第4章6 对数函数以及图像与性质（二）-人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型练习（机构专用）

对数函数的图像与性质(二)

考向一对数函数的定义域

1、函数/(x)=/g(x-2)+」一的定义域是()

x-3

A.(2,3)B.(3,+oo)

C.[2,3)U(3,+oo)D.(2,3)U(3,+oo)

【分析】令对数的真数x-2大于0；分母X-3非0,列出不等式组，求出函数的定义域.

【解答】解：要使函数有意义，需满足

k-2>0

解得x>2且x*3

故选：D.

2、设集合A={x|-3领反—13},集合8为函数y=/g(x—1)的定义域，则A|j8=()

A.(1,2)B.[-1,+oo)C.(1,2]D.[1,2)

【分析】先化简集合A,8再根据并集的定义即可求出.

【解答]解：A={x|-3融x-l3}=[-1,2],

y=/g(x-l)的定义域为{x|x>l}=(l,y),

=[-i,+oo),

故选：B.

【点评】本题考查集合的并集的求法，是基础题.解题时要认真审题.

3、函数y=,/ogo,s(4x-3)的定义域是()

A.<-,+00)B.(-,1]C.y,1]D.[1,-K»)

44

【分析】首先由根式有意义得到k>g°，(4x-3)..O,然后求解对数不等式得到原函数的定义域.

【解答】解：要使原函数有意义，则bg0.5(4x-3)..O,

a

即0<4x-3,l,解得

4

所以原函数的定义域为

故选：B.

4、对数表达式log«D(5-x)中的x的取值范围是.

【分析】直接根据底数与真数满足的条件求解即可.

【解答】解：•.•对数式的底数需大于0不等于1,真数大于0;

5-x>0：：；且.番的取值范围是：

故需:2”(2,5).

故答案为：(1,2)52,5).

【点评】本题主要考查对数表达式中底数与真数所满足的条件，属于基础题.

J-x2-3x+4

5、函数y=的定义域是.

/心+1)

【分析】根据函数的定义为使函数的解析式有意义的自变量X取值范围，我们可以构造关于

自变量X的不等式，解不等式即可得到答案.

【解答】解：要使函数”与言/有意义，则需满足

—x^—3x+4..0

x+1>0且加(x+1)o0

解之得，一1<兀,1且xwO,

...函数y=的定义域是(T,O)U(O,1].

//2(X+1)

故答案是(-1,0)50，i].

【点评】本题考查了函数定义域的求解，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件.

6、若/(外=1。8“(-/+108”;1?)对任意》€(0,3)恒有意义，则实数。的范围.

【分析】根据对数函数成立的条件进行讨论，分别进行求解即可.

【解答】解：要使函数/(x)有意义，则当意xe(O,g)时，—/+108“%>。恒成立，

即log“x>x2.

若a>l时，当XE(0,；)时log.xcO,此时不成立.

若0vavl,当xe(0,g)时，作出函数y=log.x和y=父的图象，

当x=，时，log—=—,得加二!，

2a242

即a」，

16

/.若/(X)=log”(-产+log。X)对任意XG(0,g)恒有意义，

则—,,a<1,

16

即实数〃的范围是['/).

故答案为：[」■』).

考向二复合函数的单调性

1、已知函数f(x)=log“［(a+l)x2-x-7］在［2,3］上是增函数,则实数。的取值范围是()

A.(―,+oo)B.(1,1)5』，+8)

494

D.(；,1)［J［2,4^0)

C.(2,+00)

【分析】先考虑函数心)=m+l*-x_7,在［2,3］上是增函数，再利用复合函数的单调

性得出2求解即可.

(a+l)22-2-7>0

【解答】解：设函数，*)=(。+1)9-%-7,

•.,a>0,

,■.x=―!—<2,

2(4+1)

:.t(x)^(a+l)x2-x-1,在［2,3J上是增函数,

2

1."函数/(x)=logu［(a+l)x-x-7］在［2,3］上是增函数,

.p>>

■'[(a+l)22-2-7>0

5

Cl>一,

4

故选：A.

