卷05（海南卷）-2021届高考数学冲刺模拟测试卷（解析版）

卷05（海南卷数学）-2021届高考数学冲刺模拟测试卷

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题

卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求的）

L设集合A={x|0<%244},8={x[x>-l},则AB=()

A.(-1,2]B.(—1,0)50,2]

C.[-2,+oo)D.(-1,0)(0,2)

【答案】B

【解析】

【分析】

解不等式0＜一44得到集合A,进而可求出交集.

【详解】

A={X|0<X2<4}={X|-2<X<2,JU^0).又8=卜打)一1},

/.A(~\B={x|—1<x<2,JLx^O}.

故选B

【点睛】

本题主要考查集合的交集，熟记概念即可,属于基础题型.

l-2z

2.-------)

1+z

A.」+当31.13.

B.C.-----------1D.-------z

22222222

【答案】D

【分析】

根据复数的除法运算法则，直接计算即可得出结果.

【详解】

l-2z-l-3z13.

z=---------------=---------1.

1+z222

故选D

【点睛】

本题主要考查复数的除法，熟记运算法则即可，属于基础题型.

'x-y+2N0

3.已知x,y满足不等式组<2x+y-2W0则目标函数z=x+3y的最大值为

y>0

A.-2B.1C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

jz

由图可知，当直线y=x+过A(0,2)时,

33

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6.

故选C.

【点睛】

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

2

x+1x<0

4.已知函数，(x)二.';，若/(x)=5,则x的值是().

一2羽x>0

A.-2B.2或一*C.2或-2D.2或-2或一之

22

【答案】A

【分析】

对x分xWO,x〉0两种情况讨论，即可得解.

【详解】

当xWO时，令y=5,得f+i=5，

解得x=-2或x=2,又xWO,所以x=-2：

当x>0时，令y=5,得—2x=5,解得x=-g,不合题意舍去.

综上所述，x=-2.

故选：A.

5.已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是由边长为2的正方形和半径为1的半圆

2*—

俯视图

c2万_71,71„7t

A.8-\---B.8H—C.44—D.8H—

3633

【答案】D

【解析】

【分析】

由三视图可知几何体为半圆锥与正方体的组合体，利用体积公式，即可得出结论.

【详解】

由三视图可知几何体为半圆锥与正方体的组合体，

11jr

V=23+-X-X^-X12X2=8+-,

233

故选:D.

【点睛】

本题考查了常见几何体的三视图与体积计算，属于基础题.

2222

6.已知双曲线上一匕=1的焦点与椭圆工+匕=1的焦点相同，则双曲线的离心率

a262

为()

历

A.—B.y/2C.y/3D.2

2

【答案】B

【解析】

根据椭圆三+二=1可以知焦点为(±2,()),.•.c=V^+2n2=V^+2=a=2,

62

离心率e=；==&,故选B.

C.(~℃,2)(2,-t-oo)D.—1)<J(1,5]

【答案】D

【解析】

分析：先根据程序框图得f(x)解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结

4

果.

X2,X<2

详解：因为/(x)=,2x-3,2<xW5,所以由得

a<2_^[2<a<5

2或-或<1

a~>12a—3〉1—>1

、a

所以a<-1或1<a<2或2<a<5:.a<一1或1<a<5,

因此选D.

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的

相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、

循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

x,x<0

8.已知函数««)=<2八若函数g(X)=/(X)—,7?有三个不同的零点，则实数机的

x—x,x>0

取值范围为()

11

A.,1]B.I-T-0

11

C.0)D.0]

44

【答案】C

【解析】

试题分析：函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点，

等价于函数y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点，

作出函数f(x)的图象如图：

由二次函数的知识可知，当x=L时，抛物线取最低点为-,，

24

函数y=m的图象为水平的直线，由图象可知当me(-',0)时,

4

两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点

考点：分段函数的应用

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9.若a,b,C为实数，则下列命题正确的是（）

A.若ac?>，贝B.若“<6<0,则/<匕2

C.若a〉人〉0,则D.若a<8<0,c>d>0,则而

ab

【答案】ACD

【分析】

根据不等式的性质判断.

