经济数学（第三版） 课件 第7、8章 最优配置与最佳效果分析、概率计算成果因素分析

第七章

最优配置与最佳效果分析目

录CONTENTS1安排生产问题及解决方案ArrangeproductionproblemsandSolutions2使用EXCEL讨论线性规划问题UsingExceltodiscusslinearprogramming3进一步学习的数学知识：单纯形法Furthermathematicsknowledge:Simplexmethod安排生产问题及解决方案ArrangeproductionproblemsandSolutions1一、问题的引入问题分析:这是一个最优化问题，应先设出目标变量和关键变量并建立目标函数，然后根据目标函数的类型，选择合适的方法求最值。

引例某企业生产甲、乙两种产品，要用3种不同的原料A、B、C．

从工艺资料可知：每生产1吨甲产品，需耗用3种原料分别为1，1，0单位；生产1吨乙产品，需耗用3种原料分别为1，2，1单位．每天原料供应的能力分别为6，8，3单位．

又知道每生产1吨甲产品，企业的利润收入为300元，每生产1吨乙产品，企业利润收入为400元．那么该企业应该如何安排生产计划，使一天的总利润最大呢？一、问题的引入设企业每天生产甲产品为吨，生产乙产品为吨，称，为决策变量，他们不能任意取值，要受到可供利用的原料资源数量的限制．又因为产品的产量一般是一个非负数，所以有，，称为非负约束．

解决方案

上面得到的3种原料的线性不等式是决策变量，取值所必须满足的条件，它们约束了决策变量，不能取任意值，称它们为约束条件．数学模型由三部分组成的：

①决策变量；

②线性的目标函数；③线性的约束条件．线性规划问题的三要素．一、问题的引入生产1吨甲产品企业的利润收入为300元，生产1吨乙产品企业的利润收入为400元．于是甲、乙两种产品的总利润为：它是决策变量的线性函数，并称此函数为目标函数.综上所述，得到描述原问题的数学模型如下：二、线性规划模型的相关概念

在线性规划问题中，满足约束条件的解称为可行解，所有可行解的集合称为可行集；使目标函数取值最大或最小的可行解称为最优解，对应于最优解的目标函数值称为最优值．

目标函数和约束条件均为线性关系的最优化问题称为线性规划问题，线性规划问题的数学模型一般形式如下：三、图解法例1

利用图解法求解线性规划问题

学习图解法的主要目的在于帮助理解线性规划问题解的性质.下面首先通过一个具体实例来说明图解法的原理和步骤.三、图解法解

(1)建立平面直角坐标系，根据约束条件画出可行域.图中阴影部分即为线性规划问题的可行域，可行域内任意一点的坐标都是该线性规划问题的可行解.(2)绘制目标函数等值线.

在几何上，目标函数代表平面上的一族平行直线，其中一条直线对应一个Z值.落在同一条直线上的点，如果又落在可行域上，那么这样的点就是具有相同目标函数值的可行解，所以平行直线族中的每一条直线又称为等值线.三、图解法(3)确定最优解最优解必须是满足约束条件，并使目标函数达到最优值的解，故的值只能在可行域中去寻找.当等值线由原点开始向右上方移动时，Z的值逐渐增大，于是，当移动到与可行域相切时，切点就是代表最优解的点.本例中等值线与可行域的切点为C点当时最优解为：19三、图解法例2某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉.问：应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?模型建立决策变量：设每盒盒饭需要面食（百克），米食（百克）目标函数：使费用最少，即约束条件：营养需求约束：非负约束：三、图解法综上所述，得药品生产问题的数学规划模型为：三、图解法模型求解：

(1)建立平面直角坐标系，根据约束条件画出可行域.(2)绘制目标函数等值线.目标函数代表平面上的一族平行直线，如图中虚线所示.(3)确定最优解本例中等值线与可行域的切点为A，此时目标函数取得最小值.当时最优解为：四、线性规划问题解的性质一般地，含两个变量的线性规划问题的解有下面四种情况：

（1）有可行解且有唯一最优解；

（2）有可行解且有无穷多最优解；

（3）有可行解但无最优解；

（4）无可行解.