考向三复合函数的单调性应用（最值与值域，解不等式）

1、已知函数f（x）=2/og|X的值域为,1],则函数/（x）的定义域是（）

5

A.[―,伪B.[-1,1]

2

]/2

C.[-,2]D.（-co,半J应，+00）

【分析】由题意可得-1张如。gM1,化简可得」张妙2.再由x>0,求得x得范围，即可得

22

到函数/（X）的定义域.

【解答】解：・.•已知函数f（x）=2loglx的值域为[一1,1],.•.-1领210glx1,即

22

log1（：）T融logIXlogI（?,

Q2252

化简可得,领P2.

2

再由x>0可得[别：叵,故函数f（x）的定义域为[4，72],

故选：A.

【点评】本题主要考查对数函数的定义域和值域，关键在于等价转化，属于中档题.

2、已知函数，。）=侬加-2》+/的值域为R,则实数。的取值范围为（）

A.[-1,1]B.[0,1]

C.(—00,—1)(1,+oo)D.(l,+oo)

【分析】结合对数函数的值域为R,等价转化为(0,M)是g(x)值域的子集，利用一元二次

函数的性质进行转化求解即可.

【解答】解：函数/(x)=/g(加-2x+a)的值域为

设g(x)=or2-2x+a,则g(x)能取边所有的正数，即(0,转)是g(x)值域的子集，

当a=0时，8(刈=-2犬的值域为7?,满足条件.

当4K0时，要使(0,")是g(x)值域的子集，则满足,2八得，

[A=4-4“-..0[-掇上1

此时0<q,l,

综上所述，噫人1,

故选：B.

【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的值域为A，等价转化为

(0,”)是g(x)值域的子集是解决本题的关键.

3、若定义运算了(“㊁力='则函数外吗(1+*)笆)1咱(1—》))的值域是()

[b,a<b

A.(-1,1)B.10,1)C.[0,+oo)D.[0,1]

【分析】f(a*6)即取。、■的较大者,求出函数/(Iog2(l+x)*log2(l-x))的表达式为分段函

数，在每一段上求函数的值域，再取并集即可.

【解答】解：由题意得/(a*0=/小

\b,a<b

y=/(Iog2(l+x)*log2(l-x))，

_Jlog2(l+jc),0„x<l

}log2(l-x),-l<x<0

当O,,x<l时函数为y=log2(l+x),

因为y=log2(l+x)在[0,1)为增函数，

所以ye[0,1),

当一1<x<0时函数为y=log2(l-x),

因为y=k>ga-x)在(-1,0)为减函数，

所以ye(0,1),

由以上可得yc[0,1),

所以函数/(Iog2(l+x)*log2(l—x))的值域为[0,1),

故选：B.

4^若函数y=k>g“(x2-or+1)有最小值，则。的取值范围是.

【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g(x)=f-奴+1的单调性，进而分和

0<a<l两种情况讨论：①当a>l时，考虑对数函数的图象与性质得到Y-ar+l的函数

值恒为正；②当0<。<1时，△=〃-4<0恒成立，x2-ar+l没有最大值，从而不能使

得函数)，=1用“(/-以+1)有最小值.最后取这两种情形的并集即可.

【解答】解：令g(x)=f-ar+l(a>0,aW1),

①当a>l时，^=1。8。*在*上单调递增，

要使y=log”，-ax+1)有最小值，必须g(x),而>0,

<0,

解得-2vav2

:A<a<2\

②当0<〃vl时，g(x)=x2-ar+1没有最大值，从而不能使得函数y二b且工/一依+1)有最

小值，不符合题意.

综上所述：1<6Z<2；

故答案为：lvav2.

5、函数y=(log1x)2-log1f+5在2效k4时的值域为.