【详解】

解：对于A,若收2〉从2,则”>〃，故正确；

对于8,根据不等式的性质，若。<8<（）,则/>/,故错误；

对于C,若a>b>0,则一~>—-,U|J—>一,故正确；

ababba

对于力，若a<0<0,c>d>0,WO-c>-d>0,-ac>-bd,则ac</?d,故正

确.

故选：ACD.

10.设A,8是抛物线y=V上的两点，。是坐标原点，下列结论成立的是（）

A.若QAJ.O3,则|3||烟22

B.若。4_LO3,直线A8过定点（1,0）

C.若。4_LQB,。到直线AB的距离不大于1

D.若直线A8过抛物线的焦点尸，且|AF|=g,则|8加=1

【答案】ACD

【分析】

设直线AB方程为y=kx+b,将直线AB方程代入抛物线方程y=x2,利用韦达定理，

结合直线垂直的条件，逐一分析判断得解.

【详解】

B.设直线方程为'="+/，，4（百，%），8（%,%），

将直线AB方程代入抛物线方程y=x2,得了2一6—8=o,

6

则玉+X,=k,XyX2=-b,

OAJ_OB,k0Ak0B=-b=-\,h-\.

于是直线A8方程为y=Ax+l,该直线过定点(0,1).故3不正确；

C.0到直线AB的距离d=-7==,,1,即。正确；

^.\OA\\OB\=4片+短)(%2+%2)==J(l+「2)(l+%2)

=Jl+*2+/2+.2/2=J2+X；+,2=q4+(%+%2)・•[I]。8|・.2正确；

D.由题得必+<=:，;.x=《,所以」-=x：,...x=±立，不妨取x=@

431212,66

j__2

所以女=%£=-g，所以直线AB的方程为y=—正大+工，所以6=1.

<33J344

6

由题得I|=%+；+%+；=

1114

3223

41

所以|8尸|=§—,=1.所以D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查了宜线与抛物线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的

计算能力.解题的关键是灵活利用韦达定理和抛物线的定义.

H.如图所示，已知正方体ABC。—44G2,E,尸分别是。乃，4。上不重合的

两个动点，下列四个结论中正确的是（)

B.平面AFD//平面

C.ABJEFD.平面AEQJ_平面AB4A

【答案】CD

【分析】

由题意画出图形，利用两直线平行，同旁内角互补判断A；取特殊位置判断B；利用线

面垂直的判定与性质判断C；由面面垂直的判定判D.

【详解】

解：A：如图，

在。8.AC上分别取点E,F,

ABCD-AB£DI为正方体，则四边形ABC1为矩形,

NFRC+NECD]<幺叩+/BCR=180°.CE与4P不平行，故A错误；

B：不妨取产与4重合，E与。重合，此时平而AFD亏平面4EG相交，故B错误;

C：AB]上BC,且ABIBC=B,则_L平面4]。。，

则A4_L£7'故C正确；

D：AOL平面A64A，而ADu平面AEO,则平面AEO1.平面ABgA，故D正

确.

故选：CD.

【点睛】

结合正方体，本题考查线线平行与垂直的判定，面面平行与垂直的判定；线线平行与垂

直的判定，面面平行与垂直的判定是高考考查的重点；本题是基础题.

12.高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯

函数''为：设xeR,用[可表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：

[-2.3]=-3,[15.31]=15.已知函数/⑺—G（x）=[/（x）],则下列

说法正确的有（）

A.G（x）是偶函数B.G（x）的值域是{—1,0}

C.“X）是奇函数D.“X）在R上是增函数

8

【答案】BCD

【分析】

根据G(l)wG(-1)知A错误；利用分式值域的求法可求得了(x)e(—进而根

据高斯函数定义可知G(x)的值域,知B正确;化简得到〃T)+/(X)=0知C正确；

根据单调性的性质可推导得到。正确.