同时，若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到，若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线段上的任意一点都是最优解，即有无穷多最优解.性质1求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解.性质2若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一（如果有无穷多最优解）一定可以在基可行解(顶点)中找到.使用Excel讨论线性规划问题UsingExceltodiscusslinearprogramming2一、使用EXCEL求解线性规划

Excel具有强大的规划求解功能，可以解决最多有200个变量，100个外在约束和400个简单约束（决策变量整数约束的上下边界）的线性规划与非线性规划问题．因此，可通过Excel的规划求解功能实现问题的求解。第一步：在Excel工作表中输入目标函数的系数、约束条件的系数矩阵和右端常数项（每一个单元格输入一个数据）；第二步：选定一个单元格存储目标函数，用定义公式的方式在这个目标单元格内定义目标函数；第三步：选定与决策变量个数相同的单元格（称为可变单元格），用以存储决策变量；再选择与约束条件个数相同的单元格，用定义公式的方式在每一个单元格内计算出相应的约束函数（称为约束函数单元格）；第四步：点击规划求解按钮，打开规划求解参数设定对话框，添加约束条件，完成规划模型的设定.使用规划求解加载宏求解数学规划的步骤：二、典型案例典型问题1某奶制品加工厂用牛奶生产两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤．根据市场全部能售出，且每公斤获利24元，每公斤加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设，设备乙的加工能力没有限制．请为该厂制定一个生产上用12小时加工成3公斤需求，生产的获利16元.现在备甲每天至多能加工100公斤计划，使得工厂每天获利最大．解决方案1.模型建立决策变量：设每天用桶牛奶生产设每天用桶牛奶生产目标函数：每天获利，使获利最大，即约束条件：原料供应：劳动时间：设备能力：非负约束：综上所述，数学规划模型为：二、典型案例2.模型求解第一步：建立表格.在工作表中的A1，A2，A3，D2，E2，A8单元格中分别输入“目标函数系数”，“决策变量”，“约束条件系数”，“目标函数值”，“约

束条件左端的值”，“约束条件右端的值”；在B1，C1单元格中输入目标函数的系数72，64，在B3，C3单元格中输入第一个约束条件的系数1，1；同理，在相应单元格中输入其他约束条件的系数与约束条件右端的值，如下图所示：二、典型案例第二步：计算约束条件左端的值和目标函数值．在D3单元格中输入公式“=B3*$B$2+C3*$C$2”，并使用句柄填充拖曳至D7单元格.目标函数的值等于目标函数系数乘以决策变量，从而在B8单元格中输入公式“=B1*B2+C1*C2”，如下图所示．二、典型案例第三步：输入各项参数

单击【数据】菜单中的【规划求解】命令，在弹出的规划求解对话框中输入各项参数．（1）设置目标单元格和可变单元格在“规划求解参数”对话框中选中“最大值”前的单选按钮，设置目标单元格为“$D$10”，可变单元格为“$B$2:$D$2”

，如右图所示．（2）添加约束条件单击【添加】按钮，打开【添加约束】对话框，单击单元格引用位置文本框，然后选定工作表中的D3至D5单元格，则在文本框中显示“$D$3:$D$5”，选择“<=”约束条件；单击约束值文本框，然后选定工作表中的E3至E5单元格，如图所示．二、典型案例第四步：在【规划求解结果】对话框中，单击【确定】按钮，工作表中就显示出规划求解的结果，如图所示．

如果要生成运算结果报告，可在【规划求解】对话框中选择【报告】列表框中的【运算结果报告】．单击【确定】按钮，则产生运算结果报告表.二、典型案例饲料配料问题在现代化的大型畜牧业中，经常使用工业生产的饲料.设某种饲料由四种原料混合而成，要求它含有三种成份（如维生素、抗菌素等）的数量分别不少于25、36、40个单位，各种原料的每百公斤重含三种成份的数量及各种原料的单价如表所示.问：应如何配料，使合成饲料（产品）既含有足够的所需成份，又使成本最低?二、典型案例二、典型案例1.模型建立目标函数：要使得成本最低，即决策变量：百公斤.设合成饲料中原料

的含量分别为

解决方案

在生产过程中，要使合成饲料含有足够的所需成份也就是说合成饲料中所含三种成份的总量要大于等于每种成份的需要量.同时，总成本最低，也就是使得合成饲料过程中四种原料的含量总成本最低.二、典型案例约束条件：需求量约束：合成饲料中成份

的含量需要大于等于需要量，即非负约束：综上所述，得数学规划模型为：二、典型案例2.模型求解第一步：在Excel工作表中建立线性规划模型，并计算约束条件左端的值和目标函数值，如图所示：第二步：单击【数据】菜单下的【规划求解】选项，在弹出的规划求解对话框中输入各项参数，如图7-11所示．二、典型案例第三步：单击【求解】按钮，弹出【规划求解结果】对话框，同时结果显示在工作表中，如图7-12所示．即在生产合成饲料的过程只需要用原料：7200公斤，最小生产成本为79.2元.二、典型案例药品生产问题