44

【分析】利用换元法，令f=log,x由2釉4可得-掇1:-1,由题意可得

42

y=(logix)2-21og［尢+5=(/-1尸+4,又因为函数在［-1,-单调递减，从而可求函数

442

的值域.

【解答】解：令f=k)g］X,

4

因为2殖Jr4,所以-掇1

2

则y=(logjx)2-21og1x+5=(r-l)2+4,

44

又因为函数在［-1,-g］单调递减，

当f=-•!■是函数有最小值交，当f=-1时函数有最大值8；

24

故答案为：{田纹斜，8}

-4

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单

调性的应用，属于基础知识的简单综合试题.

6、若函数f(x)=log〃(x+q-4),(。>0且的值域为R,则实数a的取值范围是.

X

【分析】函数/(幻=1。8“。+3-4),(〃>0且a*1)的值域为/?,则其真数可取实数中每一

X

个正数，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可.

【解答】解：函数/■(x)=log“(x+2-4),(a>0且awl)的值域为R,其真数可取每一个正

X

数，

即工+3—4>0不恒成立，即存在xeR使得X+2,4,又。>0且awl

XX

故可求x+@的最小值，令其小于等于4

X

・.・X+2.2石

X

2y/a„4,解得a,,4,

故实数a的取值范围是(0,I)U(1,4]

故应填(0,1)U(1,4]

7、□^口f(x)=/og2(x-D+Jx2-2x+4,若〃x2-x+l)-2<0,则x的取值范围为()

B.(臂,0)|J(l，¥)

A.(-00,0)U(1,4-00)

r/-石1+石、

*(292D.(-1,0)51，2)

【分析】求出函数的定义域，再求出单调性，利用单调性求解不等式即可得结论.

【解答】解：由题意可得：解得X”

即函数/(x)的定义域为(1,”),

因为在区间(1,+00)上，函数y=log2(x-l)单调递增，函数y=Jx?-2x+4单调递增,

2

所以函数/(x)=log2(x-1)+\lx-2x+4在区间(1,+00)上单调递增，

又/(2)=2,所以/(冗2一次+1)一2<0,即为f(f-x+l)</(2),

所以-工+1<2,

解得-——<x<0或l<x<]+".

22

故选：B.

8、已知函数/'(x)=log2(4'+l)-x,则使得了(3%-1)+1<log25成立的x的取值范围()

A.(―°o,—)B.(0,—)

2

C.(―,+8)D.(—00,0)(19+oo)

【分析】先利用函数奇偶性的定义得到/(%)是偶函数,/(X)是偶函数，令分=1(r>0),

则g(r)=log式「+；),利用对勾函数的单调性结合复合函数的单调性得到当x<0时，/(x)为

减函数；当X..0时，/(x)为增函数，原不等式等价于(1),所以从

而得出x的取值范围.

v

【解答】解：fM=log2(4+1)-x=log2(4*+1)-log?2'=log,=log,(2'+城)，

xx

■.-f(-x)=log2(2-+2)=f(x),

.•./(x)是偶函数,

令2』，Q>0),

.,.g(r)=log2(f+-)，

当0<，<1时，g⑺为减函数；当时，gQ)为增函数，

则当x<0时，/(x)为减函数；当X..0时，f(x)为增函数，

•/f(3x-1)+1<log25,

/(3x-l)<log25-l,

(1),

/J3x—l|<l,

/.-1<3x—1<1>

2

解得：0<x<-»

3

故选：B.

考向四复合函数的奇偶性

1、已知/(X)是奇函数，且当XV。时，/")=—*.若/(In2)=8,贝Ijo=

【答案］一3

【解析】由题意知/(幻是奇函数，且当％<°时，

又因为ln2e(0,l)/(In2)=8

所以一e=-8,

两边取以e为底数的对数，得一aln2=31n2,

所以一0=3,即〃=-3.

2、若函数f(x)=ln(x，ax+l)是偶函数,则实数a的值为.

