复变函数 西安交大版

第二章解析函数

◆第一节解析函数的概念

◆第二节函数解析的充要条件

◆第三节初等函数第一节解析函数的概念

一复变函数的导数与微分

二解析函数的概念

三本节小结一复变函数的导数与微分1.导数的定义:在定义中注意:解例1例2解2.可导与连续:

函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.证[证毕]例3解由上章知识易知，f(z)是连续的.解因此，连续不一定可导.3.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:4.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.定义特别地,二解析函数的概念1.解析函数的定义2.奇点的定义根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析，若在一点解析则在这点一定可导.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.解由本节例1和例3知:例4例5解例6解定理利用求导法则易得下面解析函数的性质.根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.三本节小结理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系:

解析一定可导，可导不一定解析；区域内解析与可导等价.重点掌握解析函数的概念;掌握可导、解析之间的关系；会利用导数公式和求导法则以及可导解析之间的关系判断函数解析性的方法.第二节解析函数的充要条件

一主要定理

二典型例题

三本节小结

如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数

w=f(z)在D内解析。本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导公式.问题如何判断函数的解析性呢？一

主要定理记忆定义方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则

f(z)在点z=x+iy

∈D处可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方程：上述条件满足时,有证明（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证

f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）。则f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+

(Δz)Δz(1),且Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(

1+i

2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+

1Δx-

2Δy)+i(bΔx+aΔy+

2Δx+

1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=

1+i

2故（1）式可写为因此Δu=aΔx-bΔy+

1Δx-

2Δy,Δv=bΔx+aΔy+

2Δx+

1Δy所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足

C-R方程f(z)在点z=x+iy处可导）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：使用时注意:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，

ii)验证C-R条件.iii)导数公式：定理2

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程：由区域内解析与可导等价，可得如下定理.解析函数的判定方法:二典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:不满足柯西－黎曼方程,四个偏导数均连续指数函数四个偏导数均连续例2证解例3证例4解例5例6证证根据隐函数求导法则,例7根据柯西－黎曼方程得三本节小结在本课中我们得到了一个重要结论—函数解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.掌握判断函数解析性的方法.Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料Riemann黎曼资料Born:17Sept1826inBreselenz,Hanover(nowGermany)

Died:20July1866inSelasca,Italy第三节初等函数

一指数函数

二对数函数

三乘幂与幂函数

四三角函数

五反三角函数

六本节小结

本节将实变函数中的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。一指数函数1.指数函数定义说明（1）当y=0时，所以复指数函数是实指数函数的推广；（2）当x=0时，即为欧拉公式.2.指数函数性质它与实变指数函数有类似的性质：（1）无零点性（3）可加性（4）周期性（5）无极限性不存在（因沿实轴正向、负向极限不同）例1例2例3求出下列复数的辐角主值:二对数函数1.对数的定义定义指数函数的反函数称为对数函数。即，2.对数函数的性质说明例4例5三乘幂与幂函数1.乘幂的定义定义

—多值—一般为多值—q支

(1)当b=n(正整数)时乘幂ab与a的n次幂意义一致。

(2)当b=1/n(n正整数)时乘幂ab与a

的n次根意义一致。2.幂函数的定义定义①当b=n(正整数)w=zn在整个复平面上是单值解析函数除去b为正整数外，多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值。3.幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,例6解例7解四三角函数1.三角函数的定义推广到复变数情形.定义当z取实数时，此定义与通常的正弦函数一致.2.三角函数的性质（5）可定义其他复变三角函数例83.双曲函数定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数五反三角函数1.反三角函数的定义两端取对数得同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:六本节小结复变初等函数是一元实变初等函