某药品生产企业准备投入生产六种药品，经过调查发现，生产每种药品所需要消耗的劳动力、原材料、每种药品的单位利润、需求量以及现有可

用的劳动力和原材料具体数据如下表所示：

产品1产品2产品3产品4产品5产品6现有劳动力（小时）65432.51.54500原料（磅）3.22.61.50.80.70.31600单位利润（元）65.35.44.23.81.8

需求量（磅）960928104197710841055

问：该药品生产企业该如何安排生产，使得总获利最大？二、典型案例

解决方案1.模型建立目标函数：要使得获利最大，即决策变量：设该药品生产企业生产药品1～6的产量分别为

药品生产企业通常需要确定每月（或每周）生产计划，列出每种产品必须生产的数量.具体来说就是，产品组合问题就是要确定公司每月应该生产的每种产品的数量以使利润最大化.产品组合通常必须满足以下约束：

（1）产品组合使用的资源不能超标.

（2）对每种产品的需求都是有限的.我们每月生产的产品不能超过需求的数量，因为生产过剩就是浪费（例如，易变质的药品）.二、典型案例约束条件：资源约束：生产药品所消耗的劳动力用时不能超过总的可用劳动力时，即同理，生产药品所消耗的原材料不能超过总的可用原材料量.需求量约束：每种药品的生产量不能超过需求量，从而可得非负约束：二、典型案例综上所述，得药品生产问题的数学规划模型为：二、典型案例2.模型求解第一步：在Excel工作表中建立线性规划模型，并计算约束条件左端的值和目标函数值，如图所示：二、典型案例第二步：单击【数据】菜单下的【规划求解】选项，在弹出的规划求解对话框中输入各项参数，如图所示．二、典型案例第三步：单击【求解】按钮，弹出【规划求解结果】对话框，同时结果显示在工作表中，如图7-15所示．即生产产品4：597.6667磅，生产产品5：1084磅，可获得最大利润为6625.2元．二、典型案例

自来水运送问题(运输问题)

某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由三个水库供应，四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能供应50，60，50千吨自来水．由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所付出的引水管理费不同.其他管理费都是450元/千吨．根据公司规定，各区用户按照统一标准900元/千吨收费．此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨．该公司如何分配供水量，才能获利最多？引水管理费（元/千吨）甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230二、典型案例决策变量：

假设三个水库

分别向甲、乙、丙、丁四区的供水量为由于水库与丁之间没有输水管道，即，因此只有11个决策变量．

1.模型建立

目标函数：问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少，于是有二、典型案例

约束条件：约束条件有两类：一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求

量限制．由于供应量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为：考虑到各区的基本生活用水与额外用水量，需求量限制可以表示为：二、典型案例综上所述，自来水运送问题的数学规划模型为：二、典型案例2.模型求解

第一步：在Excel工作表中建立线性规划模型，并计算约束条件左端的值和目标函

数值．本例中决策变量有12个，在Excel工作表中B2至M2单元格，分别表示决策变量，然后输入各个约束条件（包括非负条件）的系数，同时计算约束条件左端的值和目标函数的值，如图所示．二、典型案例

第二步：在弹出的【规划求解参数】对话框中输入参数．单击【求解】按钮，得到

图所示结果．因此，最佳送水方案为：水库向乙区供应50千吨，

水库向乙、丁区分别供应50，水库向甲、丙区分别供应40，10千吨．10千吨，进一步学习的数学知识：单纯形法Furthermathematicsknowledge:Simplexmethod3

线性规划问题的标准型主要是针对线性规划问题的约束条件而言的，具体表现形式为：其中皆非负．

一、线性规划问题的标准型一、线性规划问题的标准型在解决实际问题时，根据实际问题建立的模型常常不是标准型，那么如何把一个线性规划问题转化为标准型呢？

(2)若约束条件中含有线性不等式约束，则需要引进新的非负变量，把线性不等式约束化为线性等式约束，这样引进的新非负变量称为松弛变量．(1)若求目标函数

的最小值，则引进新的目标函数

(a)当约束条件是时，在不等式左端加上松弛变量，将不等式约束化为等式约束．

(b)当约束条件是

时，在不等式左端减去松弛变量，将不等式约束化为等式约束．(3)若约束条件中线性等式约束的常数项为负值，则将该约束条件两端同时乘以，使得常数项为正值．(4)若对某一变量无约束，可令