【答案】0

【解析】函数f(x)=ln(x2+ax+l)是偶函数,

所以f(x)=f(-x),即In(x2+ax+l)=ln(x'-ax+l),

所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.

3、已知f(x)是定义在H上的偶函数,且用,0时，f(x)=log|(-x+l).

2

(1)求/(x)的解析式；

(2)若/m—I)<T,求实数。的取值范围.

【分析】(1)根据函数奇偶性的性质即可求函数f(x)的解析式；

(2)若/(4—1)<一1,将不等式进行转化即可求实数。的取值范围

【解答】解：(1)令x>0,则一x<0,/(-x)=log,(%+1)=/(%)

2

时，f(x)=log,(x+1),

2

logt(x+l)(x>0)

则〃X)=[5

组(-彳+1)(%,0)

2

(2)(III)Vf(x)=logi(-x+1)a(^o,0]上为增函数,

2

：./(x)在(0,-K»)上为减函数

/(«-1)<-1=/(1)

.'Jtz—1|>1,

二.a>2或avO.

【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求

出函数的解析式是解决本题的关键

4、已知f(x)是定义在R上的偶函数,且用,0时，/(x)=log[(-x+1)

⑴求f(3)+/(-1)；

(2)求函数f(x)的解析式；

(3)若/(a-求实数a的取值范围.

【分析】(1)利用函数奇偶性的性质即可求/(3)+/(-D

(2)根据函数奇偶性的性质即可求函数/(x)的解析式；

(3)若将不等式进行转化即可求实数a的取值范围.

【解答】解：(/)・・•/(x)是定义在A上的偶函数，％,0时，/(x)=log,(-x+l),

2

.•./(3)+/(-1)=/(-3)+/(-I)=log,4+log,2=-2-1=-3;

22

(〃)令x>0,则-Xv0,/(-%)=log,(x+l)=/(x)

2

二.x>0时，f(x)=log)(x+1)>

2

70gl(T+1),x,0

则/⑴=|1

(x+l),x>0

2

(ni)•.•/。)=1。81(—+1)在(-8,o］上为增函数,

2

f(x)在(0,+oo)上为减函数

•.•/(6Z-1)<-1=/(1)

；.|tz-1|>1,

.•.a>2或"0

【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函

数的解析式是解决本题的关键.

5、已知函数/(劝=1呜(l+x)—log“(l—x),其中a>0且"1.

(1)求函数/(x)的定义域；

(2)判断/")的奇偶性，并说明理由；

(3)若/(1=2,求使/(x)>0成立的x的集合.

【分析】(1)根据函数解析式有意义的条件即可求/(x)的定义域；

(2)根据函数的奇偶性的定义即可判断了(幻的奇偶性；

⑶根据/。=2,可得：。=2,根据对数函数的性质即可求使/(x)>0的x的解集.

【解答】解：(1)要使函数有意义，则f+

[l-x>0

解得—I<X<1,

即函数/(x)的定义域为(-1,1)；

(2)f(-x)=log„(-X+1)-log,,(1+x)=41ogu(x+l)-log„(l-x)]=-/(x),

，/(x)是奇函数.

(3)若代)=2,

33

,log/1+-)-logrt(1--)=log.4=2，

解得：a=2f

fM=log2(I+x)-log2(l-x),

若/(X)>O,则Iog2(x+l)>log2。-X)，

/.X4-1>1-X>0,

解得0cx<1,

故不等式的解集为(0,1).

【点评】本题主要考查对数函数的定义域，奇偶性和不等式的求解，要求熟练对数函数的图

象和性质.

6、已知函数f(x)=log]匕丝的图象关于原点对称，其中。为常数.

2X-1

(1)求。的值；

(2)当时，/(尤)+108](1-1)<加恒成立，求实数团的取值范围；

2

(3)若关于x的方程/(x)=log](x+k)在[2,3]上有解，求3的取值范围.

