算术平方根-教学设计及点评

第十第十一届全国初中青年数学教师优秀课展示与培训活动优秀论文评选《6.1.1算术平方根》教学设计人教版《义务教育教科书·数学》（七年级下册第六章实数）授课教师：江西师范大学附属中学段碧2019年10月一、内容和内容解析

本节内容是《义务教育课程标准实验教科书——数学》（人教版）七年级下册第六章《实数》第一节第一课时的知识，主要介绍算术平方根的概念、表示方法和求法，以及用夹逼法估计的大致范围。教材的地位和作用：第一，教科书先介绍算术平方根，让学生看到算术平方根与实际的联系，在学习算术平方根的基础上再学习平方根。算术平方根与之前学的平方运算存在互逆关系，也是下节课学习平方根的前提，具有承上启下的作用。第二，是历史上人们发现的第一个无理数，引发了数学危机，也促使数系从有理数扩充到无理数。教科书采用夹逼的方法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小，进而给出是无限不循环小数的结论，并指出等也是无限不循环小数，为后面学习无理数概念打下基础。第三，会用根号表示非负数的算术平方根，了解算术平方根的非负性，为以后学习二次根式做出了铺垫，提供知识积累。对本节课教学有利因素是：七年级学生会做加减乘除以及乘方运算了，但还是会发现一些生活中常见的数学问题（比如知道正方形面积求边长这一类的问题）没办法用这些计算方法解决，内心渴望新的计算方法出现，本节课的学习将实现他们内心的期盼。本节课教学不利因素是：第一、乘方运算是已知底数和指数，求幂，开方运算是已知幂和指数，求底数。因为涉及到三个量的关系，与学过的互逆运算（加法和减法、乘法和除法）相比关系更为复杂，造成学生理解的困难。第二、对一个正数，开平方运算可以得到一正一负两个平方根，正的那个叫算术平方根。而教科书是从解决实际问题的需要出发，把算术平方根的学习放在平方根前面。对算术平方根是非负的理解，学生会有些困难。第三，对于可以表示成有理数的平方的数，由于它们的算术平方根都是有理数，所以学生容易把握这些算术平方根的大小。但是对于像2这样不能表示成一个有理数的平方的数，它的算术平方根到底有多大，对学生来说是一个新问题。二、目标和目标解析“算术平方根”的教学目标及解析如下：通过实际问题生成算术平方根的概念，了解平方与开平方互为逆运算，会用符号表示数的算术平方根。通过互动游戏，巩固算术平方根的概念，并归纳出算术平方根的性质。借助数轴和Excel表格探究的大小，了解是无限不循环小数。目标（1）解析：学生经历由实际问题逐步抽象为数学问题的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维；在探索算术平方根概念的过程中，经历由具体到抽象、由特殊到一般的数学思想过程；通过对实际生活中问题的解决，体验数学来源于生活。目标（2）解析：学生在积极参与游戏的过程中，巩固算术平方根的概念；在师生问答互动的过程中，辨析概念，培养学生的推理、归纳能力。目标（3）解析：通过探究的大小，培养估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想。通过数学小故事“与第一次数学危机”挖掘数学知识的文化内涵，使学生感受丰富的数学文化。重点：了解算术平方根的意义和性质难点：知道被开方数和算术平方根都是非负数；探究大小的过程。三、教学问题诊断分析学生体会到用根号表示数的必要性，才能从内心接受。面积为9的正方形的边长为3，很容易就求出来了，为什么还要引进根号呢?学生会有一种将简单问题复杂化的感觉，凭空冒出一个根号，学生内心是不接受的，甚至是抵触的，这对学习极为不利。只有在认识到这个数客观存在，同时又不能用已有的具体数字来表示，才能真正感受到引入根号的必要性。算术平方根和被开方数的非负性，也是学生学习上的障碍点。被开方数是一个数的平方，所以一定是非负的。算术平方根为什么是非负的呢？+6和-6的平方都是36，为什么只有6才是36的算术平方根呢？