原子物理学(褚圣麟)课后答案

刘富 子的基本状若卢瑟福散射用的粒子是放射性物质镭C放射的，其动能为7.68106特。散射物质是原子序数Z79的金箔。试问散射角150所对应的瞄准距离b

cot2

4

Mv2Ze2

4

KbZe2

3.971015米(48.851012)(7.681061019 式中K1Mv是222 2Ze )rm)

)Mv

(1

sin

2

)

(1

sin9109

479(1.601019 7.681061.6010

sin3021014能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（e电荷而质量是质子的解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180。当入射粒子的动能全部转化为两21Mv2

Ze

mi

40K910

79(1.601019) 1061.60101 1.1

13密度为1.932104公斤米3的金箔。试求所有散射在90的的百分比。已知金的原子量为197dnn

NN

/mAu

/而散射角大于

2

dnNn

dN

t

)2(2Ze)

180

cos2

cos

2 902dsin

sin3 2I180

2

sin3

sin3 故

N0

2

2

t(

(Mu2008.51068.51000即速度为1.597107米秒的粒子在金箔上散射，散射角大于908.510400

已知粒子质量比电子质量大7300粒子散射“受

vv

v

m

'v'

1Mv'2

2v2v

vv' 'vv

ev2v'2

v2(73001)v'2(73001)27300v

cos 7300

v)2 0 03.5兆电子伏特的细粒子束射到单位面积上质量为1.05102公斤米的银箔上，粒子与银箔表面成60L=0.12米处放一窗口面积为6.0105米的计数器。测得散射进此窗口的粒子是全部入射29。若已知银的原子107.9。试求银的核电荷数Z。'度t，而是ttsin60角内的粒子数dn与总入射粒子数ndnn

N

td

)2

)

sin4

2dnn

2

sin42式中立体角元ddsL2ttsin6002t3,'

00n

2N

33

)(Mv2

sin42响可以忽略。 由此可见，具有106电子伏特能量的粒子能够很容易的穿过铅原子球。粒子在到达原子 00用，即作用距离为原子的直径D。并且在作用范围D之内，力的方向始终与入射方向垂直，根据上述分析，力的作用时间为

2 2KM，所以，tDv

M/

Fdtpp0Mvt t00

2

0000 00 2.41兆电子伏特的粒子被铅原子散射，不可能产生散射会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生900的散射，甚至会产生1800的散解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件， 2

11

116.581015

2.188106米/ 1加速度wv2rv2a9.0461022米秒1解：电离能为EEE，把氢原子的能级公式

电离电势：VEi13.60 第一激发能ERhc113Rhc313.6010.20电子伏 第一激发电势：V

10.20 12.5解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……EhcR11)其中

H E313.6(1

1)10.21)12.11)12.8电子不足以把基态氢原子激发到n4的能级上去，所以只能出现n3的能级间的跃迁。1R(11)

/23 2311R(11)3124 12421R(11)8139 1393 r a

n,n2 12

0.5291771010米，是氢原子的玻尔第一轨道半径；r 1r 因此，玻尔第一轨道半径之比是HeH

,LiH

Z

Z E00

E1n2,n0)0

0 He

4,Z20 Z2 0

Z20 Z2E2

E1 1EHH12EHH1

1

E2

E1 1EHH12EHH1

1

2) ~Z2R(12)

{{0其中R0

(4)2h3

HR(1

1) 1111

He

1)1)

11111 4H41

,1 ,19H91ie试问二次电离的锂离子L从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处于基态的一次电离的氦粒子H的电子电离掉？ieiieev4hcR(11)

271m/

从而有

e其巴耳末系的第一条（H）光谱线之间的波长差有多大？已知氢的里德伯常数eDHR1.0967758107米1，氘的里德伯常数R1.0970742107米1DH HRH2232H36HD1R(D

1)，36/2 2DD

36(11H1.79

8 8111

(1

1)

33 ee m

3

2430试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n轨道，发射光子的频率n。当n>>1光子频率即为电子绕第n证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n~1R[1 n n

vn

] 当n>>1时，有(2n1n2n

2n3，所以在n>>1电子从n+1轨道跃迁到n

设电子在第nfnf

因此，在n>>1时，有vn由上可见，当n>>1时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n玻尔轨道转动的频率。这说明，在n很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。~

