与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析

与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴：第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1，在平行四边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在对角线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0,请你以SKIPIF1<0为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0⑶证明：连结SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0交于点O∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形∴SKIPIF1<0第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2，在平行四边形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于点O，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的取值范围是（）ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<0解：将线段SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0方向平移，使得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则有四边形SKIPIF1<0为平行四边形,∵在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3，四边形SKIPIF1<0为平行四边形求证：SKIPIF1<0证明：过SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延长线于点F∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4：已知：如右上图4，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0点，求证：SKIPIF1<0证明：延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0∵四边形SKIPIF1<0为正方形∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5，在平行四边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的延长线相交于SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例6已知：如右上图6，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解：连结SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,连结SKIPIF1<0∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。梯形的辅助线口诀：梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。SKIPIF1<0平移对角线。转化为三角形、平行四边形。SKIPIF1<0延长两腰，转化为三角形。作高，转化为直角三角形和矩形。中位线与腰中点连线。（一）、平移1、平移一腰：例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长.解：过点D作DE∥BC交AB于点E.又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.所以DE＝BC＝17，CD＝BE.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.即CD＝8.例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。解：过点B作BM//AD交CD于点M，在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。2、平移两腰：例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。SKIPIF1<0解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°则△EGH是直角三角形因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点所以SKIPIF1<0SKIPIF1<03、平移对角线：例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．ABDCEH∵ABDCEH∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90°．作DH⊥BC于H，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0．例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=SKIPIF1<0，求证：AC⊥BD。SKIPIF1<0解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BC，CE=BD=SKIPIF1<0，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=SKIPIF1<0，所以在△ACE中，SKIPIF1<0，从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。例6如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。SKIPIF1<0解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形，即SKIPIF1<0。所以SKIPIF1<0由勾股定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0（cm）SKIPIF1<0（cm）所以SKIPIF1<0，即梯形ABCD的面积是150cm2。（二）、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。SKIPIF1<0解：延长BA、CD交于点E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。所以∠E=50°，从而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3例8.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.解：四边形ABCD是等腰梯形.证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠DAB＝∠CBA.∴EA＝EB.又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.又AD不平行于BC，∴四边形ABCD是等腰梯形.（三）、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。SKIPIF1<0解：连结BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。所以∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一条高例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。SKIPIF1<0证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。因为AB=2DC，所以AG=GB。从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。2、作两条高例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．ABCDDEDFD解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又ABCDDEDFD∴四边形AEFD是矩形，EF=AD=3cm∵AB=DCSKIPIF1<0∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cm∴AB=2BE=2cm，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。SKIPIF1<0在Rt△ABE和Rt△DCF中，因为AB>CD，AE=DF。所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BD>AC（五）、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。SKIPIF1<0证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=SKIPIF1<0（AB＋CD）①在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE所以SKIPIF1<0 ②由①、②得AB＋CD=AD。2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）SKIPIF1<0。SKIPIF1<0证：连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG则AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线从而EF//BG，且SKIPIF1<0因为AD//BG，SKIPIF1<0所以EF//AD，EFSKIPIF1<03、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。解：分别延长AE与BC，并交于F点∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等)∠AED=∠FEC（对顶角相等）DE=EC（E点是CD的中点）∴△ADE≌△FCE（AAS）∴AE=FE在△ABF中∠FBA=900 且AE=FE∴BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴在△FEB中∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBEABDCEF例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，