控制工程基础第二章

控制工程基础南京理工大学紫金学院机械工程系NJUSTZJ不抛弃，不放弃第二章控制系统的动态数学模型NJUSTZJ不抛弃，不放弃

建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。对于机电控制系统，在输入作用下有些什么运动规律，我们不仅希望了解其稳态情况，更重要的是要了解其动态过程。如果将物理系统在信号传递过程中的这一动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。

数学模型是描述系统输入、输出及内部变量之间关系的数学表达式。系统数学模型既是分析系统的基础，又是综合设计系统的依据。NJUSTZJ不抛弃，不放弃系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。静态数学模型：反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态无关。因此静态模型用代数式表达，数学表达式中不含有时间变量。NJUSTZJ不抛弃，不放弃动态数学模型：描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。对于给定的动态系统，数学模型表达不唯一。建立数学模型是控制系统分析与设计中最重要的工作！NJUSTZJ不抛弃，不放弃

经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数(TransferFunction，tf)为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程(StateSpace,ss)为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。NJUSTZJ不抛弃，不放弃本章的基本内容：2.1基本环节数学模型2.2数学模型的线性化2.3拉氏变换及反变换2.4传递函数以及典型环节的传递函数2.5系统函数方块图及其简化2.6系统信号流图及梅逊公式2.9控制系统数学模型的MATLAB实现NJUSTZJ不抛弃，不放弃重点掌握：建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统、电路网络和电机）的数学模型及模型的线性化重要的分析工具：拉氏变换及反变换经典控制理论的数学基础：传递函数控制系统的图形表示：方块图及信号流图建立实际机电系统的传递函数及方块图系统数学模型的MATLAB实现NJUSTZJ不抛弃，不放弃数学模型的形式时间域：微分方程复数域：传递函数频率域：频率特性2.1基本环节数学模型基本环节机械系统：质量-弹簧-阻尼系统电气系统：电路网络执行机构：电动机NJUSTZJ不抛弃，不放弃2.1基本环节数学模型建立控制系统数学模型的方法有：解析法－应用物理规律、化学规律等，对系统各部分的运动机理进行分析。

实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。NJUSTZJ不抛弃，不放弃解析法建立系统数学模型的步骤：2.1基本环节数学模型1.分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；2.从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；3.消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；4.标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排。NJUSTZJ不抛弃，不放弃2.1基本环节数学模型实验法－基于系统辨识的建模方法已知知识和辨识目的实验设计--选择实验条件模型阶次--适合于应用的适当的阶次参数估计--最小二乘法模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。NJUSTZJ不抛弃，不放弃2.1基本环节数学模型2.1.1机械系统

机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性小、柔度较大。在集中参数法中，将前一类构件的弹性忽略将之视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略将之视为无质量弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量–弹簧–阻尼系统。NJUSTZJ不抛弃，不放弃2.1基本环节数学模型根据牛顿第二定律:将输出变量写在等号左边，输入变量写在等号右边，阶次由高到低排列，得到：其中：M为受控质量；D为粘性阻尼系数；k为弹性刚度

微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。

NJUSTZJ不抛弃，不放弃2.1基本环节数学模型2.1.2电气系统电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。NJUSTZJ不抛弃，不放弃2.1基本环节数学模型NJUSTZJ不抛弃，不放弃2.1基本环节数学模型NJUSTZJ不抛弃，不放弃2.1基本环节数学模型根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有：经过整理，可得其数学模型为：NJUSTZJ不抛弃，不放弃根据反相放大器“虚断”和“虚地”，有：经过整理，可以得到其数学模型：2.1基本环节数学模型NJUSTZJ不抛弃，不放弃2.1基本环节数学模型2.1.3电动机电动机是机电系统中最常用最重要的执行元件。：电机转矩：电机电枢输入电压：电机输出转角：电枢绕组电阻：电枢绕组电感：流过电机绕组的电流：电机感应反电动势：电机及负载折合到电机轴上的转动惯量：电机及负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数NJUSTZJ不抛弃，不放弃2.1基本环节数学模型基尔霍夫定律电磁感应定律牛顿第二定律NJUSTZJ不抛弃，不放弃为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程可简化为2.1基本环节数学模型NJUSTZJ不抛弃，不放弃对于较复杂系统，列写微分方程的一般步骤：2.1基本环节数学模型1.分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；2.从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；3.消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；4.标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排。NJUSTZJ不抛弃，不放弃2.1基本环节数学模型单输入、单输出系统的微分方程表示的数学模型的一般形式：其中：为输出变量，为输入变量

由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，故：m《nNJUSTZJ不抛弃，不放弃

物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。

从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。

小结：2.1基本环节数学模型NJUSTZJ不抛弃，不放弃

2.1基本环节数学模型通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数，与系统的输入无关。小结：NJUSTZJ不抛弃，不放弃

线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；

线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：

可加性：

齐次性：或：2.2数学模型的线性化NJUSTZJ不抛弃，不放弃用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。

非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。

实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。

2.2数学模型的线性化NJUSTZJ不抛弃，不放弃

尽管线性系统理论已是相当成熟，但非线性系统理论还不完善。另外，由于叠加原理不适用于非线性系统，这给解非线性系统带来很大不便。故对非线性系统进行线性化处理，用线性系统理论进行分析。

实际的物理系统往往有死区、饱和、间隙等各类非线性现象。严格来讲，几乎所有的实际的物理系统都是非线性的。2.2数学模型的线性化NJUSTZJ不抛弃，不放弃

非线性元件微分方程线性化的一般方法：

一个变量的非线性函数y=f(x)，在x0处连续可微，则可将它在该点附近用泰勒级数展开：2.2数学模型的线性化

具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法进行线性化处理。在一个小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。（分段定常系统）NJUSTZJ不抛弃，不放弃则有令增量较小时略去其高次幂项，则有：2.2数学模型的线性化k为比例系数，即函数f(x)在x0点切线的斜率。上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。称为系统的静态方程。NJUSTZJ不抛弃，不放弃y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用泰勒级数为：略去二级以上导数项，并令：两个变量的非线性函数：2.2数学模型的线性化称为增量方程NJUSTZJ不抛弃，不放弃

输入力矩输出摆角单摆质量单摆摆长根据牛顿第二定律：将非线性项在附近用泰勒级数展开，当很小时，可忽略高次项，得到近似的线性化方程：单摆的微分方程数学模型：2.2数学模型的线性化NJUSTZJ不抛弃，不放弃解：由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66.求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有：因此，线性化方程式为：

z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=5×10=50由线性化方程求得的z值为z=11x+6y－66=55+60-66=49因此，误差为50-49=1，表示成百分数

试把非线性方程z=xy在区域5≤x≤7、10≤y≤12上线性化，并用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。2.2数学模型的线性化NJUSTZJ不抛弃，不放弃

系统线性化过程中，需注意的地方：(1)线性化是相应于某一额定工作点的，工作点不同，则所得的方程系数也往往不同。

(2)变量的偏移愈小，则线性化精度愈高。(3)增量方程中可认为其初始条件为零，即广义坐标原点平移到额定工作点处。

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