排列与组合的概念及应用

第12.2节排列与组合的概念及应用【知识梳理】1.排列、组合的定义2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_________的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_________的个数不同排列不同组合n!1【常用结论】排列与组合的区别排列组合排列与顺序有关组合与顺序无关两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同两个组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同考点一排列的应用1.(2018·潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. (

)(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(

)(3)(n+2)(n+1) (

)(4) (

)(5)(n+1)!-n!=n·n! (

)

2.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里,其中A,B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里,且均不能试种在两端的试验田里,则不同的试种方法数为 (

)A.12

B.24

C.36

D.483.将5名学生分到A,B,C三个宿舍,每个宿舍至少1人,至多2人,其中学生甲不到A宿舍的不同分法是(

)A.18种 B.36种 C.48种 D.60种题组二:走进教材1.(选修2-3P27T7改编)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,除第1个节目和最后1个节目已确定外,还有4个音乐节目,3个舞蹈节目,2个曲艺节目,且3个舞蹈节目要求不能相邻,2个曲艺节目出场前后顺序已定,共有________种不同排法.

【解析】先把4个音乐节目,2个曲艺节目,进行全排,且2个曲艺节目出场前后顺序已定,形成了7个空,选3个,把舞蹈节目插入,故有=75600.答案:756002.(选修2-3P28T17改编)在100件产品中,有2件次品,从中任取3件,其中至少有1件次品的抽法有_____种.

【解析】方法一:第1类,“只有1件次品”,共有种;第2类,“有2件次品”,共有种,由分类加法计数原理知共有+=9604(种).方法二:无任何限制共有种,其中“没有次品”共有种,则“至少有1件次品”共有-=9604(种).答案:9604考点一排列的应用【题组练透】1.(2018·潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有(

)A.120种 B.156种C.188种 D.240种【解析】选A.当“数”排在第一节时有=48(种)排法,当“数”排在第二节时有=36(种)排法,当“数”排在第三节时,当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有

=12(种)排法,当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有=24(种)排法,所以满足条件的共有48+36+12+24=120(种)排法.2.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.

【解析】记5件产品为A、B、C、D、E,A、B相邻视为一个元素,先与D、E排列,有种方法;再将C插入,仅有3个空位可选,故共有×3=2×6×3=36(种)不同的摆法.答案:363.八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有________种安排办法.

【解析】方法一:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用分类加法计数原理,在每类情况下,划分“乙丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步乘法计数原理,这样可有如下算法:=8640(种).方法二:采取“总方法数减去不符合题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”,这个数目是

.在这种前提下,不合题意的方法是“甲坐第一排,且乙、丙坐两排的八人坐法.”这个数目是

.其中第一个因数表示甲坐在第一排的方法数,表示从乙、丙中任选出一人的方法数,表示把选出的这个人安排在第一排的方法数,下一个则表示乙、丙中未安排的那个人坐在第二排的方法数,就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为

=8640(种).答案:86404.5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有________种不同站法.

【解析】首先可让5位姐姐站成一圈,属圆排列有种,然后再让妹妹插入其间,每位均可插入其姐姐的左边和右边,有25种方式,故不同站法有·25=768种.答案:768【规律方法】

1.求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理,即可以把相邻几个元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中除法对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以已定元素的全排列间接法对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化的方法2.圆排列问题把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时针)不同的排法才算不同的排列,如下列n个普通排列:a1,a2,a3,…,an;a2,a3,a4,…,an,a1;…;an,a1,…,an-1;在圆排列中只算一种,所以n个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成线排,其他的n-1个元素全排列.考点二组合的应用【典例】(1)从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有 (

)A.140种B.80种C.70种D.35种(2)(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)

(3)四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有________种. 世纪金榜导学号

【解析】(1)选C.至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的取法有=70种.【一题多解微课】解决本题(1)还可以采用以下方法:选C.至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有=70种.(2)方法一:根据题意,没有女生入选有=4种选法,从6名学生中任意选3人有=20种选法,故至少有1位女生入选的选法共有20-4=16种.方法二:恰有1位女生,有=12种,恰有2位女生,有=4种,所以不同的选法共有12+4=16种.答案:16(3)10个点中任取4个点共有种,其中四点共面的有三种情况:①在四面体的四个面上,每面内四点共面的情况为,四个面共有4个;②过四面体各棱中点的平行四边形共3个;③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是-3-6=141(种).答案:141

【互动探究】在本例(1)条件下,任取3台,其中甲型电视机至多两台,则不同的取法共有多少种?【解析】可分三种情况:甲型2台乙型1台;甲型1台乙型2台;甲型0台乙型3台;故不同的取法有

=80(种).【规律方法】两类含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法求解.【对点训练】1.某军医大学组成的7名医疗小组(含甲乙)赴沂蒙山区开展对口支援工作.现将这7名医生分成三个医疗小组,一组3人,另两组每组各2人,则甲乙不分在同一组的分法有 (

)A.80种B.90种C.25种D.120种【解析】选A.除甲乙外的5人分三组,1人、2人、2人和1人、1人、3人两种类型.1人、2人、2人的方法是

=15;1人、1人、3人的类型方法是;对于1人、2人、2人类型:甲乙二人必有一人进三组中的1人组,另一人进另两组,方法是=60.对于1人、1人、3人的类型:甲乙二人都进一人组,方法是

