2021-2022学年辽宁省铁岭市调兵山第二高级中学高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年辽宁省铁岭市调兵山第二高级中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的1．（5分）设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a﹣5|，9}，∁UA＝{5，7}，则实数a的值是（）A．2 B．8 C．﹣2或8 D．2或82．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．15 B．20 C．25 D．303．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，1]4．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+4x，则f（）＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣25．（5分）设a＝log20.3，b＝30.2，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．（5分）若函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．7．（5分）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为（）A． B． C． D．8．（5分）已知函数f（x）＝3x，函数g（x）是f（x）的反函数，若正数x1，x2，⋯，x2020满足x1•x2⋯x2020＝81，则的值等于（）A．4 B．8 C．16 D．64二、多选题（每小题5分，共20分；全部选对5分，部分选对2分，有选错或不选0分）（多选）9．（5分）某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A．中位数为3 B．众数为3，6，8 C．平均数为5 D．方差为4.8（多选）10．（5分）已知函数关于函数f（x）的结论正确的是（）A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为（﹣∞，4） C．f（x）＜1的解集为（﹣1，1） D．若f（x）＝3，则x的值是（多选）11．（5分）下列叙述错误的是（）A．若a＞b与同时成立，则ab＜0 B．命题“对任意的x＞1，有x2＞1”的否定为“存在x≤1，有x2≤1” C．若函数的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（0，3） D．“x＜﹣2”是“lg（x+3）＜0”的充要条件（多选）12．（5分）下列说法正确的有（）A．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是 B．抛掷一枚骰子一次，“向上的点数是3的倍数”与“向上的点数是2的倍数”是互斥事件 C．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍 D．甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件三、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm在R上为增函数，则logm+m＝．14．（5分）不等式的解集为．15．（5分）已知曲线y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞0，则的最小值为．16．（5分）若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．17．（10分）（1）已知a≤2，化简：；（2）求值：．18．（12分）已知函数（m＞0，m≠1）的图象恒经过与m无关的定点A．（1）求点A的坐标；（2）若偶函数g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]的图象过点A，求a、b、c的值．19．（12分）已知二次函数满足f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．（1）函数f（x）的解析式；（2）若当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＞3x﹣a恒成立，求实数a的取值范围．20．（12分）东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞﹣﹣我们都是追梦人”摄影图片展，通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼．摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[20，70]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中a的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）人数②若从年龄在[30，50）的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[30，40）的概率．21．（12分）已知函数f（x）＝（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）＝loga[f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．22．（12分）设函数f（x）＝ax﹣（k﹣1）a﹣x，（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，且．（1）求k，a的值；（2）求函数f（x）在[1，+∞）上的值域；（3）设g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2m•f（x），若g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．

2021-2022学年辽宁省铁岭市调兵山第二高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的1．（5分）设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a﹣5|，9}，∁UA＝{5，7}，则实数a的值是（）A．2 B．8 C．﹣2或8 D．2或8【分析】根据补集的定义和性质可得3∈A，|a﹣5|＝3，解出实数a的值．【解答】解：由题意可得3∈A，|a﹣5|＝3，∴a＝2，或a＝8，故选：D．【点评】本题考查集合的表示方法、集合的补集的定义和性质，判断|a﹣5|＝3是解题的关键．2．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．15 B．20 C．25 D．30【分析】根据分层抽样即可求解．【解答】解：∵样本中的青年职工为7人，∴样本容量为×750＝15．故选：A．【点评】本题考查分层抽样方法，考查运算求解能力，属于基础题．3．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，1]【分析】由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．【解答】解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，故选：C．【点评】本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法．