高数二下练习题答案完整版

高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______反常积分、定积分应用（一）1、求无穷限积分（）。(过程略)2、求瑕积分。3、求由曲线与所围成图形的面积。求由曲线和直线，所围成的平面图形的面积。或（请自己画草图，体会两种不同的求法）5、抛物线与其在点和处的切线所围成的图形的面积。解：过点的切线方程为，而过处的切线方程为故求的两切线交点为，则所要求图形的面为：6、设椭圆的参数方程为，求椭圆的面积。解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：（简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成）7、在上给定函数，问取何值时，右图中曲边三角形OACO与ADBA的面积之和最小？何时最大？高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______定积分综合一、选择题1、设函数在[]上连续，则曲线与直线所围成的平面图形的面积等于（C）（A）（B）（C）（D）2、设，，，则(D)（A）（B）（C）（D）3、设连续，，则(B)（A）（B）（C）（D）4、下列结果正确的是(B)（A）（B）（C）（D）5、设，则在上(B)（A）单调增加（B）单调减少（C）有增有减（D）无界6、设是连续函数，则=(A)（A）0（B）1（C）（D）若是连续函数且为奇函数，则是(B)（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇既偶函数8、下列反常积分发散的有(C)（A）（B）（C）（D）9、下列反常积分收敛的有(D)（A）（B）（C）（D）10、由曲线，（，）及直线，所围图形绕轴旋转而成立体的体积是(B)（A）（B）（C）（D）二、填空题1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果：(1)=(2)-42、利用定积分的性质，填写下列各题：(1)651(2)3、设，则=。4、已知在上连续，且，且设，则-2。5、设由所确定，则=。6、设为连续函数且满足，则。7、求下列定积分(1)=(2)(3)13(4)(5)0(6)(7)=0(8)=28、若反常积分收敛，>1。9、某厂生产的边际成本函数，且固定成本，则总成本函数;当产量由2个单位增至4个单位时，总成本的增量是。高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______一阶微分方程1、求的通解。解：原方程可化为积分，得（其中C’为任意常数）令，不难看出C为任意常数，故，方程的通解为（C为任意常数）求微分方程，满足的特解。解：原方程可化为积分得(其中C’为任意常数)即，令，不难看出C为任意常数，故原微分方程通解可表示为：，其中C为任意常数，当时，故满足条件的方程的特解为3、求微分方程的通解。解：方程可化为：所以微分方程的通解。解：当x>0时，原微分方程可等价为齐次微分方程设则有对应的通解为即（其中C为任意常数）当x<0,易得原微分方程的通解为同样的形式。综上所述，微分方程的通解为（其中C为任意常数）求微分方程，满足的特解。解：令，则原微分方程变为积分得即（其中C为任意常数）由初始条件，代入上式，可求得C=2，所以原微分方程在此初始条件下的特解为求微分方程的通解。解：易知原微分方程对应的齐次微分方程可表示成其通解为（其中C为任意常数）由常数变易法，令原微分方程的通解形式为，则，代入原微分方程，得，积分得(其中C为任意常数)。于是，所求微分方程的通解为（其中C为任意常数）设为连续函数，由所确定，求。解：对积分方程两边求导数得，即且当时，代入上方程得故8、巳知生产某产品的固定成本是，生产单位的边际成本与平均单位成本之差为：，且当产量的数值等于时，相应的总成本为，求总成本与产量的函数关系。高等数学II练习题二阶微分方程1、求方程的通解。解：特征方程为，得特征根为所以方程的通解2、求微分方程的通解，其中常数。