算术平方根的非负性是概念中规定的。我认为这样规定的原因有：（1）从概念形成的角度来说:算术平方根是在解决实际问题的过程中产生的数学概念，而实际问题中往往要求结果是非负的；（2）从运算符号的明确性的角度来说：以往所学的所有运算（加、减、乘、除、乘方）都是“一对一”的对应关系，即一种甚至多种运算，其结果仍然是一个数。被开方数和算术平方根才是一一对应的关系，被开方数是正数时与平方根是一对二的关系。而一对二的关系会造成运算结果的不确定性。例如，如果，，那么就有4个的答案，给计算的表示和书写都带了很多麻烦。规定算术平方根为非负的，根号是求算术平方根的运算符号，就避免了这些问题。我想这也可能也是为什么教科书先介绍算术平方根再学习平方根的原因。对是一个无限不循环小数的认识要循序渐进。整数的平方仍是整数，分数的平方仍是分数。在两个连续的整数1和2之间，一定不是整数，它的平方是2，所以也不会是分数，学生很快能想到是一个小数。小数点后面有几位数呢？用夹逼法逐步确定的十分位、百分位、千分位、、、，让学生了解这种夹逼的过程可以无止境的进行下去。即便这样仍旧有学生质疑：如果一直算下去万一哪一天就算完了呢？学生已经感受到了数学核心思想--极限思想。这时告诉学生书上有是无理数的推理证明。消除学生心中的疑问。四、教学支持条件分析益智玩具七巧板的合理使用，让学生从形的角度体会到的存在，粗略感受到的大小。运用拼七巧板活动的引入，具有可操作性、趣味性、实效性，让每位学生都动起来。学生在感受到了学习数学的乐趣同时又突破了教学难点。有多种动画效果的PPT，直观地帮助学生突破教学难点。例如设计的“神秘工厂”的动画，很好地突破了教学难点“被开方数和算术平方根的非负性”，直观形象让学生地感受到非负数才能“进入”根号里面，从根号里面“出来”的数也必须是非负数。EXCEL表格的使用，使得学生不需要花时间在平方计算，而有更多的时间体会夹逼法的作用，以及其体现的数学思想方法。现场生成数据又让师生之间的互动更灵活。课前播放视频进行文化熏陶，课程快结束时播放音频讲数学小故事，让数学文化润泽课堂。五、教学过程课前准备活动在上课铃声响之前，播放一个时长两分钟的视频，介绍中国古代益智玩具--七巧板。视频较为详细地介绍了七巧板的构成、趣味性及实用价值。两人一组，每组发放一个七巧板。【设计意图】让学生了解中国古代益智玩具的神奇，建立文化自信。调动起学生的好奇心，激发学生动手拼七巧板的欲望，为活动引入做好铺垫。1.活动引入：七巧板拼图七巧板是一款非常有趣的游戏，小小的七块板，能拼出各种各样的图形．七巧板有一种玩法叫“见影排形”。请用一副七巧板拼出如下图案“天天向上”设小正方形的面积为1，以这个小正方形的边长为参照，比一比，算一算，请求出你拼出的三个正方形的面积。【师生行为】教师通过箭头、天鹅两个拼图实例，让学生了解七巧板的一种玩法--“见影排形”，接着给出“天天向上”的影子，让学生用七巧板拼图。学生拼图的过程中，教师观察，请拼得最快的小组上在黑板上用带有吸铁石的七巧板教具展示本小组的拼图方法。【设计意图】已知面积求边长是最学生最熟悉的最容易弄懂的开方运算。“天天向上”的图案中有三个正方形。他们的面积刚好成两倍的关系依次递增。如果设最小的正方形面积为1，可以用拼图的方式得到另外两个正方形的面积分别为2和4.面积为1的正方形边长为1，面积为4的正方形边长为2，面积为2的正方形的边长呢？解决这个问题需要找到一个数的平方等于2。这个数怎么找呢？老师卖个关子顺势抬出课题，“算术平方根”就在新知和旧知的冲突（找不到一个已经学过的数的平方等于2）中自然生长出来。七巧板活动的设计，具有可操作性、趣味性、实效性，可以让每个学生参与其中。而且达到以下三个教学目的：（1）从形的角度证明了是客观存在，它就是面积为2的正方形的边长。先知道客观存在再去表示它并估算它的大小，更符合学生的认识心理。（2）粗略感知的大小。小学学过正方形的面积越大，边长越大。三个正方形的面积和边长的大小关系也一目了然。