作变量替换,使得对全部变量皆有非负限制．

一、线性规划问题的标准型一、线性规划问题的标准型例3将如下线性规划问题转化为标准型解

因为目标函数为最小值，所以引进新的目标函数又因为约束条件为两个不等式约束，故引进松弛变量一、线性规划问题的标准型从而线性规划问题化为：上式第一个约束等式右端的常数为负值，因而在该约束条件两端同时乘以-1，得到所给线性规划问题的标准形式为：二、单纯形法的原理与步骤例4

运用单纯形法求解线性规划问题二、单纯形法的原理与步骤第一步：引进松弛变量将所给线性规划问题化为标准型：

第二步：用非基变量表示基变量和目标函数求出一个基本可行解．由标准型可知：，令各非基变量等于0,即，得到基变量，它们构成初始基本可行解．

二、单纯形法的原理与步骤第三步：最优性检验最优性检验：判断基本可行解是否是最优解．

检验数：用非基变量表示的目标函数中的各非基变量的系数

最优解判定定理：

在极大化问题中，对于某个基本可行解，所有检验数，则这个基本可行解是最优解．二、单纯形法的原理与步骤第四步：确定换入变量

在决定哪个变量从非基本变量转化为基本变量时，当存在时，

选择作为换入变量.若检验数大于0的非基变量不止一个，则可以任选其中一个作为换入本例选择作为换入变量.变量．第五步：确定换出变量在决定出基变量时，按最小比值规则进行．在本例中，因为要从基变量

中换出一个，基变量的系数是1，

的系数是1，从而有

因此，选取作为换出变量．二、单纯形法的原理与步骤第六步：回到第三步进行新的基本可行解的最优性检验．用非基变量表示目标函数有因为非基变量的检验数

，由最优解判定定理可知，

基本可行解还不是最有解．第七步：确定新的换入变量、换出变量在目标函数

中，只有非基变量

的检验数大于0，因此我们选取作为换入变量,作为换出变量．令非基变量,得到基变量第三组基本可行解．二、单纯形法的原理与步骤第八步：回到第三步

判断第三组基本可行解是否是最有解．用非基变量表示目标函数有非基变量的检验数，非基变量的检验数由最优性判定定理，我们可知，此时的基本可行解就是最优解.

最优解

应用单纯形解法求解线性规划问题，相当于从可行解集的一个极点跳总结到另一个极点，逐步接近最优解，并最后到达最优解．三、对偶单纯形法的原理与步骤

线性规划的对偶单纯形法是根据对偶问题求解的特点和对称性设计出的一种解法.对偶单纯形法和单纯形法的主要区别：单纯形法在整个迭代过程中，始终保持原问题的可行性，即常数列大于等于0；

对偶单纯形法则是在整个迭代过程中，始终保持对偶问题的可行性，即全部检验数大于等于0.在运用对偶单纯形法求解线性规划问题时，不需要引进人工变量，但是必须先给定原问题的一个对偶可行的基本解.三、对偶单纯形法的原理与步骤例5

利用对偶单纯形法求解下列规划模型第一步：给定一个初始对偶可行的基本解把原问题引入附加变量化为标准型.为了得到对偶可行的基本解，不需要引入人工变量，只要将每个约束方程两端同时乘以-1即可，并实现所有检验数大于等于0，但常数列中含有负元素.三、对偶单纯形法的原理与步骤把原问题化为标准型，得然后分别将每个约束方程两端同乘以-1，得到：三、对偶单纯形法的原理与步骤从而可得下表第二步：最优性检验若线性常数列，则停止计算，现行对偶可行的基本解即是最优解.否则，，从而线性对偶可行的基本解不是最优转下一步.从上表可知，解.三、对偶单纯形法的原理与步骤第三步：确定换出变量将现行常数列中最小的负元素所在行的基变量换出，即第行约束式的基变量为换出变量.从表中我们知道，故为换出变量.三、对偶单纯形法的原理与步骤第四步：确定换入变量在换出变量所在的第行约束式中，找出各非基变量列中系数为负的那些元素，用相应的检验数分别除以这些负元素，所得个负比值中最大者所在列即为换入列.令由第3步可知，第2行为换出变量所在行，即所在列为换入变量列，故为换入变量.三、对偶单纯形法的原理与步骤在对偶单纯形法中，确定换入变量的规则称为最大负比值规则.选取新的基变量为.令各非基变量等于0，可以得到一个新的基本可行解(0,5,0,-2,0)，如下表从上表可知，，从而线性对偶可行的基本解不是最优解，需进行第二次迭代.三、对偶单纯形法的原理与步骤根据换入变量，换出变量原则，选定为换出变量，为换入变量.见下表上表中的，根据最优性检验条件，停止迭代，此时的对偶可行基本解即是最优解.三、对偶单纯形法的原理与步骤单纯形法与对偶单纯形法对比注：对偶单纯形法的实质就是对原问题的对偶问题运用单纯形法求解.长沙民政职业技术学院通识教育中心本章结束THANKS第八章