=20.所以总方法有60+20=80(种).2.本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传,学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解,甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的,则不同的选法共有 (

)A.330种 B.420种 C.510种 D.600种【解析】选A.分以下三种情况:(1)甲1,乙1,丙1,方法数有=60;(2)甲2,乙1,丙1;或甲1,乙2,丙1;或甲1,乙1,丙2方法数有3×=180;(3)甲2,乙2,丙1;或甲1,乙2,丙2;或甲2,乙1,丙2方法数有3×=90.所以总的方法数有60+180+90=330(种).3.现有12张不同的扑克牌,其中红桃、方片、黑桃、梅花各3张,现从中任取3张,要求这3张牌不能是同一种且黑桃至多一张,则不同的取法种数为________.

【解析】分两种情况:含有一张黑桃的不同取法有

=108(种),不含黑桃时,有=81(种)不同的取法.故共有108+81=189(种)不同的取法.答案:189考点三排列组合的综合问题【明考点·知考法】

排列组合的综合问题作为考查数学应用意识的最佳载体,在高考题中经常出现,试题常以选择题、填空题的形式出现,考查排列、组合模型在计数问题中的灵活应用.解题过程中常渗透分类讨论思想.命题角度1数字问题【典例】(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

【解析】分类讨论:第一类:不含0的,按照分步乘法计数原理:

=10×3×24=720;第二类:包含0的,按照分步乘法计数原理:

=10×3×3×6=540,所以一共有1260个没有重复数字的四位数.答案:1260【状元笔记】用排列组合解数字问题的三个关注点(1)明确数字与编号的区别.(2)关注题目条件对数字的特殊要求.(3)适当分类先选后排.命题角度2涂色问题【典例】用五种不同的颜色给三棱柱ABC﹣DEF六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有________种(用数字作答). 世纪金榜导学号

【解析】分两步来进行,先涂A,B,C,再涂D,E,F.①若5种颜色都用上,先涂A,B,C,方法有种;再涂D,E,F中的两个点,方法有种,最后剩余的一个点只有2种涂法,故此时方法共有×2=720(种).②若5种颜色只用4种,首先选出4种颜色,方法有种;先涂A,B,C,方法有种;再涂D,E,F中的1个点,方法有3种,最后剩余的两个点只有3种涂法,故此时方法共有

×3×3=1080(种).③若5种颜色只用3种,首先选出3种颜色,方法有种;先涂A,B,C,方法有种;再涂D,E,F,方法有2种,故此时方法共有·×2=120(种).综上可得,不同涂色方案共有720+1080+120=1920(种).答案:1920【状元笔记】解答涂色问题的三个常用策略(1)根据分步乘法计数原理,对各个区域分步涂色.(2)根据共用了多少种颜色讨论.(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.命题角度3分组分配问题【典例】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本.(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本.(3)平均分成三份,每份2本.(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本.(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本.(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 世纪金榜导学号

【解析】(1)先选1本,有种选法;再从余下的5本中选2本,有种选法;最后余下3本全选,有种选法.故共有=60(种).(2)由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有=360(种).(3)先分三步,则应是种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有种情况,而这种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有=15(种).(4)在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式=90(种).(5)共有=15(种).(6)在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式=90(种).(7)甲选1本,有种方法;乙从余下的5本中选1本,有种方法,余下4本留给丙,有种方法,故共有分配方式=30(种).

【互动探究】本例条件下,计算“分给甲、乙、丙三人,每人至少1本”有多少种不同的选法?【解析】可以分为三类情况:①“2、2、2型”,有

=90种方法;②“1、2、3型”,有=360(种)方法;③“1、1、4型”,有=90种方法,所以,一共有90+360+90=540(种)方法.【状元笔记】均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数,还要充分考虑到是否与顺序有关;有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.【对点练·找规律】1.某学校为了更好地培养尖子生,使其全面发展,决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”,要求每名教师的“包教”学生不超过2人,则不同的“包教”方案有 (

)A.90 B.60 C.150 D.120【解析】选A.由题知,第1步,将5个学生分成2,2,1三组的不同方法数有种,第2步,将3组学生分配给3位老师的不同方法数为,根据分步乘法计数原理,不同的“包教”方案有=90(种).2.用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有________种(用数字作答).

【解析】因为图中每条线段的两个端点涂不同颜色,所以可按所涂的颜色来分类.BDEF用四种颜色,则有×1×1=24(种)涂法,BDEF用三种颜色,则有×2×2+×2×1×2=192(种)涂法,BDEF用两种颜色,则有×2×2=48(种)涂法,由分类加法计数原理有24+192+48=264(种).答案:2643.(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个.(用数字作答)

【解析】分两种情况:第一种:四位数都不是偶数的个数为:=120,第二种:四位数中有一位为偶数的个数为=960,则共有1080个.答案:1080数学能力系列28——排列组合问题中的应用意识【能力诠释】应用意识是指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决相关学科、生产、生活中的简单的数学