学生可以直观感受到在1到2之间。（3）体验数学来源于生活，算术平方根概念的生成源于解决实际生活的需要。分析问题填表格，已知面积为5、9、、0.36求边长。分析平方和开方的互逆关系：具体问题一般化：详细分析当指数为2时，平方是已知底数x求幂a，开平方是已知幂a求底数x。在开方运算中，a叫被开方数，正数x叫算术平方根。回到具体的例子感知算术平方根的概念。引出根号。指出用表示2的算术平方根，它是一个新数，这个数的平方是2。表示3的算术平方根，它的平方等于3。4的算术平方根也能表示成，和2都是4的算术平方根，它们相等。总结根号的两个作用：（1）表示一个数的算术平方根，对2、3、5这样不是某个有理数平方的数，根号显得尤为重要；（2）表示运算符号，表示求4的算术平方根，运算结果是2.再把问题一般化，得到算术平方根的符号表示：【师生活动】已知正方形的面积求边长是我们已经学过的运算吗？它与平方运算有什么关系？3.在乘方运算中，x和a分别叫什么？在开方运算中，a叫被开方数，正数x叫算术平方根。老师示范，2是4的算术平方根，3是9的算术平方根。3.提出疑点问题，感知根号引入的必要性。2、3的算术平方根表示不出来，怎么办呢？引导学生思考，需要引入一个符号来表示。引导学生体会根号的作用。【设计意图】通过是师生互动的方式分析并逐步解决面积为2、3、5等正方形的边长如何表示的问题。在分析、解决问题的过程中形成算术平方根的概念及表示方式，体会从特殊到一般的数学思想。形成概念用数学语言描述算术平方根的概念并用符号语言做补充：【师生活动】在前面分析的基础上，学生归纳概念。学生之间互相补充，形成准确的概念。老师板书概念并引导学生用符号语言归纳。【设计意图】学生自主归纳提炼，生成概念，理解概念的要点（x为非负数且），算术平方根的表示方法及非负性。教会学生表达数学是学生学好数学的重要标志，本环节的主要教学目标是教会学生“用数学的语言”表达算术平方根的概念。巩固概念1.“神秘工厂”的互动游戏【师生活动】一问一答，辨析纠错。“神秘工厂”活动中注意板书解题过程，示范规范的解题过程。在巩固算术平方根概念的同时，辨析、归纳算术平方根的双重非负性。比较被开方的大小，并用＜连接，比较算术平方根的大小并用<连接。【设计意图】神秘工厂互动游戏的设计，一方面巩固了求各种形式的数（完全平方数、带分数、小数、0、非完全平方数）的算术平方根，另一方面加深对被开方数和算术平方根都是非负数的理解，得到算术平方根的性质（1）正数的算术平方根是正数、0的算术平方根为0，负数没有算术平方根（2）被开方数是非负数，算术平方根是非负数。比较大小的设计，让学生直观感受到算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。这是夹逼法估计大小的理论依据，数字的设计上也为下一个教学环节的夹逼法做了铺垫。“概念是思维的细胞”，要注意培养学生在解答数学问题遇到困难时养成“回到基本概念中去，从概念的联系中寻找解决问题的思路”的好习惯。5.探究的大小借助数轴，探究在1到1.5之间借助Excel表格，探究的十分位、百分位、千分位和万分位【师生活动】学生通过七巧板拼图已经粗略感受到在1到2之间。想知道它更精确的值，学生主观上会考虑到拿尺子测量，我们学过的一个数学图形具有和尺子相同的功能，那就是数轴。教师引导学生在数轴上找到表示的点，它在两个连续的整数1到2之间，不是整数，可能是个小数。那么小数的十分位是多少呢？从图中可以看出小于1.5，那么会是1到1.5之间的哪一个数呢？在Excel表格中即时输入学生想算的数据，得到在1.4到1.5之间，确定了的十分位为4（PPT上填空显示），那么的百分位是多少呢？教师引导学生计算1.41,1.42,1.43的平方并和2做比较。确定百分位后，教师引导学生总结计算过程，提炼出夹逼法。再尝试着确定千分位，万分位。教师展示的小数点后有几百位的图片，告诉学生小数为有很多位，而且找不到循环节。