第五章 统计与概率（知识梳理热考题型）（原卷版）

第五章统计与概率单元复习【知识梳理】一、普查与抽样调查(1)普查①定义：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面调查).②优点：普查能够了解总体中每个个体的情况，从而能准确地掌握总体的特征.③适用条件：在总体包含的个体总数不大，或有特殊需要的情况下，可以采用普查的方法.(2)抽样调查①定义：只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查.②适用条件：普查的方法有时会因为各种原因而无法实施，例如成本太高、时间上不容许、考察方法具有破坏性等，此时就采用抽样调查.二、简单随机抽样(1)定义：一般地，简单随机抽样就是从总体中不加任何分组、划类、排队等完全随机地抽取个体.(2)特点：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到.(3)适用范围：当总体中的个体之间差异程度较小和总体中个体数目较少时，通常采用这种方法.(4)常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数表法.①抽签法的优缺点抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，操作起来就比较麻烦，而且如果抽取之前搅拌不均匀，可能导致抽取的样本不具有代表性.②随机数表法用随机数表进行简单随机抽样的一般步骤为：(ⅰ)对总体进行编号.(ⅱ)在随机数表中任意指定一个开始选取的位置.位置的确定可以随机确定，也可用其他方式随机确定.(ⅲ)按照一定规则选取编号.例如，若编号是两位，规则可以是每次从左往右选取两个数字，也可以是每次只选取每一组的前两个数字，还可以是每次只选取下面一行同一位置对应的两个数字，等等.规则一经确定，就不能更改.在选取过程中，遇到超过编号范围或已经选取了的数字，应该舍弃.(ⅳ)按照得到的编号找出对应的个体.三、分层抽样(1)定义：一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).(2)作用：通过分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征.四、最值、平均数、中位数、百分位数、众数(1)最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况.(2)平均数①定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn).这一公式在数学中常简记为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi，②性质：一般地，如果x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为aeq\o(x,\s\up6(－))＋b.(3)中位数、百分位数①中位数：一般地，如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称eq\f(xn＋xn＋1,2)为这组数的中位数.②百分位数：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取eq\f(xi＋xi＋1,2)为p%分位数.特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值).(4)众数：一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.五、极差、方差与标准差(1)极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.极差反映了一组数的变化范围.(2)方差①定义：如果x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，则方差可用求和符号表示为②性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.(3)标准差①定义：方差的算术平方根s表示，即样本数据x1，x2，…，xn的标准差为②性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为|a|s.③作用：如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性；若各数的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高，因此标准差(或方差)描述了数据相对于平均数的离散程度.六、柱形图、折线图、扇形图和茎叶图(1)柱形图①柱形图(也称为条形图)可以形象地比较各种数据之间的数量关系.②特点：柱形图(也称为条形图)中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的.(2)折线图一般地，如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示.(3)扇形图扇形图可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况.扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比.(4)茎叶图一般来说，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列.茎叶图也可以只表示一组数.“叶”是从“茎”的旁边生长出来的数.茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上往下排列.将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征.七、频数分布直方图与频率分布直方图(1)频数与频率①频数：在一组数据中，数据出现的次数称为频数，某个区间内的数据的个数称为区间对应的频数.②频率：在一组数据中，数据的频数与这组数据总个数的比称为频率，区间对应的频数与这组数据总个数的比称为区间对应的频率.(2)频数、频率分布直方图及其折线图①频率分布直方图制作的方法步骤eq\x(\a\al(找出最值，,计算极差))eq\o(→,\s\up7(决定),\s\do5())eq\x(\a\al(合理分组，,确定区间))eq\o(→,\s\up7(决定),\s\do5())eq\x(\a\al(整理,数据))eq\o(→,\s\up7(列出),\s\do5())eq\x(作出有关图示)②③频数分布直方图与频率分布直方图的区别频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标是eq\f(频率,组距)，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率．④频数分布折线图和频率分布折线图的制作方法把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来．为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的．八、用样本估计总体用样本的分布估计总体的分布（1）一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大.（2）在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征.（3）分层抽样的平均数、方差假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq\o(y,\s\up6(－))，方差为t2.如果记样本均值为eq\o(a,\s\up6(－))，样本方差为b2，则eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(1,m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))xi＋\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi))＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，b2＝eq\f(m[s2＋（\o(x,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))）2]＋n[t2＋（\o(y,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))）2],m＋n)＝eq\f(1,m＋n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（ms2＋nt2）＋\f(mn,m＋n)（\o(x,\s\up6(－))－\o(y,\s\up6(－))）2)).九、概率（1）必然现象与随机现象①一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象.②发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象.（2）样本点和样本空间①随机试验把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验Ｗ.②样本点和样本空间把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间.（3）随机事件、必然事件、不可能事件①随机事件：如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且，若试验的结果是A中的元素，则称A发生；否则，称A不发生.②必然事件：任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；③不可能事件：因为空集∅不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中∅一定不发生，从而称∅为不可能事件Ｗ.④事件的表示与基本事件（ⅰ）不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示.（ⅱ）基本事件：只含有一个样本点的事件称为基本事件Ｗ.（4）随机事件发生的概率①事件A发生的概率通常用P（A）表示.②我们将不可能事件∅发生的概率规定为0，将必然事件Ω发生的概率规定为1，即P（∅）＝0，P（Ω）＝1Ｗ.③对于任意事件A来说，显然应该有P（∅）≤P（A）≤P（Ω），即0≤P（A）≤1.十、事件之间的包含、相等、和与积(1)事件的包含与相等定义表示法图示包含关系一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称A包含于B(或B包含A)A⊆B(或B⊇A)相等关系A⊆B且B⊆AA＝B(2)事件的和与积定义表示法图示和由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)A＋B(或A∪B)积由事件A，B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)AB(或A∩B)十一、事件的互斥与对立及概率加法公式(1)事件的互斥与对立定义表示法图示互斥若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥AB＝∅(或A∩B＝∅)对立由样本空间Ω中所有不属于事件A的样本点组成的事件称为A的对立事件事件A的对立事件记为eq\o(A,\s\up6(－))如果B＝eq\o(A,\s\up6(－))，则称A与B相互对立.(2)互斥事件的概率加法公式①互斥事件的概率加法公式：当A与B互斥(即AB＝∅)时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B).②一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).③P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1.十二、古典概型(1)古典概型一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.(2)古典概型概率公式古典概型中，假设样本空间含有n个样本点，如果事件C包含有m个样本点，则P(C)＝eq\f(m,n).十三、频率与概率用频率估计概率(1)在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且试验的次数越多，频率与概率之间的差距很小的可能性越大.(2)一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为eq\f(m,n)，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为eq\f(m,n).此时也有0≤P(A)≤1.十四、相互独立事件的定义和性质(1)定义：一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立).(2)性质：如果事件A与B相互独立，则eq\o(A,\s\up6(－))与B，A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也相互独立.(3)n个事件相互独立“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.十五、独立事件的概率公式(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)；(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An).事件A，B的各种情形概率公式A，B同时发生P(AB)＝P(A)P(B)A，B都不发生P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一个不发生1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一个发生1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰好有一个发生P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)十六、统计与概率的应用概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1(包含0，1)之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生.【热考题型】【考点1】统计一、单选题1．（2023上·贵州六盘水·高二统考期中）某校有教师360人，其中高级及以上职称教师240人，一级职称教师80人，其他职称教师40人，现采用分层抽样从中抽取18人参加某项调研活动，则高级及以上职称教师应抽取的人数是（