概率计算与成果因素分析目

录CONTENTS1彩票设计问题及解决方案2使用Excel讨论概率计算问题3进一步学习的数学知识：概率初步LotteryDesignProblemsandSolutionsUsingExceltoDiscussProbabilityCalculationsFurtherMathematicsKnowledge:PreliminaryProbability彩票设计问题及解决方案LotteryDesignProblemsandSolutions1一、彩票设计问题引例：近年来，“彩票飓风”席卷中华大地，巨额奖金的诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”彩票采用“10选6+1”方案：先从6组0～9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0～4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0～9中任选6个基本号码（可重复），从0～4中任选1个特别号码，构成一注。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表8-1所示（X表示未选中的号码）。中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中6+1二等奖abcdef

选7中6三等奖abcdeX

Xbcdef

选7中5四等奖abcdXX

XbcdeX

XXcdef

选7中4五等奖abcXXX

XbcdXX

XXcdeX

XXXdef

选7中3六等奖abXXXX

XbcXXX

XXcdXX

XXXdeX

XXXXef

选7中2表8-1传统型中奖等级情况表一、彩票设计问题又如“36选6+1”的方案：先从01～36号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01～36号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表8-2所示。

“乐透型”有多种不同的玩法，比如“33选7”的方案：先从01～33号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01～33号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。一、彩票设计问题中奖33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）等级基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中7●●●●●●★选7中6+1二等奖●●●●●●○★选7中6+1●●●●●●选7中6三等奖●●●●●●○选7中6●●●●●○★选7中5+1四等奖●●●●●○○★选7中5+1●●●●●○选7中5五等奖●●●●●○○选7中5●●●●○○★选7中4+1六等奖●●●●○○○★选7中4+1●●●●○○选7中4七等奖●●●●○○○选7中4●●●○○○★选7中3+1表8-2乐透型彩票中奖等级情况表一、彩票设计问题[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例

以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖.现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表8-3，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖.低项奖奖金固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元。一、彩票设计问题

各高项奖奖金的计算方法为：

一、彩票设计问题

一、彩票设计问题(5)假定各个不同方案均是在公正公平的原则下实施，而且彩民购买和对奖的方便程度相同。问题分析与假设：(1)“传统型”要求基本号码是连号，如‘xbcdxf’表示与基本号码相符合的是‘bcd’，首尾相连的情况视为不连续，如‘axxxxf’视为无奖；(2)“传统型”的抽奖号码可以重复，而“乐透型”中不管是“7/33”还是“6+1/36”的形式，投注者的抽取号码不允许重复；(3)单注投注金额为两元，总奖金为当期销售总额的50％，且此比例固定不变；(4)低项奖单注奖金固定，高项奖金额按比例分配为浮动值，但一等奖单注保

底金额60万元，封顶金额500万元；一、彩票设计问题“传统型”彩票中奖概率：记pi为各个奖项的中奖概率，经过对表8-1的分析，利用古典概率的相关知识，很容易就可以求出各奖项出现的概率，见表8-4。解决方案：一、彩票设计问题

“乐透型”彩票中奖概率：记pi为各个奖项的中奖概率，经过对表8-2的分析（这里只计算“33选7”及“36选6+1”两种情形），利用古典概率的相关知识，可以求出各奖项出现的概率，见表8-5。一、彩票设计问题一、彩票设计问题二、随机事件的概率随机试验：一般地，称满足下述三个条件的实验为一个随机试验，记作E。(1)试验可以在相同的情形下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。1.随机事件及其概率随机试验的每一个可能结果，称为基本事件(样本点)。它们的全体，称作基本空间(样本空间)，常用表示基本事件，用表示样本空间。从集合角度看，基本事件又是样本空间的一个元素，可记作。

由若干个基本事件组成的事件称为复杂事件。无论基本事件还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以都叫做随机事件或简称为事件，记作大写字母A，B…。2.基本事件和样本空间：w