子由高的p能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以Li离子

33 22

75.7电子伏答：设原子的磁矩为，磁场沿Z方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为Z

Z

Z是磁场沿Z方向的梯度 Z

原子的速度v5102米/秒。在屏上两束分开的距离d0.002米。试确定原子磁矩在磁场方向上投影的大小（设磁场边缘的影响可忽略不计。' vS

BL12mZ(v

将上式中用已知量表示出来变可以求出vat,a

fB,tL/

mmZ

m mZSdS'dZB mZ把S代入（1） BL2 12 mZ 2mZZBL1(L2L

0.931023焦耳可以测定各激发态的平均寿命。若已知原子束中原子速度v103米/秒，在沿粒子束方向上相距1.5毫米其共振光谱线强度减少到1/3.32。解：设沿粒子束上某点A和距这点的距离S=1.5B经过t时间间隔从A到达B点，在BN2

I

A

N

N2

1/3.32

N2

A1(ln3.32ln1)vln t1A

vln3.32

s1.5103ln1.25106ph

6.63

6.63

千克米秒能量为Ehvhc6.6310343108/10101.9861015焦耳10000

m9.111031公斤，e1.601019A0.1225A0.1225V12.25V

Am1.671027公斤，e1.601019库仑A21.671021.6710271.601019

2.862

3

12.25VVV12.25(10.489V

6V)其中Vh/p对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能Kp00而被电压VK

00

p h1h1000hhh

00

)

由于上式中

12.25VAVV12.25(10.489V

6V)2

n hn

pdprdr

nh

而而

ds ds11000解：由题知,电子动能K=1000x106米，动量相对偏差为pp根据测不准原理，有h2h2x

2

p

3.09证明自由运动的粒子（势能V0）i(Ae

2自由粒子的哈密顿量是：Hh 2

(]

i(pxpyph2A(

d)eh

2E2自由粒子的动量pE{0{试推导粒子在EV0情况下其总能量E式中是粒子的质量。

dd

0其中

11

0其中 )

0其中

3(31

,

{

1 2 222v2v200有一粒子，其质量为m,在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为a、b、c在势箱外，势能V；在势箱内，V0。式计算出粒子可能具有的能量。Vx0,0xa;Vy0,0yb;Vz0,0zc;Vxx0和xaVy,y0和ybVzz0和zc

h2

1d2

1

1 (X

h2Vx)(Y

h2Vy)(Z

h2Vz)h21d2X X

h2Vxh21d2Y Y

h2Vyh21d2Z Z

h2Vzh2d2X

h2(ExVx)X0X(0X(l2a2aXn

sinnxx

sinnyy2b 2b2c2c

,ny

sinnzz 88

,nzE

n(x

nn nnyz abc88

E n,n

nxny 已知Li原子光谱主线系最长波长6707A，辅线系系限波长3519A。求 Vhc1.850 heVhch Vhc11)5.375 e 18459A2413A3S、3P、3D、4F

4.144106米11 11

2.447106米

1

1.227106米

0.685106米 K7665A2858AK4S。4S、4P谱项的量子数修正项sp值各为多少？ R11设RKR,则有s2.229,T4P 11p4

3Pl1，可能产生四条光谱，分别由S主线系是诸PSSPn合碱金属原子光谱双线的规律性。因此，肯定S只能发生在22P12S之间。而S是由PE

3( (其中(ZZS

j 23/3/

)h1/1/3/1/ 3/1/1/1/

)h1/1/2

1/1/1/1/3/3/

1/3/1/3/

1/1/1/1/1/1/

16

1/ 1/ )1/

44将以上三个能量值代入 1 2 5.3910135.39

3AA

解：已知

1.2274106米1

1.0974107米

Ra2Z*4n3l(l1)

3.655米即能量为E

N

ge(EE)/00

测出其共振光谱双线18943.5A,28521.1A的强度比I1：I23。试估算此气体g12g24。所测得的光谱线的强度正比于该谱线所对应的激发态能级上的粒子数N，I

1eKT e

由此求得TTE2Kln

号表示之。已知电子间是LS1解：因为l11,l22s1s22L1,SL1,SL2,SL2,SL3,SL3,S

1111,0,1,2211,1,2,3311,2,3,3He2p3d

l(ll(l1)1

P2p2p22pp l1 cos(P2p2

2)/2pp12 12 L106

l1

s21p 311而

P2p2p22pp s1 cos(P2p2

2)/2p SS

s1 锌原子（Z=30）4s4s。当其中有一个被激发，考虑两种情况：（1）那电子被激发到5s（2）它被激发到4p态。试求出LS耦合情（1）组态为4s5sL0,S

ll0,ss1 0S0时，JL0,单重态01151S41P,53S43P 53S43P;53S

12L1,S1S0时，JL1,单重态1 试以两个价电子l12和l23为例说明,不论是LSjjS;L5L5J5代入一个LLP3P

3;;

