2024届安徽省蚌埠市禹会区北京师范大学蚌埠附属学校高一数学第二学期期末联考试题含解析

2024届安徽省蚌埠市禹会区北京师范大学蚌埠附属学校高一数学第二学期期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知向量=(),=(-1,1),若,则的值为（）A． B． C． D．3．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（）A．0 B． C．1 D．4．已知角的终边上一点，且，则（）A． B． C． D．5．计算的值等于（）A． B． C． D．6．已知是函数的两个零点，则（）A． B．C． D．7．已知，且，则实数的值为（）A．2 B． C．3 D．8．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．9．已知向量是单位向量，＝(3，4)，且在方向上的投影为，則A．36 B．21 C．9 D．610．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若数列满足，则_____.12．在数列中，已知，，记为数列的前项和，则_________.13．已知数列的通项公式，，前项和达到最大值时，的值为______.14．已知样本数据的方差是1，如果有，那么数据，的方差为______.15．数列中，，以后各项由公式给出，则等于_____.16．在中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，，，，，E为DC中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的高．（注：棱台的两底面相似）18．已知：的顶点，，．（1）求AB边上的中线CD所在直线的方程；（2）求的面积．19．已知平面向量，，，其中，（1）若为单位向量，且，求的坐标；（2）若且与垂直，求向量，夹角的余弦值.20．已知点，圆．（1）求过点M的圆的切线方程；（2）若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求的值．21．已知圆与轴交于两点，且（为圆心），过点且斜率为的直线与圆相交于两点（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若，求的取值范围；（Ⅲ）若向量与向量共线（为坐标原点），求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

利用因式分解法，求出方程的解，结合函数的性质，根据题意可以求出的取值范围.【题目详解】，，或，由题意可知：，由题可知：当时，有2个解且有2个解且，当时，，因为，所以函数是偶函数，当时，函数是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，，所以，综上所述；的取值范围是，故本题选D.【题目点拨】本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键.2、D【解题分析】

对条件两边平方，得到该两个向量分别垂直，代入点的坐标，计算参数，即可．【题目详解】结合条件可知，，得到，代入坐标，得到，解得，故选D．【题目点拨】本道题考查了向量的运算，考查了向量垂直坐标表示，难度中等．3、C【解题分析】

根据题意可知函数周期为，利用周期公式求出，计算即可求值.【题目详解】由正切型函数的图象及相邻两支截直线所得的线段长为知，，所以，，故选C.【题目点拨】本题主要考查了正切型函数的周期，求值，属于中档题.4、B【解题分析】

由角的终边上一点得，根据条件解出即可【题目详解】由角的终边上一点得所以解得故选：B【题目点拨】本题考查的是三角函数的定义，较简单.5、C【解题分析】

由三角正弦的倍角公式计算即可．【题目详解】原式．故选C【题目点拨】本题属于基础题，考查三角特殊值的正弦公式的计算．6、A【解题分析】

在同一直角坐标系中作出与的图象，设两函数图象的交点，依题意可得，利用对数的运算性质结合图象即可得答案．【题目详解】解：，在同一直角坐标系中作出与的图象，

设两函数图象的交点，

则，即，

又，

所以，，即，

所以①；

又，故，即②，由①②得：，

故选：A．【题目点拨】本题考查根的存在性及根的个数判断，依题意可得是关键，考查作图能力与运算求解能力，属于难题．7、D【解题分析】

根据二角和与差的正弦公式化简，，再切化弦，即可求解.【题目详解】由题意又解得故选：【题目点拨】本题考查两角和与差的正弦公式，属于基础题.8、A【解题分析】

分别考虑即时；即时，原不等式的解集，最后求出并集。【题目详解】当即时，，则等价于，即，解得：，当即时，，则等价于，即，所以，综述所述，原不等式的解集为故答案选A【题目点拨】本题考查分段函数的应用，一元二次不等式的解集，属于基础题。9、D【解题分析】

根据公式把模转化为数量积，展开后再根据和已知条件计算.【题目详解】因为在方向上的投影为，所以，.故选D.【题目点拨】本题主要考查向量模有关的计算，常用公式有，.10、C【解题分析】

由流程图循环4次，输出，即可得出结果.．【题目详解】初始值，，是，第一次循环：，，是，第二次循环：，，是，第三次循环：，，是，第四次循环:S，，否，输出．故选C．【题目点拨】本题考查程序框图的循环，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由递推公式逐步求出.【题目详解】.故答案为：【题目点拨】本题考查数列的递推公式，属于基础题.12、【解题分析】

根据数列的递推公式求出该数列的前几项，找出数列的周期性，从而求出数列的前项和的值.【题目详解】对任意的，，.则，，，，，，所以，.，且，，故答案为：.【题目点拨】本题考查数列递推公式的应用，考查数列周期性的应用，解题时要结合递推公式求出数列的前若干项，找出数列的规律，考查推理能力和计算能力，属于中等题.13、或【解题分析】