2

【分析】(1)函数/(x)=log1匕竺的图象关于原点对称，可得f(x)+/(-x)=0,整理得

2X-1

logi匕丝+logi止竺=0恒成立，即可得出答案

2X~i2-X-1

(2)x£(l,+co)时，/(x)+log](x-l)<〃z恒成立，求出xe(l,+oo)时,/(x)+log](x-l)的最

22

大值，即可解出m的取值范围

(3)由于f(x)=k)g]—:在[2,3]上是增函数,g(x)=log](x+Z)在[2,3]上是减函数,

/一1i

可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的

大小得出解之即可得出答案

1/(3)..^(3)

【解答】解：(1)函数/"(x)=log|a的图象关于原点对称，

2X-1

\/*/、八nn11一奴14-CIX

/(x)+/(-X)=0,即log|------+log,-------=0,

2X—12一1―1

.A-ax1+办、八\-cix\+ax3

・'•/ogi(-------X-------)=0,・•・--------X--------=1怛成乂，

x-1-x-\x-1-x-1

即1-/*2=]_*2,即面_[沈2=0恒成立，所以片_]=0,解得”=±1,

又4=1时，/(X)=logj--竺无意义，故。=一1；

21

1Y*

(2)xe(l,+oo)时，f(x)+log((工一1)<，口恒成立，即log1——-+log1(x-1)</n,

22工―12

，log［(x+l)〈机在(l,+oo)恒成立,

由于y=log］(x+l)是减函数，故当x=l,函数取到最大值一1，

\nt.-\y即实数〃的取值范围是机..-1；

(3)/(x)=log］匕土在［2,3］上是增函数，g(x)=log］(x+Z)在［2,3］上是减函数,

彳》一1弓

••・只需要卜即可保证关于X的方程/(x)=log1(x+Z)在［2,3］上有解，下解此不等

/(3)-g(3)

式组.

log?,k)g[Q+k)

代入函数解析式得，解得-啜*1,

log[2..logM3+k)

即当-啜点1时关于x的方程f(x)=log|(x+外在［2,3］上有解.

2

【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题,

本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题

考向五分段函数的综合性质

log2>0

1、设函数/(x)=k)g|(r),x<0,若/■)>/(一。)，则实数。的取值范围是

【答案】(-1,0)?(1,?)

a>0a<0

【解析】由题意"iog26?>logja或<log〕(-tz)>log2(-^z)

、2I2

a>0a<0

=>\1或(1=。＞1或一1＜。＜0,则实数。的取值范围是（一1,0）51,”）；

a>———<-a

、aIa

2、函数f（x）=|bg3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则。-a的最小值为.

【分析】先画出函数图象，再数形结合得到a、6的范围，最后计算〃-。的最小值即可

【解答】解：函数f（x）=llog3x|的图象如图

而/（：）=/（3）=1

由图可知1],/＞e[l,3]

io

人一。的最小值为a=—，8=1时，即匕一。=—

33

考向六复合函数性质的综合应用

1、已知函数f(x)=/〃(》2-or+4).

(1)若/(x)定义域为R,求实数a的取值范围；

(2)当a=4时，解不等式/(e*)..x.

【分析】(1)转化为判别式△<(),即可；

(2)a=4,将不等式/®')./转化为(d)2-4/+4.2,再结合定义域即可得到x范围.

【解答】解：(1)由已知得％2-奴+4>0解集为R,

△=a2-16<0,解得T<a<4；

(2)a=4时，f(x)=ln(x2-4x+4),

f\ex)=ln[(ex)2-4ex+4]..x,

(e')2-4e'+4..e‘，

(，)2-5e，+4..O,

令e"=f,

则/_5/+4..O,

"4或f,,1,

，x../"4或％,0,

又x?-4x+4>0,

综上，x的解集为{x|%,0或x../〃4且XH2}.

【点评】本题考查了恒成立问题，不等式的解法.主要考查分析和解决问题的能力，解题时

注意定义域优先，本题属于基础题.

