广东省仲元中学、中山一中等七校2024届高一数学第二学期期末预测试题含解析

广东省仲元中学、中山一中等七校2024届高一数学第二学期期末预测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置中放一个单位正方体礼盒，现以点D为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则正确的是（）A．的坐标为 B．的坐标为C．的长为 D．的长为2．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A． B．C． D．3．过点的直线的斜率为，则等于（）A． B．10 C．2 D．44．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．3 B．6 C．9 D．815．的值为（）A．1 B． C． D．6．若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为（）A．0 B．2 C． D．37．总体由编号为01，02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为()5044664429670658036980342718836146422391674325745883110330208353122847736305A．42 B．36 C．22 D．148．若不等式的解集为，则（）A． B．C． D．9．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为()A． B． C． D．10．某中学举行英语演讲比赛，如图是七位评委为某位学生打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的中位数和平均数分别为（）A．84，85 B．85，84 C．84，85.2 D．86，85二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.12．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________.13．已知向量，，且与垂直，则的值为______.14．已知点在直线上，则的最小值为__________.15．已知数列的前项和为，，，则__________．16．已知角终边经过点，则__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量．(1)求与的夹角的余弦值；(2)若向量与垂直，求的值．18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.19．正项数列的前n项和Sn满足：(1)求数列的通项公式；(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.20．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价（单位：元）和销售量（单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：销售单价/元销售量/万件（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在内，已知该产品的成本是元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）参考数据：参考公式：21．在中，已知，其中角所对的边分别为．求（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

根据坐标系写出各点的坐标分析即可.【题目详解】由所建坐标系可得：，，，.故选：D.【题目点拨】本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题.2、D【解题分析】

本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【题目详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【题目点拨】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.3、B【解题分析】

直接应用斜率公式，解方程即可求出的值.【题目详解】因为过点的直线的斜率为，所以有，故本题选B.【题目点拨】本题考查了直线斜率公式，考查了数学运算能力.4、A【解题分析】

利用等比数列性质可求得，将所求式子利用对数运算法则和等比数列性质可化为，代入求得结果.【题目详解】且本题正确选项：【题目点拨】本题考查等比数列性质的应用，关键是灵活利用等比中项的性质，属于基础题.5、A【解题分析】

利用诱导公式将转化到，然后直接计算出结果即可.【题目详解】因为，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查正切诱导公式的简单运用，难度较易.注意：.6、C【解题分析】

采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值.【题目详解】因为不等式对一切恒成立，所以对一切，，即恒成立．令．易知在内为增函数．所以当时，，所以的最大值是．故选C．【题目点拨】常见的求解参数范围的方法：（1）分类讨论法（从临界值、特殊值出发）；（2）参变分离法（考虑新函数与参数的关系）.7、C【解题分析】

通过随机数表的相关运算即可得到答案.【题目详解】随机数表第1行的第8列和第9列数字为42，由左至右选取两个数字依次为42，36，03，14，22，选出的第5个个体的编号为22，故选C.【题目点拨】本题主要考查随机数法，按照规则进行即可，难度较小.8、D【解题分析】

根据一元二次不等式的解法，利用韦达定理列方程组，解方程组求得的值.【题目详解】根据一元二次不等式的解法可知，是方程的两个根，根据韦达定理有，解得，故选D.【题目点拨】本小题主要考查一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系，考查根与系数关系，考查方程的思想，属于基础题.9、A【解题分析】

若△AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,,,,，所以方程为，故选A.考点：椭圆方程及性质10、A【解题分析】

剩余数据为：84.84,86,84,87，计算中位数和平均数.【题目详解】剩余数据为：84.84,86,84,87则中位数为：84平均数为：故答案为A【题目点拨】本题考查了中位数和平均数的计算，属于基础题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】如图，取中点，中点，连接，由题可知，边长均为1，则，中，，则，得，所以二面角的平面角即，在中，，则，所以．点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．12、【解题分析】

由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，，即，所以，解得，故答案为.考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.13、【解题分析】

根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．【题目详解】；；．故答案为．【题目点拨】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．14、5【解题分析】

由题得表示点到点的距离，再利用点到直线的距离求解.【题目详解】由题得表示点到点的距离.又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.【题目点拨】本题主要考查点到两点间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15、【解题分析】

先利用时，求出的值，再令，由得出，两式相减可求出数列的通项公式，再将的表达式代入，可得出.【题目详解】当时，则有，；当时，由得出，上述两式相减得，，得且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，那么，因此，，故答案为.【题目点拨】本题考查等比数列前项和与通项之间的关系，同时也考查了等比数列求和，一般在涉及与的递推关系求通项时，常用作差法来求解，考查计算能力，属于中等题.16、4【解题分析】

根据任意角的三角函数的定义，结合同角三角函数的基本关系求解即可．【题目详解】因为角终边经过点，所以，因此.故答案为：4【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）分别求出，，，再代入公式求余弦值；（2）由向量互相垂直，得到数量积为0，从而构造出关于的方程，再求的值.【题目详解】(1)，，，∴.(2)．若，则，解得.【题目点拨】本题考查向量数量积公式的应用及两向量垂直求参数的值，考查基本的运算求解能力.18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解题分析】

(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.【题目详解】（Ⅰ）证明：因为平面,所以；因为底面是菱形，所以;因为,平面,所以平面.（Ⅱ）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,因为,所以；因为平面，平面,所以；因为所以平面，平面,所以平面平面.（Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；理由如下:分别取的中点，连接,在三角形中，且；在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;又平面，平面，所以平面.【题目点拨】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.20、（1）；（2）8.75元.【解题分析】

(1)根据最小二乘法求线性回归方程；(2)利用线性回归方程建立利润的函