解：特征方程为：，求得特征根所以方程的通解3、求方程，，的特解。解：特征方程为，解得特征根为所以方程的通解为把，代入上二式，得故所求方程满足条件的解为4、求微分方程的一个特解。5、求微分方程的通解。6、设函数求微分方程满足初始条件的特解。高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______微分方程综合一、选择题1、下列各微分方程中为一阶线性微分方程的是（B）（A）（B）（C）（D）2、满足方程的解是（B）（A）（B）（C）（D）3、已知，是方程的解，则(为任意常数)（B）（A）是方程的通解（B）是方程的解，但不是通解（C）是方程的一个特解（D）不一定是方程的解．4、具有特解，的二阶常系数齐次线性方程是（B）（A）（B）（C）（D）5、微分方程，，的特解是（C）（A）（B）（C）（D）6、微分方程的一个特解应具有形式（式中为常数）（D）（A）（B）（C）（D）7、微分方程的特解应设为（D）（A）（B）（C）（D）8、设微分方程有特解，则它的通解是（A）（A）（B）（C）（D）二、填空题1、微分方程的通解是2、微分方程，满足的特解为3、微分方程的通解为4、微分方程的通解是5、微分方程的通解是6、具有特解和的二阶常系数齐次线性方程为7、设为某方程的通解，其方程为8、方程的特解可设为.9、方程的特解可设为.10、方程的特解可设为.11、方程的特解可设为.注意:特解的表达式里面出现的常数，可说成“其中。。。。为常数”或者“其中。。。。为待定常数”两者都可以。高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______空间解析几何、多元函数概念和性质一．选择题1、方程表示（D）（A）平面（B）柱面（C）球（D）抛物面2、函数的定义域（C）（A）（B）（C）（D）3、设，且当时，则=（D）（A）（B）（C）（D）4、若，则=（B）（A）（B）（C）（D）二．填空题1、方程表示表示空间的准线是xOy平面上的半径为，原点为圆心的圆，母线平行于Oz轴的圆柱面2、若一球面以点为球心且过原点，则其方程为3、球面：的球心是点___________，半径_____4_____；4、的定义域5、设函数，则6、已知，则=7、已知，则三．计算题1、解：当时，则原式＝22、解：原式＝3、解：原式＝＝(注意：如何应用变量替换法，把二元函数的极限转化为一元函数的情形，利用一元函数的常见的等价无穷小来计算！考虑下什么情形下是安全的！)高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______多元函数导数及微分1、设函数，求。解：求函数的全微分。解：由全微分公式则3、设，而，，求。解：由链式法则，（注意，最后的答案应写成u,v的形式，因要求的表达式默认是u，v的函数！）设，求及。解：由已知z=z(x,y),原方程两边对x求偏导数对y求偏导数整理可求得因此故z的全微分可表示为：＝设，而，，求。解：(要特别注意上面式子z在不同地方表示不同自变量的函数，如t的函数，x,y的函数；这是把原来z是t的一元函数表示成z是二元函数的复合函数的情形)设，求，其中有二阶偏导数。解：（注：下标1,2的表示对应的偏导数，参见课本p251例7.25）7、设，求。解法一：方程两边对x求偏导数整理得上式两边对x求偏导数8、设由所确定的函数，求。解：方程两边对x求偏导整理得因此高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______多元函数极值和最值求函数的驻点。解：解方程得驻点求函数的极值点。解：由得驻点，,,求二阶偏导数对点:故(1/3,1/3)为极大值点。对点:，不是极值点.对点(0,1)和点(1,0)，，故(0,1)和(1,0)都不是极值点；3、求的极值。解法1）：由得驻点计算二阶偏导数对应地，，，故(0,0)是极大值点，极大值为(2,2)是极小值点，极小值为.解法2）：解：驻点为在处，，为极大值点，在处，不是极值点在处，不是极值点在处，，为极小点，4、设生产某种产品需要甲、乙两种原料，已知甲种原料的价格为2，乙种原料的价格为1，而用单位的甲种原料和y单位的乙种原料可生产产品数量为，若该产品的单位价格为5，试求最大利润．