）A．2 B．4 C．9 D．122．（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是（

）A．投资3天以内（含3天），采用方案一B．投资4天，不采用方案三C．投资6天，采用方案一D．投资9天，采用方案三3．（2023上·全国·高三专题练习）工业生产者出厂价格指数(PPI)是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度．根据下面提供的我国2020年1月－2021年12月的工业生产者出厂价格指数的月度同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)和月度环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)涨跌情况的折线图判断，以下结论中正确的是（

）A．2020年各月的PPI在逐月增大B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平C．2021年1月～12月各月的PPI在逐月减小D．2021年1月～12月各月的PPI均高于2020年同期水平4．（2023上·全国·高三专题练习）某校高一年级1000名学生的血型情况如图所示.某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是（）A．11 B．22 C．110 D．2205．（2023上·天津河北·高三统考期中）某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（

）A．40 B．45 C．50 D．606．（2023上·全国·高三专题练习）甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135下列结论中，不正确的是（

）A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数个为优秀）C．甲班的成绩比乙班的成绩波动大D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数二、多选题7．（2023上·高一课时练习）下面的抽样方法不是分层随机抽样的是（

）A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验8．（2023上·全国·高三专题练习）习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长(单位：小时)进行了统计，得到如下频率分布表：分组频率则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法中正确的是（

