的能力.

18、9或1.

【详解】把A(a,a),B(b,8b)代入y=kx+m得:

a-ak+m

8b=bk+m

7

8b-a7b

解得：k=-------=-------+1=.a+i,

b-ab-a

b

b

•.•堤整数，k是整数,

a

a17

一或一9

b2d18

解得：b=2a或b=8a.

则或或9,

故答案为9或1.

三、解答题（共66分）

19、（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）根据轴对称的关系即可画图；

（2）作线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为点P.

【详解】（D如图：

•以

【点睛】

此题考查画图，正确掌握轴对称图形的特点，线段垂直平分线的确定方法是解题的关键.20、

（1）257U（2）超市销售这种干果共盈利4400元

【分析】（1）分别设出该种干果第一次和第二次的进价，根据“第二次购进干果的数量

是第一次的1.5倍”列出方程，解方程即可得出答案；

（2）先求出两次购进干锅的数量，再根据利润公式计算利润即可得出答案.

【详解】解：（1）设该种干果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克

（x+5）元.

5000qnnn

根据题意得——x1.5=9000,

xx+5

解得x=25.

经检验，x=25是所列方程的解.

答：该种干果第一次的进价是每千克25元

（2）第一次购进该种干果的数量是5000+25=200（千克），

再次购进该干果的数量是200x1.5=300（千克），

获得的利润为(200+300-100)x40+100x40x0.6-5000-9000=4400(元),

答：超市销售这种干果共盈利4400元.

【点睛】

本题考查的是分式方程在实际生活中的应用，难度适中，需要熟练掌握销售利润相关的计

算公式.

21、(1)(y+4)(y-6)；(2)-1,1,-4,4,2,-2

【分析】(1)直接利用十字相乘法分解因式得出答案；

(2)利用十字相乘法分解因式得出所有的可能.

【详解】解：(1)y2-2y-1=(y+4)(y-6)；

(2)若X2+mx-12=(x-3)(x+4),m=1

若X2+mx-12=(x+3)(x-4),此时m=—1

若X2+mx-12=(x-1)(x+12),此时m=11

若X2+mx-12=(x+1)(x-12),此时m=-11

若X2+mx-12=(x-2)(x+6),此时m=4

X2+mx-12=(x+2)(x-6),此时m=-4

综上所述，若x2+mx-12(m为常数)可分解为两个一次因式的积，

m的值可能是-1,1,-4,4,2,-2.

【点睛】

本题主要考查了十字相乘法分解因式，读懂题意，理解题中给出的例子是解题的关键.

22、1

【解析】判断出AP是NB4C的平分线，过点。作OEJLAB于E,根据角平分线上

的点到角的两边距离相等可得DE=CD,然后根据三角形的面积公式列式计算即可

得解.

【详解】由题意得：4P是NB4c的平分线，过点D作于E.

1_1

又；NC=90。，...DEMCD,的面积*15*4=1.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性

质是解题的关键.

23、-1

【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变.据此可得关

于a,b的方程组，进而得出代数式的值.

【详解】解：；M,N关于y轴对称，

f2a-b+2b-1=0

"5+a=-a+b

：.（4a+与2019=-1.

【点睛】

关于y轴的对称点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x轴的对称点的坐

标特点，纵坐标互为相反数，横坐标不变；关于原点的对称点的坐标特点，横坐标互为

相反数，纵坐标互为相反数.

24、（1）每个热水壶的采购单价是200元，每个保温杯的采购单价是30元（2）w=

2OOm+3O（80-m）=170m+2400

【分析】（1）设每个热水壶的采购单价是x元，每个保温杯的采购单价是y元，根据“第

一次购进12个热水壶和15个保温杯，共用去资金2850元，第二次购进20个热水壶和

30个保温杯，用去资金4900元”列方程组解答即可；

（2）根据题意和（1）的结论即可得出所需购货资金w（元）与购买热水壶的数量m

（个）的函数表达式.

【详解】解：（1）设每个热水壶的采购单价是x元，的采购单价保温杯的采购单价是y

[l2x+15y=2850

兀，根据题意得j20x+30y=4900'

[x=200

[产30，

答：每个热水壶的采购单价是200元，每个保温杯的采购单价是30元；

（2）根据题意得：w=200m+30（80-m）=170m+2400；

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，

学会构建方程组、一次函数解决问题.

25、(1)点C(2,4)是点力，8的融合点；(2)①j=2x-l,②符合题意的点为E(3

ilj

E(6,15).

2

【分析】(1)由题中融合点的定义即可求得答案.

(2)①由题中融合点的定义可得)=2x-l,.

②结合题意分三种情况讨论：(i)N7HD=90。时，画出图形，由融合点的定义求得

点E坐标；(ii)NTDH=90。时，画出图形，由融合点的定义求得点E坐标；(iii)

NHTD=90。时，由题意知此种情况不存在.

一1+7-5+7

【详解】(1)解：=2,=4

33

.•.点。2,4)是点"，B的融合点

3+/

(2)解：①由融合点定义知》=——，得/=3x-3.

3

0+(2/+3)力一3

XVJ=--