【详解】

对于A,G6=[/(l)]=[,=0,G(-l)=[/(-l)]==T，

.•.G(l)wG(—l),「.Ga)不是偶函数，A错误；

对于5，/(x)=———-=-———,

I71+2，221+2,

2*>0，/.1+2'>1.<1,J,

当时，G(x)=[/(x)]=-1,当”x)e0，g)时，

G(x)=[/3]=。，

••.G(x)的值域是{-1,0},8正确;

对于“(T)+〃尤)=；-六+宗£=1-普=0,,〃x)为奇函数,

1H-----

2X

C正确；

对于y=2'在R上单调递增，.•.〉=一1在R上单调递减，

1+2,

，y=g一57在R上单调递增，即/a)在R上是增函数，。正确.

故选：BCD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数新定义的问题，解题关键是明确本题以新定义函数为载体,

考查函数值域、单调性和奇偶性的知识.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知/(X)的导函数为尸(X),且满足关系式/(》)=3^'(2)+111%,则/«)的值

为一

【答案】V

4

【分析】

】根据导数的计算公式求出了'（X）,令x=2可得八2）=-；，

然后把x=l代入即可.

【详解】

由〃x）=3矿（2）+lnx,可得：/'（x）=3/'（2）+：,

••./'（2）=3/（2）+：,解得：/'（2）=—；

•••/⑴=3/（2）+1=；.

故答案为7

4

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，属基础题.

14.若点尸（1,1）为圆f+y2-6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为

【答案】1=0

【解析】

试题分析：因为P（l，1）为圆V+y2—6x=0的弦MN的中点，所以圆心坐标为（3,0）,

32=-第=2，MN所在直线方程为y—1=2（%—1）,化简为2x—y-1=0,故

答案为2x—y-l=0.

考点：1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.

15.已知函数/（力=45m（的+0）（4>0,0>>0,刨<]）的图象与丫轴的交点为

它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（尤o,2）和（%+2],一2）则

小）=

10

Ijr

【答案】/（x）=2sin（-x+-）

26

【解析】

2万11Ji

试题分析：由题意丁=4%，A=2,C0=—=-,乂（p『,sin^=-,。=一，

T226

c171

所以/Cr）=2sing无+”）.

26

考点：三角函数的图象与解析式.

16.在三棱锥A—BCD中，侧棱AB、AC.AZ）两两垂直，A4BC,AAC£>,A4DB的

历c%

面积分别为注，巨,丝，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为

222

【答案】屈兀

【解析】

试题分析：三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC.AD两两垂直，补成长方体，两者的

外接球是同一个，氏方体的对角线就是球的宜彳仝，设长方体的三边为仇c,则由题意

得

ab-y[6,ac-y/3,bc-y[2,,解得a=V5,Z?=V^,c=l,

所以球的直径为J3+2+1=R,所以球的半径为吆，

2

所以三棱锥4—BCD的外接球的体积为士万>（逅）3=C万，故填：任兀.

32

考点：球与几何体

【方法点睛】球与几何体的问题，属于中档题型，当条件为三棱锥有同一顶点的三条棱

两两垂直时，可联想到长方体，这样的三棱锥就是长方体的一部分，如图所示，此时三

棱锥的外接球就是长方体的外接球，而长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，

（2R）2^a2+b2+c2.

四、解答题（本题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题12分。解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.如图，在ABC中，AO是NBAC的角平分线，8D=5,AB=7,ADB=\20°.

RD

(1)求的长；(2)求AOC的面积.

【答案】(1)A£)=3；(2)

32

【解析】

【分析】

(1)在△AD5中，应用余弦定理即可求AD的长；(2)设NB4£>=NC4。=6,由

正弦定理求。余弦值；法一：由两角和正弦公式求sinC,正弦定理求AC,结合三角

形面积公式即可求ADC的面积；法二：山S/=S谢+SA。。，结合三角形面积

公式先求AC,再求AOC的面积；

【详解】

(1)在aAOB中，应用余弦定理可得:

AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB,代入数据可得+54。-24=0,解

得4)=一8(舍)或AO=3.