{}wW=

W二、随机事件的概率3.必然事件与不可能事件例如：一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以号码1，2，…10，从中任取一球，令

，则二、随机事件的概率

二、随机事件的概率定义8.5事件A的频率的极限，我们称之为事件A的概率。概率的性质性质1性质2性质3注意：概率的定义刻画了事件发生可能性的大小；当试验次数足够大时，可以把频率作为概率的近似值。4.概率的统计定义二、随机事件的概率设事件A中所含样本点个数为r，样本空间

中样本点总数为n，则有古典概型

满足下列两条件的试验模型称为古典概型。古典概率的计算（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同5.概率的古典定义二、随机事件的概率二、随机事件的概率二等奖奖项(6个红色号码完全一致，蓝色号码不一致)中奖概率为三等奖奖项（5个红色号码相同和1个蓝色号码一致）中奖概率为二、随机事件的概率6.事件的关系与运算二、随机事件的概率

思考：如何借助集合运算的韦恩图来理解上述公式？二、随机事件的概率加法公式

一般形式特殊形式

二、随机事件的概率例8.2某设备由甲、乙两个部件组成，超负荷时，甲出故障的概率为0.90，乙出故障的概率分0.85，甲、乙两部件同时出故障的概率为0.80，求超负荷时至少有一个部件出故障的概率.于是即超负荷时，至少有一个部件出故障的概率是0.95.

二、随机事件的概率例8.3某厂出产的一批乒乓球中含有一、二等品及废品三种，若一、二等品率分别为80%和18%，求该批乒乓球的合格率和废品率.三、事件的独立性与贝努力概型若P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立,简称A,B独立。定义8.7相关性质

甲、乙两人考大学，甲考上本科的概率是0.5，乙考上本科的概率是0.4，问：（1）甲、乙两人都考上本科的概率是多少？（2）甲、乙两人至少一人考上本科的概率是多少？

例8.4解

三、事件的独立性与贝努力概型某药厂生产一批产品要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.1，假定各道工序互不影响，试求该产品的合格品率.例8.5解

三、事件的独立性与贝努力概型三、事件的独立性与贝努力概型贝努里试验是指满足下列两个条件的随机试验：定义8.8重要公式

贝努里试验又称之为n次独立重复试验，对应的概率模型称为贝努里概型。

三、事件的独立性与贝努力概型例8.6例8.7一种药品对某疾病的治愈率为60%，今用该药治疗患者10例，问恰好治愈2例的概率是多少？

某射手每次击中目标的概率是0.6，如果射击5次，试求至少击中2次的概率.

解：治疗10例患者相当于做了10次贝努里试验，设A={治愈2个患者}，则四、二项分布与正态分布1.随机变量引例①抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？③抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？②乔丹罚球2次有可能得到的分数有几种情况？➊➋➌➍➎➏

⓪①②正面向上，反面向上随机变量的定义这种变量的结果是随机出现的，我们把这样的变量称之为随机变量，常用X、Y、x、h来表示。所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。所有取值是整个数轴或数轴上的某些区间，称为连续型随机变量。思考：能否把掷硬币的结果也用数字来表示呢？定义8.11

四、二项分布与正态分布1.随机变量四、二项分布与正态分布1.随机变量例8.8

四、二项分布与正态分布2.二项分布随机变量X服从二项分布

补充

四、二项分布与正态分布2.二项分布小明是一名学生，正在学习一门统计课程.不幸的是，小明不是一名优秀的学生，课前不看教科书，课后不做家庭作业，还经常缺课，他想靠运气通过下次小测验.小测验包括10道选择题，每个问题有5个答案，其中只有1个是正确的，小明对于每个问题都是猜测答案.问：例8.9解(1)小明1道题目都没答对的概率是多少?(2)小明猜对2道题的答案的概率是多少?

连续型随机变量的定义若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的随机变量称之为连续型随机变量。回顾：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。随机变量取在区间内的任意值时，所对应的概率都为0。正态分布也称为高斯分布——应用最广泛的连续型随机变量分布。四、二项分布与正态分布3.正态分布四、二项分布与正态分布3.正态分布问题分析

下表给出了100位调查对象的初婚年龄统计情况。区间频次频率18.5—20.550.0520.5—22.5100.1022.5—24.5200.2024.5—26.5300.3026.5—28.5200.2028.5—30.5100.1030.5—32.550.05四、二项分布与正态分布3.正态分布