3;;

3;;

3;;

53;

7 Jj1j2,j1j2,...j1j5和j7，合成J j3和j7，合成J j5和j5，合成J j3和j5，合成J 5

3 5 3(,2

2)6,5,4,3,2,1,(2

2)5,4,3,2;(2

2)5,4,3,2,1,0;(2

2所以，对于相同的组态无论是LSjjLSZ=6、氮Z=72p2p,属于同科电子.这两个电子可能有的ml值是 1,0,-1;可能有ms2,2,两个电子的主量子数和角量子数相同,根据泡利原理,它们的其余两个量子数ml和ms至少要有一个不相同.它们的ml和ms的可能配合如下表所示.为了决定合成的光谱项,最好从MLmli的最高数值开始，因为这就等于LML2，因此可以得出一个D项。又因为这个ML只与LSM0相伴发生，因此这光谱项是1D项。除了LS

2

这一光谱项，它们都是MS0。这些谱项在表中以ML的数字右上角的记号“。”表示。共有两项是ML1MS0；有三项是ML0MS0。在寻找光谱项的过程中，把它以ML

ii1011-10-1--110-100-1-0-010-0000-0-0---10--00----0---10---1----0---ii10-001--010---10----01-0----01-1012-1001-10---00---0---1-11-1-00-1---

0,

因此，碳原子的光谱项是1D、3P和1S0因为在碳原子中3P项的S3P项应最3P是它的基态谱项。0表中删节号表示还有其它一些配合，相当于此表下半部给出的ms间以及ml间发生交2D、2P4S3/基态谱项应为3/对于S0JL1向4p能级跃迁产生的光谱线。与氦的情况类似，对4s4p组态可以形成1P和

态，也就是说对L=143S能级上跃迁到

关的Jv2v1v21

l1,l0;s1,s j31;j j3和j1合成J j1和j1合成J 3 （，2，（2

，1，（

，1，（

02根据LSJ

,L（2）J

12

12

2

7L<S2L+1（3）J312

1,111 2第六章3/3/

3/ 之角动量量子数J3/3/的分量的个数为2J1224

ge2m

152按LSg1

J(J1)L(L1)S(S1)2J(J1)

6 2e15 15 5 0.467/厘米

11(m

mg)

2 1

氦原子的两个价电子之间是LS1P原子态，M1,0,1S0L1J1 对应1SM0S0L0J0.g1g (1,0,1)Be/Be4mc0.467厘米e

1/ 能级：l2,S ,j

M32

12

1, g1j(j1)l(l1)s(s1) 2 能级：l2,S ,j 1/

M1,1,g (26,22,2

2,22, 303030所以：在弱磁场中由

1/

-

-0.40A。所用的磁场的B2.5来的一条谱线分裂为三条，两个成分，一个成分。成分仍在原来位置，两个成分在成分两侧，且与成分间的波数间隔都是一个洛仑兹单位L。又~1~1

/符号表示波长增加波数减少。根据题设，把近似地看作成分与成分间的波长差，则/2L L

4.1405

4140.5

1 分裂成三条光谱线，且裂开的两谱线与原谱线的波数差均为L，（2）对3S能级：L0S1J1M1,0g 对3P能级：L1,S1J0M0g0，Mg0

1

1/

12跃迁的光谱线波长为5896A，在B=2.5解：对于32P能级：L1S1J1M1g1/

对于32S能级：L0S1J1M1g1/

(4,2,2,4)L 33(1

/2，~

/243因此，波长改变

3

0.54

5896.54

5895.461/1/

3P

3S5895.93

2P能级：l1s1,j3M3,1g43/

2P能级：l1s1j1M1g21/

对应的能量分别为EEE

2S

1/

1/

1/

1/

1/

2生的谱线波长分别为

1；那么，

5889.96A,

5895.93A

的附加磁能分别记为EE；现在寻求

EEEB

1/

EEE

(MgMg

1

2(E2E1E1E2MgMg)即：1

1

221

(

1其中M1g13,M2g22，将它们及各量代入上式得：B=15.89J矩多大？如果已知上述铁原子的速度v103米秒55.85，磁极范围dB103特斯拉/米，试求屏上偏离最远的两束之间的距离d2J+12J+1=9。所以J=43gePgJ(J2m 55对5DL2,S2g