令，求出的取值范围，即可得出达到最大值时对应的值.【题目详解】令，解得，因此，当或时，前项和达到最大值.故答案为：或.【题目点拨】本题考查等差数列前项和最值的求解，可以利用关于的二次函数，由二次函数的基本性质求得，也可以利用等差数列所有非正项或非负项相加即得，考查计算能力，属于基础题.14、1【解题分析】

利用方差的性质直接求解．【题目详解】根据题意，样本数据的平均数为，方差是1，则有，对于数据，其平均数为，其方差为，故答案为1.【题目点拨】本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15、【解题分析】

可以利用前项的积与前项的积的关系，分别求得第三项和第五项，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意知，数列中，，且，则当时，；当时，，则，当时，；当时，，则，所以.【题目点拨】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中熟练的应用递推关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16、【解题分析】

根据正弦定理将转化为，即，由余弦定理得，再用基本不等式法求得，根据面积公式求解.【题目详解】根据正弦定理可转化为，化简得由余弦定理得因为所以，当且仅当时取所以则面积的最大值为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解题分析】

（1）连结，可证四边形为平行四边形，故可证平面；（2）连结BD，在中运用余弦定理可得：，利用勾股定理和线面垂直的性质，可得平面，因此可证；（3）根据题意，不难求，再利用即可求三棱锥的高．【题目详解】（1）证明：连结，因为为四棱台，所以，又因为四边形ABCD为平行四边形，，，所以，又，且，∴四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．（2）证明：连结BD，在中运用余弦定理可得：，∴由勾股定理逆定理得，即．又平面ABCD，，平面，所以．（3）在中，，，，所以，故．由（1）知，由（2）知，，所以．在中，由勾股定理得，在中，由，可得，设O为DB的中点，连结，则，且，又，所以，由勾股定理得，在中，因为，，，所以，即，故，设所求棱锥的高为h，则，所以．【题目点拨】本题考查线面平行、线线垂直的证明，棱锥的高，考查了三棱锥体积计算公式，利用体积转化法求高，属于中等题.18、（1）；（2）11.【解题分析】

（1）直接利用已知条件求出AB边上的中点，即可求直线的方程．（2）利用所求出的直线方程利用分割法求出三角形的面积，或者求出及直线AB的方程，可得点C到直线AB的距离，求出三角形的面积.【题目详解】（1）∵线段AB的中点D的坐标为，所以，由两点式方程可得，AB边上的中线CD所在直线的方程为，即．（2）法1：因为，点A到直线CD的距离是，所以的面积是．法2：因为，由两点式得直线AB的方程为：，点C到直线AB的距离是，所以的面积是．【题目点拨】本题考查直线方程求法与点到直线距离公式应用，属于基础题.19、（1）或；（2）.【解题分析】

(1)设,根据和列出关于的方程求解即可.(2)根据垂直数量积为0,代入的模长,求解得.再根据夹角公式求解即可.【题目详解】（1）设,由和可得：∴或,∴或（2）∵,即,又,,∴,∴向量,夹角的余弦值【题目点拨】本题主要考查了向量平行的性质与单位向量的求解.同时也考查了根据数量积与模长求解向量夹角的方法等.属于中档题.20、（1）或．（2）【解题分析】

(1)分切线的斜率不存在与存在两种情况分析.当斜率存在时设方程为,再根据圆心到直线的距离等于半径求解即可.(2)利用垂径定理根据圆心到直线的距离列出等式求解即可.【题目详解】解：（1）由题意知圆心的坐标为,半径,当过点M的直线的斜率不存在时,方程为．由圆心到直线的距离知,此时,直线与圆相切．当过点M的直线的斜率存在时,设方程为,即．由题意知,解得,∴方程为．故过点M的圆的切线方程为或．（2）∵圆心到直线的距离为,∴,解得．【题目点拨】本题主要考查了直线与圆相切与相交时的求解.注意直线过定点时分析斜率不存在与存在两种情况.直线与圆相切用圆心到直线的距离等于半径列式,直线与圆相交用垂径定理列式.属于中档题.21、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解题分析】

（Ⅰ）由圆的方程得到圆心坐标和；根据、为等腰直角三角形可知，从而得到，解方程求得结果；（Ⅱ）设直线方程为；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；由垂径定理可得到，利用可构造不等式求得结果；（Ⅲ）直线方程与圆方程联立，根据直线与圆有两个交点可根据得到的取值范围；设，，利用韦达定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共线定理可得到关于的方程，解方程求得满足取值范围的结果.【题目详解】（Ⅰ）由圆得：圆心，由题意知，为等腰直角三角