定义8.13

四、二项分布与正态分布3.正态分布曲线位于x轴上方，与x轴不相交01

02

03曲线与x轴围成的面积等于104

05

06四、二项分布与正态分布3.正态分布方差相等、均数不等的正态分布演示图均数相等、方差不等的正态分布演示图

四、二项分布与正态分布3.正态分布

四、二项分布与正态分布3.正态分布

四、二项分布与正态分布3.正态分布例8.10解B的作案嫌疑大一些某凶杀案有两个嫌疑人，从各自住处到凶杀现场所需时间(min)服从正态分布.A所用的时间X满足

，B所用的时间Y满足

.如果仅有65min可以被利用，问谁的作案嫌疑较大？A在65min内从住处到凶杀现场的概率为B在65min内从住处到凶杀现场的概率为

四、二项分布与正态分布3.正态分布例8.11解

可以保证生产连续进行

已知某车间工人完成某道工序的时间X服从正态分布

（1）从该车间工人中任选一人，其完成该道工序的时间不超过7分钟的概率；问：（2）为了保证生产连续进行，要求以95%的概率保证该道工序上工人完成工作时间不多于15分钟，这一要求能否得到保证？

的正态分布.被告提供的供词表明，他在孩子出生时的前300天出国，在孩子出生前240天才回来.请问被告能否根据这些证词为自己辩护？4.正态分布概率计算例8.12解结论：可以辩护某人被控告是一个新生儿的父亲.此案鉴定人作证时指出，母亲怀孕期的天数近似服从参数为

设X为母亲怀孕期的天数，则问题转化为求

四、二项分布与正态分布3.正态分布

使用Excel讨论概率计算UsingExceltoDiscussProbabilityCalculations二一、彩票中奖概率问题典型问题1试问：买一张彩票，中一、二、三等奖的概率各是多少?

某地发行福利彩票，每张彩票的号码是7个数字的无序数组，开奖时，用一个摇奖机，里面装有分别写上01,02,…，35的35个小球。充分搅拌这些小球一分钟，从出口处掉出一个小球，记下小球上的数字。摇出的小球不放回摇奖机中，重复刚才的做法，一直到产生一个7个数字的无序数组，记作a，设有一、二、三等奖。

规定：彩票号码与a完全一样时，得一等奖；彩票号码与a有6个数字一样时，得二等奖；有5个数字一样时，得三等奖。一、彩票中奖概率问题

根据题意，将问题转化为一个袋子中有35个彩球，其中红球7个，白球28个，每次随机的取出一只，第一次取到的球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，共取7次，求取到7球中全是红球、有6个红球和有5个红球的概率。

问题分析经过转换，问题变为无放回的随机抽样(超几何分布)，根据其概率分布（详见本章第三节）即可计算出相应的概率值。一、彩票中奖概率问题解决方案第一步：新建工作表，输入表头“应用超几何分布函数HYPGEOMDIST求概率”。第二步：分别单击C2、E2、C3和E3单元格，输入参数:N=35，M=7，n=7，x=7。第三步：运用HYPGEOMDIST求7个球中全为红球的概率，在B5单元格输入“=HYPGEOMDIST(E3，C3，E2，C2)”，结果如图所示。一、彩票中奖概率问题其中sample_s为样本中成功的次数，number_sample为样本容量，population_s为样本总体中成功的次数，number_population为样本总体的容量.利用相同的原理可求得x=6及x=5的概率值.说明:HYPGEOMDIST函数返回超几何分布.给定样本容量、样本总体容量和样本总体中成功的次数，HYPGEOMDIST函数返回样本取得给定成功次数的概率.其语法为：HYPGEOMDIST(sample_s,number_sample,population_s,number_population)一、彩票中奖概率问题第四步：求不同的x对应的概率.单击C6单元格，输入"=HYPGEOMDIST（B6，$C$3,$E$2，$C$2）”，再次单击C6单元格，将鼠标至于C6单元格右下角，当光标变为小黑十字时拖曳至C13单元格，求出其他x对应的概率值，如图8-7所示.各种情况下中奖概率的求解过程：第一步：新建Excel工作表，输入“超几何分布函数概率分布图”.第二步：分别单击C2、E2和C3单元格，输入己知参数N=35，M=7，n=8.第三步：设定样本中中奖的号码个数x序列.在B6—B13单元格输入x为0，1，…，7的取值.一、彩票中奖概率问题

图8-7超几何分布概率分布图

二、车床故障维修问题

某车间有160台同型号的自动车床独立工作，每台车床发生故障的概率都是0.01，假设发生故障时每台车床必须由一名技师处理。若由一名技师负责维修20台车床，求车床发生故障时不能及时维修的概率。若由3名技师共同负责维修80台，求车床发生故障时不能及时维修的概率。典型问题2二、车床故障维修问题

