2021年上海市普陀区高考数学一模试卷(含详细解析)

第1页（共1页）2021年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）若集合，，，则．2．（4分）函数的反函数为．3．（4分）若且，则．4．（4分）设无穷等比数列的各项和为2，若该数列的公比为，则．5．（4分）在的二项展开式中项的系数为．6．（4分）若正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为．7．（5分）若圆以椭圆的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆的方程为．8．（5分）一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为．9．（5分）设，则不等式的解集为．10．（5分）某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：，且该区域的租金为每天4元，若租用上述区域5天，则仅场地的租用费约需元（结果保留整数）．11．（5分）如图所示，在直角梯形中，已知，，，，为的中点，设、分别为线段、上的动点，若、、三点共线，则的最大值为．12．（5分）设、均为实数，若函数在区间，上有零点，则的取值范围是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）曲线的准线方程是A． B． C． D．14．（5分）设、均为实数，且，则在以下各项中的可能取值只能是A． B． C． D．15．（5分）如图，在正四棱柱中，底面边长，高，为棱的中点，设，，，则、、之间的关系正确的是A． B． C． D．16．（5分）设、均为实数，关于的方程在复数集上给出下列两个结论：①存在、，使得该方程仅有两个共轭虚根；②存在、，使得该方程最多有6个互不相等的根；其中正确的是A．①与②均正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）设为常数，函数．（1）设，求函数的单调递增区间及频率；（2）若函数为偶函数，求此函数的值域．18．（14分）双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限．（1）设为右支上的任意一点，求的最小值；（2）设为坐标原点，求到的距离，并求与的交点坐标．19．（14分）某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点处乘Ⅰ到达二楼的点处后，沿着二楼面上的圆弧逆时针步行至点处，且为弧的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为、、，半径为8米，相邻楼层的间距米，两部电梯与楼面所成角的大小均为．（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；（2）求异面直线和所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）20．（16分）已知无穷数列的首项为，其前项和为，且，其中为常数且．（1）设，求数列的通项公式，并求的值；（2）设，，是否存在正整数使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件的所有值，若不存在，请说明理由；（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得．21．（18分）已知函数．（1）解不等式；（2）设、均为实数，当，时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数及的值，使得关于的不等式恒成立，求的取值范围；（3）设为实数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根、且，试将表示为关于的函数，并写出此函数的定义域．

2021年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）若集合，，，则．【解答】解：，，，，故答案为：．2．（4分）函数的反函数为．【解答】解：由解得或（舍去），所以，，所以原函数的反函数为，，故答案为：，．3．（4分）若且，则．【解答】解：由，且，可得，所以，故答案为：．4．（4分）设无穷等比数列的各项和为2，若该数列的公比为，则．【解答】解：由题意可得，且，，故．故答案为：．5．（4分）在的二项展开式中项的系数为28．【解答】解：的二项展开式的通项为，，1，，8．令，解得，则项的系数，故答案为：28．6．（4分）若正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为．【解答】解：正方体棱长为1，正方体的外接球的半径，正方体的外接球的体积．故答案为：．7．（5分）若圆以椭圆的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆的方程为．【解答】解：根据题意，椭圆中，，，则，则椭圆的右焦点坐标为，则圆的圆心为，半径，故圆的方程为：，故答案为：．8．（5分）一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为．【解答】解：由题设知：从10个球中任取4个球，共有种取法，满足三种颜色的球均取到的取法有种，三种颜色的球均取到的概率为，故答案为：．9．（5分）设，则不等式的解集为．【解答】解：因为在上单调递减，由（1），可得即，解得，．故答案为：．10．