(2)在△AOB中，设NBA。=NC4O=6,

BDAB>可得sin0=5"，则彳1cos0=—.

应用正弦定理可得

sin。sinZADB1414

解法一：在AOC中，sinC=sin(9+NAZ)C),其中NAOC=60。，有

46

)

sinC=sin(6+N4£C)不

可得」^二段

由正弦定理,,可得AC=—

sinZADCsinC8

145J3

故S/\AQC=—XxACxsin

解法二：由题意知：S^=SABD+SADC1即

-ABADsm0+-ACADsin0=-AB-ACsm20,得

222

21

21+3AC=14AC・cos8,化简可得AC=—.

8

12

I45、/3

故S/\A比=—xADxACxsin^=

【点睛】

本题考查了正余弦定理,正弦定理的边角关系、余弦定理求边，结合了两角和正弦公式、

三角面积公式，属于基础题.

18.在数列｛《,｝,色｝中，4=/=1,a”.=3an-b„-3n-l,bn+i=3bti-an+3〃+1.

等差数列｛%｝的前两项依次为生，瓦.

(1)求匕｝的通项公式；

(2)求数列｛(%+勿)q,｝的前〃项和S„.

【答案】(I)c„=8«-10(2)Sn=(4〃-9)2m+36

【分析】

(1)根据递推公式计算为=-2,4=6,利用等差数列公式计算得到答案.

⑵将题目中两式相加得到％=2(%+勿)，故｛%+2｝是首项为2,公比为

2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.

【详解】

(1)：q=4=1,二%=-2,b2=6,则｛qj的公差为〃=6-(—2)=8

故｛%｝的通项公式为£,=—2+8(〃-1)=8〃—10.

(2)an+l=3an-bn-3n-l,①

%=3包-4+3〃+1，②

①+②得%+%=2(。“+〃).

又q+々=2,从而｛%+2｝是首项为2,公比为2的等比数列，

故4+d=2".(q,+2)c,=(8〃-10)2"

2

5,,=-2X2+6X2++(8〃-10)2”,

2S„=-2X22+6X23++(8〃—1())2"T,

S„-2S„=-4+8(22+23++2")—(8〃—10)2向，

n+ln+1n+I

即-Sn=-4+8(2-4)-(8n-l0)2=(18-8n)2-36,

即S“=（4〃-9）2"2+36.

【点睛】

本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到4m+〃源=2（4+么）是解题的关键.

19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，

应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华

人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款

50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”

行为统计数据：

月份12345

违章驾驶员人数1201051009085

（1）请利用所给数据求违章人数y与月份》之间的回归直线方程§=甚+%；

（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；

（3）若从表中3、4月份分别抽取4人和2人，然后再从中任选2人进行交规调查，

求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.

EX^-nxy力1,一尤）（凹一V）

参考公式：T——h=口——%=5-限

Xx/-nx

i=li=l

7

【答案】（1）y=—8.5x+125.5；（2）49人;（3）P=—.

【解析】

试题分析：（1）计算亍，区利用公式解得A,a^y-bx,从而得解；

（2）将x=9代入回归方程即可；

（3）设3月份抽取的4位驾驶员编号分别为q,%,4,4，4月份的驾驶员编号分别为

片列出所有基本事件，利用古典概型计算公式求解即可.

试题解析：

（1）由表中数据知，元=3*,=100,

.r_V-_1415-1500

••cz——=-8.5,a=y-bx=\25.5<

v-1n?—755-45

所求回归直线方程为$=-8.5x+125.5.

14

（2）由（1）知，令x=9,则#=-8.5x9+125.5=49人.

（3）设3月份抽取的4位驾驶员编号分别为q,4,《，/，4月份的驾驶员编号分别为

耳坊.从这6人中任选两人包含以下基本事件

（4,4）,（4，4）,（4，。4），（4，4），（4也），3，%），3，。4），3,6），3也），（生，4），（生，4）

.（&也）,（4力）,（%也），（乙也），共15个基本事件；其中两个恰好来自同一月份的包

含7个基本事件，

7

.♦.所求概率为2=石.

