定弦定角（隐圆压轴四）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》（人教版）

专题4.7定弦定角解题技巧：构造隐圆定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径【典例1】如图，已知矩形ABCD．（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹；（2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹；（3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹．【解答】解：（1）如图，作等腰直角三角形AOB，使∠AOB＝90°，以O为圆心，OA为半径画圆，则即为所求；（2）如图，以AB为直径作圆，则即为所求（不与A、B重合）；（3）如图，作等腰△AOB，使∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径画圆，则即为所求（不与A、B重合）；．【变式1-1】（秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，∵OC＝＝＝2，∴PC的最小值为2﹣4，故选：C．【变式1-2】如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝AE，又∵正方形ABCD中，AB＝2，∴AD＝AB，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF．∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠FAD+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接DG交弧于点P，此时DP的长度最小，AG＝BG＝AB＝1．在Rt△BCG中，DG＝＝＝，∵PG＝AG＝1，∴DP＝DG﹣PG＝﹣1即线段DP的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．【变式1-3】（广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABM＝60°，∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，∴BM＝CN，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∴∠ABP+∠CBN＝60°，∴∠ABP+∠BAM＝60°，∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，∴点P在弧AB上运动，∴当＝时，△PAB的面积最大，最大值＝×2×1＝，故选：D．【变式1-4】（宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（）A． B．2 C． D．【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠CBP＝90°，∵∠CBP＝∠BAD，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠ADB＝90°，取AB的中点E，连接DE，CE，∴DE＝AB＝4，∴OC＝OB＝4，∵CD≥CE﹣DE，∴CD的最小值为4﹣4，故选：D【变式1-5】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3 B．1+ C．1+3 D．1+【答案】D【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值为1+，故选：D．【典例2】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C． D．4﹣3【答案】A【解答】解：连接CD，则∠PDC＝∠PAC＝∠ACB＝45°，∠BDC＝135°∵BC＝4，∴点D在以BC为弦的一段圆弧上运动，圆心角为90°，设圆心为O，连接BO、CO、DO，则△BCO为等腰直角三角形，∴CO＝4，∠BCO＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠ACO＝90°，∴AO＝＝＝5，∴AD≥AO﹣DO＝5﹣4＝1（当且仅当D是AF与圆弧的交点时取等号），∴线段AD的长的最小值为1，故选：A．【变式2-1】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．【答案】2﹣2【解答】解：连接AE，如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．【变式2-1】如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（）A．2﹣2 B． C．4 D．2【答案】A【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．∵∠BPE＝∠EOB，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AE：EB＝1：2，∴BE＝2，∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，∴OQ＝1，OE＝2，∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，∴四边形AQOJ是矩形，∴AJ＝OQ＝1，JO＝AQ＝2，∵AD＝5，∴DJ＝AD﹣AJ＝4，∴OD＝＝＝2，∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，故选：A．【变式2-2】（柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为．【答案】1【解答】解：∵CD＝AE，∴BD＝CE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，∵∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴OC＝AC÷cos30°＝2，OA＝OC＝1，∴OP＝1，∵PC≥OC﹣OP，∴PC≥1，∴PC的最小值为1．【变式2-3】【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为．【答案】【问题原型】（1）∠A的度数不发生变化，理由见解析；（2）2；【问题拓展】．【解答】解：【问题原型】（1）∠A的度数不发生变化，理由如下：∵，∠BOC＝90°，∴；（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，根据勾股定理，得OB2+OC2＝BC2，∵OB＝OC，∴，∴，即AC的最大值为；【问题拓展】如图，画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，则ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，∴OB＝，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN＝AC，∴AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝，∴MN最大值为，故答案为：．【变式2-4】（灌南县校级月考）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：下面让我们一起尝试去解决：（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是．（3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？【解答】解：（1）如图1中，∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故答案为2；（2）如图2中，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：﹣1；（3）如图3中，∵EF＝2，点G为EF的中点，∴DG＝1，∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；∵AB＝2，AD＝3，∴AA′＝4，∴A′D＝5，∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，∴PA+PG的最小值为4，【变式2-5】（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为．【答案】1【解答】解：∵＝，∴∠ACB＝∠CDP．∵∠ACB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，∴点D在以BC为弦，∠BDC＝135°的圆弧上运动，如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，∴∠BMC＝90°，∵BM＝CM，∴△BMC为等腰直角三角形，∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，∵∠ACB＝45°，∴∠ACM＝90°，∴AM＝＝＝5，∴当A、D、M三点共线时，AD最小，此时，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．故答案为：1．【典例3】如图，⊙O半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A．6 B．9 C．6 D．9【答案】B【解答】解：连接OA、OB，作△ABC的外接圆⊙D，如图1，∵OA＝OB＝6，AB＝6，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝6，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝9，∴△ABC的最大面积为9．故选：B．【变式3-1】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：连接OA、OB，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的面积最大，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，作△ABC的外接圆D，当点C在优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故选：D【变式3-2】如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为．【答案】9+9【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，则BH＝HC，由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，∴OB＝OC＝BC＝3，OH＝BC＝3，当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，由题意可知，BC边上的高的最大值为：3+3，∴△ABC面积的最大值为：×6×（3+3）＝9+9，故答案为：9+9．【变式3-3】问题提出（1）如图①，已知△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为；问题探究（2）如图②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD，其宽AB＝20米，长BC＝24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB＝45°，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）9；（3）存在，MC的长度为8米或12米．【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴BD＝1，∴AD＝＝，∴△ABC的面积为×2×＝，故答案为：；（2）作△ABC的外接圆⊙O，∵∠BAC＝120°，BC＝6，∴点A在上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，∴∠BOA'＝60°，BH＝CH＝3，∴OH＝3，OB＝6，∴A'H＝OA'﹣OH＝6﹣3＝3，∴△ABC的最大面积为×6×3＝9；（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB＝20米，∴AH＝OH＝10米，OA＝10米，∵BC＝24米，∴OG＝14米，∵10＞14，∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，∴⊙O上存在点M，满足∠AMB＝45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，∴EF＝OH＝10米，OM1＝10米，∴EM1＝14米，∴OE＝＝2米，∴CM1＝BF＝8米，同理CM2＝BH+OE＝10+2＝12（米），∴MC的长度为8米或12米．【变式3-4】（1）如图1，线段AB的长为4，请你作出一个以AB为斜边且面积最大的直角三角形ABC．（2）如图2，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝4，BC＝2，请你求出四边形ABCD的面积．问题解决：（3）小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这种材料板的形状如图3所示，并且满足在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，DB＝4，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，画法：以AB为直径画圆O，当点C位于半圆的中点时，直角△ABC的面积最大；（2）如图2，连接AC，过C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，在Rt△BCH中，∵BC＝2，∠CBH＝180°﹣120°＝60°，∴∠BCH＝30°，∴BH＝BC＝1，HC＝＝，∴AH＝AB+BH＝4+1＝5，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2＝52+（）2＝28，∴S△ABC＝AB•CH＝×4×＝2，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴S△ADC＝AC2＝×28＝7，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝2+7＝9；（3）能，如图3，连接AC，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ADC是等边三角形，将△BDC绕点D顺时针旋转60°得△HDA，连接BH，则BD＝DH＝4，∠HDB＝60°，∴△HDB是等边三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝S△BDH﹣S△ABH，∵BD＝4，是定值，∴S△BDH是定值，∴当△ABH的面积最大时，四边形ABCD的面积最小，∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣75°