（5分）某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：，且该区域的租金为每天4元，若租用上述区域5天，则仅场地的租用费约需520元（结果保留整数）．【解答】解：在中，设，，，利用，由于，所以．所以，则花费用为．故答案为：520元．11．（5分）如图所示，在直角梯形中，已知，，，，为的中点，设、分别为线段、上的动点，若、、三点共线，则的最大值为．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．，，，，，设，，．设，则，，，，，．、、三点共线，可以设，，，，．消去可得：．则，，．令．，．则在，上单调递减，因此时，取得最大值．12．（5分）设、均为实数，若函数在区间，上有零点，则的取值范围是，．【解答】解：在区间，上有零点，在区间，上有解，在区间，上有解，令，（1），，，，，故答案为：，．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）曲线的准线方程是A． B． C． D．【解答】解：抛物线的准线方程是，故选：．14．（5分）设、均为实数，且，则在以下各项中的可能取值只能是A． B． C． D．【解答】解：，可得，整理得：，将选项代入，只有成立，故选：．15．（5分）如图，在正四棱柱中，底面边长，高，为棱的中点，设，，，则、、之间的关系正确的是A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，连接，因为高，为棱的中点，所以，因为在正四棱柱中，底面边长，所以，所以为等边三角形，所以，，连接，在△中，，，，由余弦定理可得，所以，所以．故选：．16．（5分）设、均为实数，关于的方程在复数集上给出下列两个结论：①存在、，使得该方程仅有两个共轭虚根；②存在、，使得该方程最多有6个互不相等的根；其中正确的是A．①与②均正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确【解答】解：对于方程，若，，方程化为，即，得，即方程仅有两个共轭虚根，故①正确；当，时，方程为，该方程有4个实数根，分别为，1，，2，有2个纯虚跟，为，，共6个互不相等的根，故②正确．故选：．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）设为常数，函数．（1）设，求函数的单调递增区间及频率；（2）若函数为偶函数，求此函数的值域．【解答】解：（1）因为，所以函数，令，解得，所以函数的单调递增区间为，函数是频率；（2）因为函数是偶函数，则，即，即，所以，所以，当时，，，所以，，故函数的值域为，．18．（14分）双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限．（1）设为右支上的任意一点，求的最小值；（2）设为坐标原点，求到的距离，并求与的交点坐标．【解答】解：（1）由双曲线，得，，则，，设，，其中，且，，当时，；（2），的渐近线方程为，由题设可知，直线的方程为．到直线的距离．联立，得，即，代入，得．与的交点坐标为．19．（14分）某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点处乘Ⅰ到达二楼的点处后，沿着二楼面上的圆弧逆时针步行至点处，且为弧的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为、、，半径为8米，相邻楼层的间距米，两部电梯与楼面所成角的大小均为．（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；（2）求异面直线和所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）过点作1楼面的垂线，垂足是，则落在圆柱底面圆上，连接，则即为在圆柱下底面上的射影，故即为与楼面所成的角，即，，可得，中，，故是等腰直角三角形，故，，故弧的长为，故此顾客在二楼面上步行的路程为米；（2）由（1）可知，，两两互相垂直相交，于是以为坐标原点，以射线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图示：则，0，，，8，，，，，，，，故，，，，0，，设异面直线和所成角的大小为，则，即，故异面直线和所成角的大小为．20．（16分）已知无穷数列的首项为，其前项和为，且，其中为常数且．（1）设，求数列的通项公式，并求的值；（2）设，，是否存在正整数使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件的所有值，若不存在，请说明理由；（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得．【解答】解：（1）由得数列是以1为首项1为公差的等差数列，故，，；（2）因为是等差数列，，解得，又因为，所以，故，所以，，则，当，2，3，4，5，6，7，8时，，不等式成立，当时，时，不等式都不成立，所以满足条件的所有的的值为1，2，3，4，5，6，7，8；（3）①先证必要性：任取等差数列中不同的两项，，，存在使得，则，得，故存在使得，使得，，再整：反证法证明：假设当时，不成立，则恒成立，对于不同的两项，，应存在，使得，即，所以，又因为是小于的整数，故，所以假设不成立，故，②再证充分性：当，，，任取等差数列中不同的两项，，，则，因为且，所以，综上①②可得，原结论成立．21．（18分）已知函数．（1）解不等式；（2）设、均为实数，当，时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数及的值，使得关