的二项分布，车床发生故障时不能及时维修即同时有4台或4台以上发生故障。

问题分析用X表示同一时刻发生故障的车床数。第一种情形，X服从

的二项分布，车床发生故障时不能及时维修即同时有2台或2台以上发生故障；根据二项分布的概率分布，可分别计算两种情况下车床发生故障时，不能及时维修的概率。第二种情形，X服从二、车床故障维修问题第三步：车床发生故障时不能及时维修的概率。先求同时出现故障台数小于等于1的概率，在C5中输入“=BINOMDIST(C4,C2,C3,1)”，再求1个技师时发生故障不能及时维修的概率，单击C6，输入“=1-C5”即可求得，用同样的方法可求得3个技师时发生故障不能及时维修的概率，计算结果如图所示。

解决方案第一步：新建Excel工作表，输入标题“应用二项分布BINOMDIST函数求概率”；第二步：分别单击C2，C3，C4，输入已知参数值：应用二项分布求概率

二、车床故障维修问题二、车床故障维修问题其语法为：

BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)，其中为number_s为试验成功的次数，trials为独立试验的次数，probability_s为每次试脸中成功的概率，cumulative含义同前.

说明:BINOMDIST函数返回二项式分布的概率值.三、合理的订货量问题

根据题意，打印机每周的销售量服从

典型问题3

一个零售商销售和计算机有关的产品。他最热卖的一种商品就是惠普激光打印机，平均每周需要200台，从向厂家订货到货物运抵所需时间为1周，因为每周的需求是随机变量，且以往的数据表明周需求标准差为30台。如果商品缺货，那么他会失去这笔生意以及其他可能相关的买卖，他希望每周缺货的概率不超过6%，那么每次应该订多少货?问题分析

的正态分布，问题需要求出每周的缺货概率不超过6%对应的订货量临界值，即94%概率下对应的临界值。

解决方案第一步：新建Excel工作表，输入标题“正态分布函数”；第二步：分别单击单元格C2、E2，输入己知数

第三步：计算不超过6%对应的订货量临界值（即94%概率下对应的临界值），在单元格C3中输入“=NORMINV(0.94,C2,E2)”，结果如图8-9所示。图8-9正态分布临界值三、合理的订货量问题三、合理的订货量问题语法为:

NORMINV（probability，mean，standard_dev）其中probability为正态分布的概率值，mean为正态分布的算术平均值，standard_dev为正态分布的标准偏差.

说明:NORMINV函数返回指定平均值和标准差的正态累积分布的反函数.进一步学习的数学知识：概率初步FurtherMathematicsKnowledge:PreliminaryProbability三一、条件概率条件概率

则，在条件B发生的情况下，事件A发生的概率，称之为条件概率，记为对任意两个事件A、B,并且

注意:

仍然是事件A发生的概率，只是在原来的基础上，又增加了一个限制条件B的发生。计算公式对任意两个事件A、B,并且，则在条件B发生的情况下，事件A发生的条件概率

一、条件概率例8.13某种电子元件用满6000小时未坏的概率是0.75，用满10000小时未坏的概率为0.5，现有一个这样的电子元件，已经用满6000小时未坏，问它再用4000小时也未坏的概率？

一、条件概率乘法公式注意:乘法公式还可以推广到多个事件相交的情况.由上式可知，对任意两个事件A、B,如果条件概率与概率有以下关系

则有

二、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式贝叶斯公式例8.15设某批产品中甲、乙、丙三个厂家的产量分别占45%，35%，20%，各厂产品中次品率分别为4%，2%和5%.现从中任取一件，求取到的恰好是次品的概率？

二、全概率公式和贝叶斯公式例8.161981年3月30号，美国一所大学的退学学生JohnW.Hinckley企图对里根总统行刺，他打伤了里根、里根的新闻秘书以及两名保镖.

在1982年审判时，Hinckley以他患有精神病为理由对自己进行无罪辩护，辩护律师也试图拿他的CAT扫描作为证据，辩护人争辩说因为Hinckley的CAT扫描显示了脑萎缩，因而Hinckley患有精神分裂症的可能性更大些.在美国精神分裂症的发病率大约为1.5%，下面从概率的角度对Hinckley是否患有精神分裂症进行可能性分析.

以往的临床资料表明，精神分裂症患者扫描结果为脑萎缩的概率约为30%，而健康