2、己知函数f(x)=log1，-2or+3).

2

(1)若/(x)的定义域为R,求。的取值范围；

(2)若f(T)=—3,求f(x)单调区间；

(3)是否存在实数“，使/(x)在(re,2)上为增函数？若存在，求出。的范围？若不存在,

说明理由.

【分析】(1)f一2奴+3>0恒成立，△<()

(2)求出a转化为二次函数问题

(3)根据符合函数单调性求解.

【解答】解：⑴•.•函数/。)=1呜，-2依+3)的定义域为/?,

2

.,.d-2"+3>0恒成立，A<0,4a2-12<0

即。的取值范围一6<。<百

(2)•.•/(-1)=-3,:.a=2

'：f(x)=log,(x2-4x+3).X2-4x+3>0.x<l或x>3

2

设,*(x)=x2-4x+3,对称轴x=2,

.,.在(-00,1)上为减函数，在(3,+oo)上为增函数

根据符合函数单调性规律可判断：

/(x)在(-00,1)上为增函数，在(3,+00)上为减函数

(3)函数函x)=k>g］，-2ar+3).

设n[x}=x2-2ax+3,

可知在(-00,a)上为减函数，在(a,+oo)上为增函数

/(x)在(ro,2)上为增函数

7

a..2且4-4。+3..0,a..2且不可能成立.

4

不存在实数”，使在(-oo,2)上为增函数.

【点评】本题综合考察了函数的性质，结合不等式求解，对函数理解的比较透彻才能做这道

题.

3、设函数f(x)=logs(9x).k>g3(3x),且,设！k9.

(I)求/(3)的值；

(11)令『=1。8/,将f(x)表示成以r为自变量的函数；并由此，求函数/3)的最大值与最

小值及与之对应的x的值.

【分析】(I)根据函数/(x)的解析式求得f(3)的值.

(II)令"log?》，则一2附2,且/(x)=r+3r+2,令g(r)=f2+31+2=Q+62-；，利

用二次函数的性质求得g(t)的最值以及此时对应的x的值.

【解答】解：(I)•.•函数/(x)=log3(9x).Iog3(3x),且"额9.

故/(3)=log327.1og,9=3x2=6.

2

(II)令"log),则-2驯2,K/(x)=(log3x+2)(1+log3x)=t+3t+2,

3

221

^g(r)=r+3f+2=(r+-)--,

故当t=-3时，函数g⑺取得最小值为-；，此时求得x=3<=骼；

当，=2时，函数g(r)取得最大值为12,此时求得x=9.

【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，属于中档题.

4、设集合A={x|y=log2(x-l)},8={y|y=-*2+2x-2,xe/?)

(1)求集合A,B；

(2)若集合C={x|2x+a<0},且满足B|JC=C,求实数”的取值范围.

【分析】(1)集合A即函数y=log2(x-l)定义域，8即y=-x?+2x-2,xeR的值域.

(2)先求出集合C,由B|JC=C可得BqC,.解不等式得到实数。的取值范

围.

【解答】解：(1)A={x|y=log2(x-l)}={x|(x-l)>0}=(l,+oo),

8=3y=-/+2x-2,xeR}={y|y=-(x-l)2-1,xwR}=(7,-1].

(2)集合C={x|2x+a<0}={x|x<-g},

v8|JC=C,

；.B=C,

一@>一1.1”2,.•.实数。的取值范围(f2).

2

【点评】本题考查函数的定义域、值域的求法，利用集合间的关系求参数的取值范围.

5、己知函数f(x)=log2(x+l)-2.

(1)若/(x)>0,求x的取值范围.

(2)若"(T,3],求/(x)的值域.

【分析】(1)通过/(x)>0,列出不等式即可求x的取值范围.

(2)xe(-l,3],求出x+1的范围，利用对数函数的单调性求解求f(x)的值域.

【解答】解：(