解：收入成本利润＝，，，，故最大利润为5、工厂的同一种产品分销两个独立市场．两个市场的需求情况不同，设价格函数分别为，，厂商的总成本函数为，,工厂以最大利润为目标，求投放每个市场的产量，并确定此时每个市场的价格．解：总收入：总利润：＝，不难验证(8,2)为最大利润对应的极值点某厂为促销产品需作两种手段的广告宣传．当广告费分别为，时，销售量，若销售产品所得利润，两种手段的广告费共25(千元)，问如何分配两种手段的广告费才能使利润最大？解：作函数求偏导得两种广告分别为15（千元）和10（千元）的时候使得利润最大高等数学II练习题二重积分1、设区域D由所围成，求。解：原式(X型累次积分)＝＝原式(Y型累次积分)＝2、设是由直线，及所围成的平面区域，求。解：原式（X型）＝3、设区域由轴与曲线（）所围成，求。解：原式（Y型）＝4、设，为正方形：，计算。解：原式(矩形区域)＝=5、求积分。解：把原式Y型的累次积分转化为X型即原式＝6、设积分区域由，及所围成，求。解：原式＝＝＝7、设积分区域为，求。解：令原式＝＝＝8、计算，其中由，所围成。解：令原式＝高等数学II练习题多元函数微积分综合一、选择题1、设，则=（B）（A）（B）（C）（D）2、若，则等于（B）（A）（B）（C）（D）3、设均为可微函数，则（C）（A） （B）（C）（D）4、设积分区域是，则=（B）（A）1（B）2（C）4（D）85、设平面区域由与两坐标轴所围成，若，，，则它们之间的大小顺序为（C）（A）（B）（Ｃ）（Ｄ）6、设是以为顶点的梯形所围成的有界闭区域，是区域上的连续函数，则二重积分（B）（A）（B）（C）（D）7、二次积分的另一种积分次序是（A）(A)(B）(C)(D)8、的值等于（A）（A）（B）（C）（D）9、积分（C）（A）（B）（C）（D）积不出二、填空题1、设，则=2、设，则3、设，则=4、设，则=5、设，而，，则=6、设，则7、设是由与围成的平面区域，若，则；若积分区域是，则=.8、若区域由，围成，则二重积分化成先对，后对的二次积分为.9、=.10、设区域由，所确定，则=0.11、改换积分的次序=12、化二次积分为极坐标的二次积分=高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______常数项级数1、求级数的和。解：级数的部分和，此级数的和即.2、判断级数的敛散性。3、判断级数的敛散性。4、判断级数的敛散性。5、判断级数的敛散性。6、判断级数的敛散性，并求.7、判断级数的敛散性。（若收敛是绝对收敛还是条件收敛）解：由8、判断级数的敛散性。（若收敛是绝对收敛还是条件收敛）高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______幂级数和函数的幂级数展开1、求级数的收敛域。求级数的收敛域。解：故级数收敛半径为即当时，级数为，发散故级数收敛域为3、求级数的收敛域和和函数。解：由比值判别法可知当，即时，级数收敛，当或时，易知级数的收敛域为；又，逐项求导到4、求级数的收敛域和和函数。解：故级数收敛半径为即当，级数为，发散；当，级数为，收敛；故级数的收敛域为而由得5、将函数展开为麦克劳林级数。6、将在点处展开为幂级数。7、将函数展开为的幂级数。解：8、将函数展开为的幂级数。高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______级数综合一、选择题1、若级数收敛，记，则（B）（A）（B）存在（C）可能不存在（D）为单调数列2、若收敛，则（B）（A）与必同时收敛（B）与可能同时收敛，也可能同时发散（C）必收敛（D）收敛，发散3、若级数收敛于，则收敛于（B）（A）（B）（C）（D）4、下列级数中，收敛的是（A）（A）（B）（C）（D）5、级数的收敛范围是(D)（A） （B） （C） （D）6、下列级数中，收敛的是（D）（A）（B）（C）（D）7、在下列级数中，发散的是（D）（A）（B）（C）（D）8、下列级数中，收敛的是（D）（A）（B）（C）（D）9、下列级数中发散的是