2，因此J

6.211023安米v

fy

L/

mmdy

mv

2

mdy

S

1dBL1 2mdy

M4,3,2,1,0，可见，当M4时，偏离最大。把M4S

)243(BFedy (BS2.79103米。d2(SS')9.18103米。1/铊原子气体在1/

状态。当磁铁调到B=0.21/ 1/

原子态L1,S

2

由hvgBB代入各已知数，得v1.9109秒1B=0.38.4109赫兹时观察到顺磁共振。试计算朗德因子g，并指出原子处在何种状态？钾外层只有一个价电子，所以s

2g1

j(j1)l(l1)s(s1)2j(j1)g2和ljsg1

当s2j12j2 当s2j32j41jj11jl1 l112

2 2e而总磁矩为Jg2mPJe

氩原子的基态为1SL0S0J0所以有0 钾原子的基态为2S：L0,S ,J

22 2222DL2S1J3g4，所以有

0225 22524，69解：原子的磁矩J在磁矩方向的分量为Z其中M=J,J-1,……-J；式中的负号表示当MZ和磁场方向相反，当M4F：因为是FL=342J+1=4，所以J=3/2。根据S、L、Jg Jg323

锰（6S）:2S+1=6，所以：自旋因为是SL=062J+1=6，所以J=5/2。因为L=0,所以

铁（5D）2S+1=5因为是DL=292J+1=9，所以J=4。根据S、L、Jg Jg43

（1）n=1（1）n=1壳层、n=22122223s2(2013p12(211215个电子，即Z=15，是P(磷)（2）与（1）同理：n=1,2,3284s、4p、4d1846个电子，即Z=46，是Pd（钯）答：电子的状态可用四个量子n,l,ml,ms来描写。根据泡利原理，在原子中不能有两个3d此壳层上的电子，其主量子数n和角量子数l都相同。因此，该次壳层上的任意两个 112个值；因此，对每一个次壳层l,最多可以容纳22l 3d次壳层的l23d10NaS、P、D项的量子修正值s1.35p0.86D0.01达 形式，其中Z是核电荷数。试计算3S、3P、3D项的分别为何值？并n因此n*n

Z由此得：Zn/(nS11

33

故 P1130.86D11

3

1

1s2个

相同的最大电子数为2(2l1个n相同时，在（2）基础上，l还可取n个值。因此nN 2(2l1)从实验得到的等电子体系KⅠ、CaⅡ……等的莫塞莱图解，怎样知道从钾Z=19开始不填3d而填4sZ=21开始填3d而不填4s次壳层？7—132D和42S相交于Z=2021之间。当Z=19起到钙Z=20的42S能级低于32D19个电子开始不是填3d而填次壳层。从钪Z=2142S谱项低于32D普项，也就是32D能级低于42S能级，所以从钪Z=21开始填3d而不填4s次壳层若已知原子阿Ne,Mg,P和Ar的电子壳层结构与“理想”的周期表相符，试写出这些XX10万伏，问发射光子的最大能量多大？算出发射X光的最短波解：电子的全部能量转换为光子的能量时，X光子的波长最短。

c

6.6310343 所以min

1.60

0.124利用普通光学反射光栅可以测定X光波长当掠射角为n级极大值出射线偏离入射光线为2，是偏离级极大出射线的角度。试证：出现n级极大的条件2dsin2sin d为光栅常数（即两刻纹中心之间的距离。当和 )2解：相干光出现极大的条件是两光束光的光程差等于n。而Ldcosdcos()2dsin2sin 2dsin2sin2当和都很小时，有

2

2

;sin

2即 )2一束X10020＇。已知第一级极大020X光的波长2dsin2sin 由于20',20 )2

n

)5.052已知Cu的K

而得到第一级极大。试求NaCl晶体常数d d 2

2.825铝（Al）被高速电子束轰击而产生的连续X5A观察到其标志谱K解：短波X光子能量等于入射电子的全部动能。hc2.48103 要使铝产生标志谱K1S电子吸收足够的能量被电离而产生空位，因此轰击电子的能量必须大于或等于K吸收限能量。吸收限能量可近似的表示为：ERhc(Zn1,0Z13KK1691.0971076.63103432.30103故能观察到已知AlCu对于0.7AX0.5米2公斤和5.0米2公斤，AlCu的密度分别是2.7103公斤米38.93103公斤米3。现若分别单独用Al板或Cu板作挡板，要0.7A的X1/100。问要选用的Al板或Cu2 22解：0.7A， )Al0.5米/公斤 )Cu5.02

