专题02 直线的最值问题归纳（原卷版）

专题02史上最全直线的最值问题【题型归纳目录】题型一：“距离之和”型的最值问题题型二：“距离之差”型的最值问题题型三：“距离乘积”型的最值问题题型四：“截距之和”型的最值问题题型五：“周长”型的最值问题题型六：“面积”型的最值问题题型七：“平行线间距离”型的最值问题题型八：“距离的平方和”型的最值问题题型九：“点到直线距离”型的最值问题题型十：“斜率”型的最值问题【典型例题】题型一：“距离之和”型的最值问题例1．直线分别交轴和轴于，两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是A． B． C． D．，例2．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是A．2 B． C．3 D．例3．已知直线及点，，．（1）试在上求一点，使最小；（2）试在上求一点，使最大．例4．直线，在上求一点，使得．（1）到和的距离之差的绝对值最大；（2）到，的距离之和最小．例5．（2022·四川达州·高一期末（理））在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______．例6．（2022·宁夏·银川二中高一期中）平面直角坐标系内有四个定点A（1，0），B（1，0），C（2，3），D（2，6），在四边形ABCD内求一点，使取得最小值时的坐标为_________．例7．（2022·江苏·高二）已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________．例8．（2022·全国·高二课时练习）已知点､，点P在x轴上，则的最小值为___________．题型二：“距离之差”型的最值问题例9．已知点，直线．（1）在上求一点，使的值最小；（2）在上求一点，使的值最大．例10．已知直线和两点，．（1）在直线上求一点，使最小；（2）在直线上求一点，使最大．例11．（1）已知两点，，直线，在直线上求一点，使最小．（2）已知两点，，直线，在直线上求一点，使最大．例12．已知两点、，直线，在直线上求一点．（1）使最小；（2）使最大．例13．已知直线及点，，．（1）试在上求一点，使最小，并求这个最小值；（2）试在上求一点，使最大，并求这个最大值．题型三：“距离乘积”型的最值问题例14．过点作直线分别交轴的正半轴，轴的正半轴于，两点．（1）当取最小值时，求出最小值及直线的方程；（2）当取最小值时，求出最小值及直线的方程．例15．过点作直线分别交，轴正半轴于，两点．（1）当面积最小时，求直线的方程；（2）当取最小值时，求直线的方程．例16．直线过点且分别与、轴正半轴于，两点，为原点．（1）当取最小时，求直线的方程；（2）当取最小值时，求直线的方程．例17．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是A．3 B．4 C．5 D．6例18．已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于，两点，为原点，当取得最小值时，直线的方程为．题型四：“截距之和”型的最值问题例19．过点作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程．例20．直线经过点，且与两坐标轴的正半轴相交，当两截距之和最小时直线的方程为．例21．若直线过点，则该直线在轴，轴上的截距之和的最小值为A．1 B．2 C．4 D．8例22．若直线过点，则该直线在轴、轴上的截距之和的最小值为A．1 B．4 C．9 D．16例23．若直线经过点，则直线在轴和轴上的截距之和的最小值为A． B． C． D．题型五：“周长”型的最值问题例24．（2022·重庆第二外国语学校高二阶段练习）已知在平面直角坐标系中直线l恒过定点（2，1）．与x正半轴y正半轴分别相交A、B两点，O为坐标原点，则△周长的最小值是_____________．例25．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知定点，动点分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为__________．例26．（2022·江苏·高二）已知点，试在y轴和直线上各取一点B、C，使的周长最小．（提示：尝试使用对称方法，用几何性质简化运算）例27．已知点，在直线和上分别有点和使的周长最短，求点、的坐标．例28．已知点，在直线和轴上各找一点和，使的周长最小．例29．在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为．题型六：“面积”型的最值问题例30．过点作直线交轴、轴的正半轴于，两点，为坐标原点．（1）当的面积为时，求直线的方程；（2）当的面积最小时，求直线的方程．例31．已知过点且斜率为的直线与轴、轴分别交于、，过、作直线的垂线，垂足为、，求四边形面积的最小值．例32．已知直线．（Ⅰ）若直线的倾斜角，求实数的取值范围；（Ⅱ）若直线分别与轴，轴的正半轴交于，两点，是坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．例33．已知直线．（1）若直线的斜率等于2，求实数的值；（2）若直线分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于，两点，是坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程．例34．已知直线经过直线与的交点．（Ⅰ）若经过点，求的方程；（Ⅱ）若直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，为原点，是否存在使面积最小的直线？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．例35．已知直线，，当时，直线，与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数．例36．已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是A． B． C． D．题型七：“平行线间距离”型的最值问题例37．已知，是分别经过，两点的两条平行直线，当，之间的距离最大时，直线的方程是．例38．已知，是分别经过，两点的两条平行直线，当，之间的距离最大时，直线的方程是．例39．直线，是分别经过，两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，直线的方程是A． B． C． D．题型八：“距离的平方和”型的最值问题例40．已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点．（1）求反射光线所在的方程；（2）在直线上求一点，使；（3）若点在直线上运动，求的最小值．例41．已知直线过点，且与轴，轴的正半轴分别相交于，两点，为坐标原点．求：（1）当十取得最小值时，直线的方程；（2）当取得最小值时，直线的方程．例42．已知三点，，，过原点作一直线，使得点，，到此直线的距离的平方和最小，求此直线方程．例43．（2022·江苏·高二）已知直线，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型九：“点到直线距离”型的最值问题例44．（2022·江苏·高二）点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为___________．例45．（2022·江苏·高二）直线，为直线l上动点，则的最小值为___________．例46．（2022·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________．例47．（2022·江苏盐城·高二期末）已知点在直线上的运动，则的最小值是（

）A． B． C． D．例48．已知直线经过直线与的交点．（1）若点到的距离为3，求的方程；（2）求点到的距离的最大值，并求此时的方程．例49．已知，直线经过直线与直线的交点．（1）若直线与直线平行，求直线的方程；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程．例50．若点在直线上，则的最小值是．例51．已知动直线恒过点且到动直线的最大距离为3，则的最小值为A． B． C．1 D．9题型十：“斜率”型的