4．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+4x，则f（）＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据x＞0时的f（x）解析式，即可求出，再根据f（x）是奇函数，即可求出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，；∴．故选：B．【点评】考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法，对数的运算．5．（5分）设a＝log20.3，b＝30.2，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵log20.3＜log21＝0，30.2＞30＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．6．（5分）若函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】求出二次函数f（x）的对称轴，结合二次函数的性质分析可得≥2，即可求得a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x+1的对称轴为x＝，开口向上，∵函数在（﹣∞，2]上是单调递减函数，∴≥2，∴a≤﹣，∴实数a的取值范围是为（﹣∞，﹣]，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，注意二次函数单调性的判断方法，属于基础题．7．（5分）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为（）A． B． C． D．【分析】由题意，p＝10，S＝＝，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：由题意，p＝10，S＝＝≤＝8，∴此三角形面积的最大值为8．故选：B．【点评】本题考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝3x，函数g（x）是f（x）的反函数，若正数x1，x2，⋯，x2020满足x1•x2⋯x2020＝81，则的值等于（）A．4 B．8 C．16 D．64【分析】由反函数的定义可知g（x）＝log3x，再结合对数的运算性质求解即可．【解答】解：∵函数f（x）＝3x，函数g（x）是f（x）的反函数，∴g（x）＝log3x，∵正数x1，x2，……，x2020满足x1•x2•……•x2020＝81，∴＝++…+＝2（log3x1+log3x2+…+log32020）＝2log3（x1•x2•…•x2020）＝2log381＝＝2×4＝8．故选：B．【点评】本题主要考查了反函数的定义，考查了对数的运算性质，属于中档题．二、多选题（每小题5分，共20分；全部选对5分，部分选对2分，有选错或不选0分）（多选）9．（5分）某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A．中位数为3 B．众数为3，6，8 C．平均数为5 D．方差为4.8【分析】先将原数据按照从小到大的顺序进行排列，再根据中位数、众数、平均数和方差的计算方法逐一求解即可．【解答】解：将原数据按从小到大的顺序进行排列：2，3，3，4，6，6，8，8，所以中位数为，众数为3，6，8，平均数为＝5，方差为×[（2﹣5）2+（3﹣5）2×2+（4﹣5）2+（6﹣5）2×2+（8﹣5）2×2]＝4.75．故选：BC．【点评】本题考查中位数、众数、平均数和方差的概念与计算方法，考查学生的运算能力，属于基础题．（多选）10．（5分）已知函数关于函数f（x）的结论正确的是（）A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为（﹣∞，4） C．f（x）＜1的解集为（﹣1，1） D．若f（x）＝3，则x的值是【分析】画出分段函数f（x）的图象，可求出定义域和值域，再利用图象解出不等式f（x）＜1的解集即可，由函数f（x）的图象可知，只有当﹣1＜x＜2时，f（x）可能等于3，令f（x）＝3即可求出x的值．【解答】解：由题意可知，函数f（x）的定义域为（﹣∞，2），所以选项A错误；画出函数f（x）的图象，如图所示，由图可知函数f（x）的值域为（﹣∞，4），所以选项B正确；由函数f（x）的图象可知，当f（x）＝1时，x＝﹣1或1，所以f（x）＜1时，x＜1且x≠﹣1，即f（x）＜1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1），所以选项C错误；由函数f（x）的图象可知，只有当﹣1＜x＜2时，f（x）可能等于3，令f（x）＝3得：x2＝3，解得x＝，所以选项D正确，故选：BD．【点评】本题考查分段函数的运用，考查了分段函数的定义域和值域，考查分段函数值对应的自变量，考查运算能力，属于中档题．（多选）11．（5分）下列叙述错误的是（）A．若a＞b与同时成立，则ab＜0 B．命题“对任意的x＞1，有x2＞1”的否定为“存在x≤1，有x2≤1” C．若函数的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（0，3） D．“x＜﹣2”是“lg（x+3）＜0”的充要条件【分析】根据题意，由不等式的性质分析A，由命题的否定方法分析B，由函数零点定理分析C，由充分必要条件的定义分析D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若，则﹣＝＞0，又由a＞b，即b﹣a＜0，必有ab＜0，A正确；对于B，命题“对任意的x＞1，有x2＞1”的否定为“存在x＞1，有x2≤1”，B错误；对于C，函数，为增函数，若其零点在区间（1，2）内，则有，解可得0＜a＜3，即a的取值范围为（0，3），C正确；对于D，当x＝﹣3时，满足x＜﹣2，但lg（x+3）无意义，故“x＜﹣2”不是“lg（x+3）＜0”的充分条件，D错误．故选：BD．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质以及函数的零点，属于基础题．（多选）12．（5分）下列说法正确的有（）A．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是 B．抛掷一枚骰子一次，“向上的点数是3的倍数”与“向上的点数是2的倍数”是互斥事件 C．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍 D．甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件【分析】根据古典概型判断A，根据互斥事件的定义判断B，根据方差的定义判断C，根据对立事件定义判断D．【解答】解：A，共有基本事件36个，其中点数之和为6的有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），根据古典概型，所以概率为，A正确；B，当出现点数为6点时，两个事件同时发生，故不是互斥事件，故B错误；C，根据方差的性质可知D（aX）＝a2D（X），故C正确；D，根据对立事件的定义，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件，D正确．故选：ACD．【点评】本题考查互斥事件与对立事件的判断，考查古典概型，考查方差的性质，是基础题．三、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm在R上为增函数，则logm+m＝2．【分析】先根据幂函数的概念得系数等于1，解得m＝2或m＝3，然后将m的值代入检验单调性．最后将符合条件的m代入原式求值．