2.7103公斤米

8.93103公斤米I 0II0因为X光子能量较低，通过物质时，主要是电离吸收，故可只考虑吸收而略掉散射0II0I 1

x对于

0.5米20.5米2公斤2.7103公斤米31.35103米对于

1ln1003.411035.0米25.0米2公斤8.93103公斤米34.465104米

1ln1001.03104为什么在X光吸收光谱中K系带的边缘是简单的，L系带是三重的，M系带是五答：X射线通过物质时，原子内壳层电子吸收X射线能量而被电离，从而产生吸收谱电子从相应壳层电离而不使其具有动能。对应于X射线能级的谱项公式是：T

(nK

3)4式中对不同的n和不同的l都不同，K=J+1/2。由于J不同也有不同的谱项数。对于K1层n1,l0J

,K2L壳层n2可以有三组量子数(l0J1l1J1l1J3。此 分别对应有三种谱项值，所以，L系有三个吸收限，即是三重的。M

n3,组量子数：(l0J

2

2

3),(l2,J2

3),(l2,J2

2组量子数分别对应五个光谱项值，所以M试证明X证明：我们以X光谱L系与碱金属光谱进行比较。L系是由外层电子向L壳层（n=2）。sp以Ip能级向较低的sp、s能级结构与X能级相仿。所以其光谱具有相仿的结构。LI系是由的n32P能级上产生的，而sp是双层的。所以LI系谱必是由一组等间距的双线构成。LI系对应于碱金属第二辅线系的跃迁。它们有相仿的结构。同理LI系与碱金属第一辅线系有相仿结构。其他XXHB分子的远红外吸收光谱是一些16.94厘米1等间隔的光谱线。试求 分子的转动惯量及原子核间的距离。已知H和Br1.00879.922B。而Bh

~c

3.3021047千克米Im I

(I

2925.78,2906.25,2865.09,2843.56,2821.49厘米－１。H和Cl01.00835.46。试求这个谱带的基线波~00乎相等。而2906.25和2865.09转动谱带。上述两谱线之间有一空位，此空位即是只有振动跃迁是的基线波~。给出0R分支，其波数按大小顺序分别记为~

；后三条属于P支，其波数按大小顺序分别写作~ ~

P1,P2,0R~0R

2',0P0P

~

2',

~ (1)-(2)式,得:B 4

(3)-(4)式,得

10.29 8

2

I

2.721047千克米由(Ⅰ)(Ⅱ)0 0

2885.17厘米1288517米11 11

~22

~

122 22

mH

mm35 Clmm35 Cl~1E2

;若原子间为弹性作用，第二项或能级修正项(u1)2b应略去。2~~u1而fcv（2）NiN

gie(EiE)/g

0N0是处在低能级E0上的分子数。gig0是对应的权重。可见当T能级上的分子数Ni 光在HF分子上组合散射使某谱线产生波长2670A和3430A1.00819.00式中v0v1是振动谱带频率。v'1(v'v")c(11)1.241014

2

H

9.65102牛顿 N(AA 1H和1n1.00782521.008665412C E

mA)931EE0EE

30Si中每个核子的平均结合能e0.000548,2H2.014102,1n EE1 Hn1解： Hn1

0 88 0NN00如果在短时间dt内有dN个核衰变,则衰变率dN/dt必定与当时存在的总原子核数目N成0

4100,t1秒N0

N1克AN'

6.021023,A6.0210

232克N0

1

26

261.581018Tln20.43810181.41010

在考古工作中,可以从古生物遗骸中14C的含量推算古生物到现在的时间t.设014C和12C14C和12C0式:tTln(0式中T14Cln00推证:设古生物中12CN(12C);刚死时的古生物中14CN(14C);现在古生物遗骸中14C的含量为N(14CN(14CN(14C)et00

N(12C);

N古生物刚死时14C的含量与12C

以:

t

ln1ln

Tln(

/)算原子核中两粒质子间的库仑推斥力的大小（用公斤表示（质子间的距离用1015米子间的库仑排斥势能将正比于Z(Z-1)，当Z>>1时，则正比于Z2。每一对质子的静电斥力能是E

，R是核半径。若二质子间的距离为RfER1

65采用SI

f

5

算出

的反应能.有关同位素的质量如 3131

22Q[(mm)(mm22 [(7.01599913.007825)(24.002603)]21MeV的质子打击Li，问在垂直于质子束的方向观4He能量有多大？224He核应沿入射质子的方向对称飞开。如图所示。2 矢量P1P2P3合成的三角形为一个等腰三角形,二底角皆为.又因为m2