类比小学学过的圆周率，猜测是一个无限不循环小数，并告知学生课本“阅读和思考”中有严谨的推理证明是一个无限不循环小数。【设计意图】借助数轴让学生再一次从形的角度感受到这个数是存在的，而且可以在数轴上找到表示它的点。从形的角度入手没有办法完全解决，转而从数入手，借助Excel计算感受的大小。主要采用夹逼的方法，利用不足近似值和过剩近似值来估计大小，通过一步一步的估计，得到越来越精确的近似值，进而指出是一个无限不循环小数的事实，让学生感受到极值思想。6.课堂小结学生自主小结，交流在本节课学习过程中的体会、收获，交流学习过程中的体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作，共同完成课堂小结。【设计意图】培养学生学习—总结—反思的良好习惯。7.布置作业(一)巩固性作业完成习题6.1中的1、2题.(二)拓展性作业自学课本第58页“阅读与思考”为什么说不是有理数？(三)研究性作业你想了解更多“”与第一次数学危机的知识吗？请听下面的数学小故事并查阅相关资料，以第一人称写一篇“我是”小论文。【设计意图】作业分层，巩固性作业巩固这节课所学基本概念及方法，拓展性作业让学生了解证明不是有理数的推理过程，消除课堂中存留的疑点问题。研究性作业，让学生像数学研究者一样查阅资料，在数学史中寻找知识的来龙去脉。8.数学小故事播放“与第一次数学危机”的音频，谈谈听数学小故事的感受。故事文本如下：古代人们都是从实际生产生活过程中发现数学，再运用数学知识去解决实际问题。如在日常生活中要度量各种量，像长度、重量、时间等，整数和分数就是在解决实际问题的过程中产生的数学概念。公元前500年左右的古希腊，用整数和分数就可以解决人们生活当中的所有问题。兴旺于这一时代的毕达哥拉斯学派就认为＂万物皆数＂，“一切数均可表示成整数或整数之比”。毕达哥拉斯的学生希帕索斯却发现：边长为1的正方形的对角线长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号2的诞生，推翻了毕达哥拉斯的著名理论，引发了第一次数学危机。希帕索斯正是因为这一数学发现，被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚．文明的进步不会因为某个人或某学派的阻挡，而停止前进。无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。同时人们也认识到数可以由几何量表示出来，数学结论不能只靠直觉和经验来得到，更需要通过推理证明来求证。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，建立了几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。【师生活动】教师学生一起听，请学生简单谈谈听完小故事的感受。【设计意图】通过“与第一次数学危机”故事的讲解，让学生体会数学源于生活又用于生活，了解第一个无理数发现的曲折经历，鼓励学生学习数学家希帕索斯的科学质疑精神，以及不怕牺牲坚持真理的勇气。板书设计算术平方根一.定义一般地，如果一个正数x的平方等于a，即那么这个正数x叫做a的算术平方根.a叫做被开方数.a的算术平方根记作：读作：“根号a”规定：0的算术平方根为0，即二.性质1.正数的算术平方根等于正数；0的算术平方根0；负数没有算术平方根2.双重非负性：3.被开方数越大，对应的算术平方根也越大三.探究的大小（夹逼法）教学反思章建跃教授曾指出：“在课堂教学中，要以数学知识的发生、发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考”。对概念的教学，教师要充分钻研新课标、教材和学情，以学生视角去参与概念的发生、发展，收获能力素养。1.本节课的教学设计始终站在学生的立场，以“学生为什么学，学什么，怎么学，学到什么程度”为教学设计取向，使学生在体验中建立发现问题、分析问题、解决问