【解答】解：因为f（x）为幂函数，所以m2﹣5m+7＝1，解得m＝2或m＝3当m＝2时，f（x）＝x2在R上先递减，再递增，不符合题意；当m＝3时，f（x）＝x3在R上递增，符合题意．∴m＝3，则原式＝log3+3＝+＝2，故答案为：2【点评】本题考查了幂函数的概念、解析式、定义域．属基础题．14．（5分）不等式的解集为（0，1）．【分析】先做出函数y＝的图象和函数y＝﹣x+1的图象，数形结合，可得结论．【解答】解：先做出函数y＝的图象（红色部分）和函数y＝﹣x+1的图象（蓝色部分），如图所示：由于它们的图象都经过P（0，1）、Q（1，），故不等式的解集为（0，1），故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查函数的单调性和特殊点，函数的图象，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．15．（5分）已知曲线y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞0，则的最小值为．【分析】由恒过定点得出b的值，再根据乘1法结合基本不等式求解．【解答】解：由已知函数y＝ax﹣1+1所过的定点坐标为（1，2），所以b＝2，所以m+n＝2，则＝＝≥+＝，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2]．【分析】当x≤2时，检验满足f（x）≥4．当x＞2时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）＝6﹣x≥4．①若a＞1，f（x）＝3+logax在它的定义域上单调递增，当x＞2时，由f（x）＝3+logax≥4，∴logax≥1，∴loga2≥1，∴1＜a≤2．②若0＜a＜1，f（x）＝3+logax在它的定义域上单调递减，f（x）＝3+logax＜3+loga2＜3，不满足f（x）的值域是[4，+∞）．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．17．（10分）（1）已知a≤2，化简：；（2）求值：．【分析】（1）结合已知及根式的几何意义即可化简求值，（2）结合对数的运算性质及对数恒等式即可进行化简．【解答】解：（1）∵a≤2，∴，＝2﹣a+a+3+2＝7；（2），＝，＝＝3．【点评】本题考查的知识点是指对数的运算性质，熟练掌握指数与对数的运算性质是解答对数化简求值类问题的关键．18．（12分）已知函数（m＞0，m≠1）的图象恒经过与m无关的定点A．（1）求点A的坐标；（2）若偶函数g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]的图象过点A，求a、b、c的值．【分析】（1）令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得函数的图象恒经过定点的坐标．（2）由题意利用偶函数的性质求得b、c的值，再根据函数图象经过定点A（1，1），可得a的值．【解答】解：（1）令+＝1，可得x＝1，y＝1，可得函数（m＞0，m≠1）的图象恒经过A（1，1）．（2）∵g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]，是偶函数，∴g（﹣x）＝g（x），∴b＝0．且有1﹣2c＝﹣c，求得c＝1，故g（x）＝ax2﹣1．再根据它的图象经过定点A（1，1），可得1＝a﹣1，∴a＝2．综上可得，a＝2，b＝0，c＝1．【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，函数的奇偶性的应用，属于中档题．19．（12分）已知二次函数满足f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．（1）函数f（x）的解析式；（2）若当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＞3x﹣a恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法，列方程求解即可；（2）由（1）分离参数，可得a＞﹣x2+4x﹣1，只需由x∈[﹣1，1]时，a＞（﹣x2+4x﹣1）max即可求出参数a的取值范围即可．【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），f（0）＝1，所以c＝1，又f（x+1）﹣f（x）＝2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣ax2﹣bx﹣1＝2x，所以2ax+a+b＝2x，所以，解得，所以函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x+1．（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＞3x﹣a恒成立，所以a＞﹣x2+4x﹣1在x∈[﹣1，1]恒成立，设g（x）＝﹣x2+4x﹣1，则g（x）的对称轴x＝2，开口朝下，所以g（x）在[﹣1，1]上单调递增，所以g（x）max＝g（1）＝﹣1+4﹣1＝2，所以a＞2，所以a的取值范围为（2，+∞）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和方程思想，属中档题．20．（12分）东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞﹣﹣我们都是追梦人”摄影图片展，通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼．摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[20，70]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中a的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）人数12485②若从年龄在[30，50）的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[30，40）的概率．【分析】本题思路常规，根据频率分布直方图求得平均数，中位数，第二问中根据分层抽样的原理求得各组数据应取得值最后一问则是利用二项式原理求得．【解答】解：（1）由题意得，组距为10，则频率/组距为0.1即0.005+0.010+0.020+a+0.040＝0.1解得a＝0.025样本平均数为各组数据中间值乘上各组频率相加即平均数等于25×0.005×10+35×0.01×10+45×0.020×10+55×0.040×10+65×0.025×10＝52中位数为整组数据最中间的数据即当一定数据的频率之和为0.5时的值（0.005+0.010+0.020）×10＝0.35，（0.005+0.010+0.020+0.040）×10＝0.75则该值在第四组数据中，（0.005+0.010+0.020+0.040×y）×10＝0.5解得，y＝0.37550+0.375×10＝53.75则该组数据的中位数为53.75（2）①设从五组数据中分别抽出a、b、c、d、e人根据从100人中抽取20人可得＝＝＝＝＝解得，a＝1，b＝2，c＝4，d＝8，e＝5②[30，40]中有2人，[40，50]中有4人，共6人则两人中有至少有一人来自[30，40]的概率为＝．【点评】本题解题过程中要求学生算数要准确，频率分布直方图不要混淆各组数据的值．21．（12分）已知函数f（x）＝（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）＝loga[f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．【分析】（1）根据题意，结合幂函数的性质，求出m的取值范围，验证得出符合题意的m值即可