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法

⑴列举法.

（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对「基本事件有“有序”与”无

序”区别的题目，常采用树状图法.

（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的

题目具体化.

（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

20.如图，在三棱柱ABC—AgG中，BCG为正三角形，AC1BC,AC=BC=2,

AC=2近,点P在线段8耳的中点，点Q为线段4G的中点.

（1）在线段AA上是否存在点M,使得G/〃平面AR2?若存在，指出点/的位

置；若不存在，请说明理由.

（2）求三棱锥A—ACP的体积.

【答案】（1）存在线段A4的中点M满足题意，理由见解析；（2）2回.

3

【分析】

（1）由点P为线段34的中点，点Q为线段BC的中点，可得BCJ/PQ,得到C、BH平

面APQ,取A4的中点得8M〃PA，同理BM〃平面-AP。，再由面面平行的判

定可得平面C\BMM平面AtPQ,进一步得到C[MH平面\PQ；

（2）由已知求解三角形证明Agj■平面sec4,得到AG，。/，求出三角形

AG。的面积，再由棱锥体积公式求三棱锥A-A6尸的体积.

【详解】

（1）存在线段AA的中点〃满足题意

证明如下：

因为点P为线段的中点，。为4c的中点，所以BCJ/PQ，

又GBa平面APQ，PQu平面4PQ,所以GB〃平面4尸Q.

取A&中点M,连接，C.M,则BMHPA,

同理BM//平面AfPQ.

又QB=M，所以平面GBM//平面4PQ.

又平面GBM,所以GM〃平面APQ.

（2）由QSJ=2,5C£为正三角形，及棱柱知BB]J为正三角形，CF工BB「

C[PtCC[,CC1=2,C]P=6

因为AG=2&，所以AC12=AC2+CC;,

所以AC_LC£,所以AG_LC£,

又CP所以eq，平面AGP.

因为MCC},所以A4,，平面AGP.

又AC_LBC,所以4cl_L4G，

因为4GCCG=G，所以AG，平面

又G?u平面8CG4,所以AG_LGP,

所以SAAGP=gAC/GP=gx2x6=6,

=

所以%-ACp—-S^ACP=—x2xV3=2出■

/i|V|/3IZA/1|C|r3V3

16

c,

【点睛】

本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的

求法，属于中档题.

22W

21.椭圆C：=+与=1（。＞。＞0）的左、右焦点分别是耳，F2,离心率为左，过耳

ab2

且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,A,B为椭圆C上的两点，。为坐标原

点，设直线OA,OB,AB的斜率分别为即A.

（1）求椭圆C的方程；

（2）当A#2—1=匕+%2时，求k的取值范围.

【答案】（I）—+/=1：（2）1-72,-^^U—^,1+42.

4L4JI4J

【解析】

试题分析：（1）依题意有£=且,竺■=1，结合储=从+。2,解得。=2/=1,椭

a2a

圆方程为亍+/=1；（2）设点火）,直线AB的方程为丁=丘+力，联

立宜线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系.由仁+占=《七一1得

%2乂=乂必一工1工2，化简上式得匕2=一1/+|/：+g,根据＜16女2一8攵-1〉0

-k2+2k+l>0

解得〃范围.

试题解析：

（1）由于（?2=。2一62,e=—=—9:.a=2b

a2

又过耳且垂直于X轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,所以将X=-C,y=g代入椭

22

圆方程上%=1（〃〉/?>0）,

y,

.•・椭圆c的方程为：—+/=1

4-

(2)设点4(石，%),3(%2，%)，直线AB的方程为^=依+。

X2_.

V+＞，=1,消去y得（1+4公卜2+8%0X+402-4=0

Iy-kx+b

8kb4/-4

x,+x=---；—,x,x=―:——

12-4公+1J24P+1

X1%=]

由4+&=£&_1得:即尤2,+王%=,必一玉工2

X]x2x]x2

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