北京市朝阳区2022-2023学年高一上学期数学期末试题

北京市朝阳区2022~2023学年度第一学期期末质量检测高一数学2023.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若，则下列各式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.【详解】AD选项，，则，但，所以AD选项错误.B选项，若，则，所以B选项错误.C选项，若，由于在上递增，所以，所以C选项正确.故选：C2.若角满足，则角是（）A第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】【分析】根据三角函数四个象限符号确定.【详解】为第二，三象限角或者轴负半轴上的角；又为第二，四象限角所以为第二象限角.故选：B3.下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.【详解】对于A，在定义域上单调递增且值域为，故A不正确；对于B，在定义域上单调递增值域为，故B正确；对于C，由双勾函数的图象知，在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；对于D，的值域为，故D不正确.故选：B.4.设集合，集合，则A与B的关系为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.【详解】由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；所以.故选：A5.声强级（单位：）出公式给出，其中I为声强（单位：）．若平时常人交谈时的声强约为，则声强级为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】依题意.故选：C6.已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.【详解】当，时，，则当时，有，解得，充分性成立；当，时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7.已知函数，有如下四个结论：①函数在其定义域内单调递减；②函数的值域为；③函数的图象是中心对称图形；④方程有且只有一个实根．其中所有正确结论的序号是（）A.①② B.②③ C.①③ D.③④【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.【详解】的定义域为，，所以在上递增，①错误.由于，，所以的值域为.由于，所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确.由得构造函数，在上单调递增，，所以在上存在唯一零点，也即方程有且只有一个实根，④正确.所以正确结论的序号是③④.故选：D8.已知角为第一象限角，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先确定的取值范围，由此求得的取值范围.【详解】由于角为第一象限角，所以，所以，由于，所以，所以.故选：A9.某厂以x千克/小时速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（）A.2千克/小时 B.3千克/小时C.4千克/小时 D.6千克/小时【答案】C【解析】【分析】生产100千克该产品获得的利润为，令，由换元法求二次函数最大值即可.【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为，，令，，则，故当时，最大，此时.故选：C10.定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由得，则的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a，b，c，最后根据单调性比较大小.【详解】由得，∴的周期为2，又为偶函数，则，，∵，在上单调递增，∴.故选：A第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.已知集合，集合，则____________．【答案】【解析】【分析】根据并集的定义运算即可.【详解】因为，，所以，故答案为：12.已知角，若，则__________；__________．【答案】①.##②.【解析】【分析】由条件结合诱导公式求，根据特殊角三角函数值求出，即可.【详解】因为，所以，故，又，所以，所以，故答案为：，.13.设且，，则的最小值为__________.【答案】2【解析】【分析】对利用对数运算公式，得到，再由基本不等式以及条件中的，得到答案.【详解】因为且，所以且而，且所以由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立.【点睛】本题考查对数运算公式，基本不等式求和的最小值，属于简单题.14.设函数的定义域为I，如果，都有，且，已知函数的最大值为2，则可以是___________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的.【详解】依题意可知是偶函数，且最大值为，所以符合题意.故答案为：（答案不唯一）15.已知下列五个函数：，从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则______________．【答案】【解析】【分析】观察图象确定函数的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定的解析式.【详解】由已知，，观察图象可得的定义域为，所以或中必有一个函数为，且另一个函数不可能为，又的图象不关于原点对称，所以，所以或，若，则与函数图象矛盾，所以，故答案为：.16.已知函数，给出以下四个结论：①存在实数a，函数无最小值；②对任意实数a，函数都有零点；③当时，函数在上单调递增；④对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是________________．【答案】①②④【解析】【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，当时，，的图象如下图所示，由图可知，没有最小值，①正确.②，由于，当时，；当时，，所以对任意实数a，函数都有零点，②正确.③当时，，，即函数在上不是单调递增函数，③错误.④，当时，，当时，，画出的图象如下图所示，由图可知存在实数m，使方程有3个不同的实根，④正确.综上所述，正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．（1）求和的值；（2）求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再根据二倍角的正弦公式即可求得；（2）先根据二倍角的余弦公式求出，再根据商数关系求出，再根据两角和的正切公式即可得解.【小问1详解】解：由题意得，所以；【小问2详解】解：，所以，所以.18.已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若命题“，不等式恒成立”是假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）结合开口方向以及判别式求得的取值范围.【小问1详解】当时，，即，，解得所以不等式的解集为.【小问2详解】当恒成立，当不为0时，且，即，当时,成立，所以命题“，不等式恒成立”是假命题所以a的取值范围为：或．19.已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求a的值；（2）求的最小值，以及取得最小值时x的值．条件①：的最大值为6；条件②：的零点为．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）若选条件①，则；若选条件②，则（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）化简的解析式，根据条件①或②求得的值.（2）利用三角函数最值的求法求得正确答案.【小问1详解】.若选条件①，则.若选条件②，则.【小问2详解】若选条件①，由（1）得，则当时，，则当时，取得最小值为.若选条件②，由（1）得，则当时，，则当时，取得最小值为.20.已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若函数是偶函数，求m的值；（3）当时，若函数的图象与直线有公共点，求实数b的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）即，结合对数、指数函数单调性求解即可；（2）偶函数，则，结合对数运算法则化简求值即可（3）由对数运算得在上单调递增，且值域为，即可由数形结合判断b的取值范围.【小问1详解】当时，即，即，解得；【小问2详解】函数是偶函数，则，即，即，即，∵，故；【小问3详解】当时，，.∵为减函数，故在上单调递增，且值域为∵函数的图象与直线有公共点，故实数b的取值范围为.21.设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：①；②，若，则；③，若，则．（1）当时，判断是否为U的子集，说明理由；（2）当时，若A为U的子集，求证：；（3）当时，若A为U的子集，求集合A．【答案】（1）不是U的子集；（2）证明见解析；（3）集合.【解析】【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集；（2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出；（3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可.【小问1详解】当时，，，，取，则，但，不满足性质②，所以不是U的子集.【小问2详解】当时，A为U的子集，则；假设，设，即取，则，但，不满足性质②，所以，；假设，取，，且，则，再取，，则，再取，，且，但与性质①矛盾，所以.【小问3详解】由（2）得，当时，若A为U的子集，，，，所以当时，，若A为U的子集，，，；若，取，，则，，再取，，则，与矛盾，则，；若，取，，则，与矛盾，则，；若，取，，则，与矛盾，则，；若，取，，