）三、填空题9．（2023上·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是.10．（2023下·上海·高二专题练习）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中m，n的比值．11．（2023上·上海黄浦·高三统考期中）某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为．四、解答题12．（2023上·浙江杭州·高二校联考期中）某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月均用电量标准a，用电量不超过a的部分按照平价收费，超出部分按议价收费．为了确定一个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行用电量调查单位，并绘制了如图所示的频率分布直方图：(1)求x的值：(2)求被调查用户的月用电量平均值：同一组数据用该区间的中点值作代表(3)若使居民用户的水费支出不受影响，应确定a值为多少？13．（2023上·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）某研究小组发现某药物X对神经冲动的产生有明显的抑制作用，称为“麻醉”.该研究小组进行大量实验，刺激突触前神经元时，记录未加药物X和加药物X后突触前神经元的动作电位（单位：mV），在大量实验后，得到如下频率分布直方图.利用动作电位的指标定一个判断标准，需要确定一个临界值c.当动作电位小于c时判定为“麻醉”，大于或等于c时判定为“未麻醉”.该检测漏判率是将添加药物X的被判定为“未麻醉”的概率，记为；误判率是将未添加药物X的被判定为“麻醉”的概率，记为.(1)当漏判率为时，求临界值c；(2)令函数，当时，求的最小值.14．（2023上·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，，记.试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率545533551522575544541568596548伸缩率536527543530560533522550576536(1)求甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率的中位数和极差；(2)设的样本平均数为z，样本方差为.判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.【考点2】概率一、单选题1．（2023下·北京通州·高一统考期中）抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．82．（2023·广东·高三学业考试）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（

）A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球3．（2023上·四川·高三统考学业考试）某同学计划在四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》中随机选一本作为课外读本，则《红楼梦》恰好被选中的概率为（

）A． B． C． D．4．（2023上·北京·高二北京五十五中校考期中）支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在内且未使用支付的概率为（

）.顾客年龄（岁）20岁以下70岁及以上支付人数31214132790其他支付方式人数0029551A． B． C． D．5．（2023上·浙江·高二萧山二中校联考期中）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件“第一次点数为偶数”，事件“第二次点数为3的倍数”，则（

）A．与是互斥事件 B．与是互为对立事件C． D．6．（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）下列命题中正确的是（

）A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率二、多选题7．（2023·全国·模拟预测）下列说法中正确的是（

）A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体mB．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为328．（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“记下的点数为3”，事件“记下的点数为偶数”，事件“记下的点数小于3”，事件“记下的点数大于2”，则（

）A．事件与互斥 B．事件与互斥C．事件与对立 D．事件与对立三、填空题9．（2022上·高一单元测试）（1）随机现象的发生能够人为控制其发生或不发生；（2）随机现象的结果是可以预知的；（3）不可能事件反映的是确定性现象；.10．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数：334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115据此估计甲获得冠军的概率为.11．（2023上·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354据此估计甲获得冠军的概率为；四、解答题12．（2023上·湖北鄂州·高二校联考期中）一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．(1)求的值；(2)求小红不能正确解答本题的概率；(3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．13．（2023·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）：甲款鲁班锁玩具一等品二等品三等品单件成本利润率10%8%4%频数106030乙款鲁班锁玩具一等品二等品三等品单件成本利润率7.5%5.5%3%频数503020(1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率；(2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润．故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）．14．（2023上·云南·高二校联考期中）某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．其中．(1)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）(2)现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．【考点3】统计与概率的应用一、单选题1．（2023上·全国·高三专题练习）2022年7月15日，国家统计局发布了2022年上半年居民人均消费支出及构成情况如图所示，根据图中的信息，针对2022年上半年，下列结论不正确的是（）A．居民在“教育文化娱乐”上的人均消费支出的占比为9.8%B．居民人均消费支出为11440元C．居民在“居住”“生活用品及服务”“医疗保健”上的人均消费支出之和大于在“食品烟酒”上的人均消费支出D．居民在“衣着”上的人均消费支出比在“交通通信”上的人均消费支出的一半少2．（2023下·四川成都·高二校联考期中）2023年2月28日国家统计局发布《2022年国民经济和社会发展统计公报》，其中对近几年国内生产总值及其增长速度（如图1）和三次产业增加值占国内生产总值比重（如图2）做了统计，下列说法错误的是（

）A．从2018年至2022年，国内生产总值逐年增加B．从2018年至2022年，2021年的国内生产总值的增长速度最大C．从2018年至2022年，第三产业增加值占国内生产总值比重逐年减少D．从2018年至2022年，第三产业增加值逐年增加3．（2023下·四川成都·高二期末）七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名.明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅.其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余.近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）.现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（

）A． B． C． D．4．（2021·山西·统考一模）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（

）A． B． C． D．5．（2021·高一课时练习）如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是（

）A． B．0 C．1 D．26．（2019·福建·校联考三模）为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（

）A．乙的数据分析素养优于甲 B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养指标值波动性比乙小 D．甲的六大素养中直观想象最差二、多选题7．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期末）某校在开展的“体育节”活动中，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动