4.4 对数函数（精练）-2022版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册）（教师版含解析）

4.4对数函数【题组一对数函数的概念辨析】1．(2020·全国高一课时练习)下列函数是对数函数的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.故选D2．(2020·全国高一课时练习)已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为()A．－2 B．2 C． D．－【答案】B【解析】函数的图象过点，则故选3．(2019·北京高二学业考试)如果函数(且)的图象经过点，那么的值为()A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】因为图象经过点，所以，所以且且，解得：，故选：C.4．(2020·北京市第二中学分校高一课时练习)下列函数是对数函数的是()A．y＝log3(x＋1) B．y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)C．y＝logax2(a>0，且a≠1) D．y＝lnx【答案】D【解析】形如的函数为对数函数，只有D满足.故选D.5．(2019·全国高一课时练习)已知对数函数，则______。【答案】2【解析】由对数函数的定义，可得，解得。故答案为：．【题组二单调性(区间)】1．(2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末(文))函数的单调递增区间为()A． B．C． D．【答案】C【解析】设，可得函数在单调递减，在单调递增，又由函数，满足，解得或，根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.故选：C.2．(2019·浙江高一期中)函数的单调递增区间是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增，故选：A3．(2020·荆州市北门中学高一期末)已知函数f(x)=ln(–x2–2x+3)，则f(x)的增区间为A．(–∞，–1) B．(–3，–1)C．[–1，+∞) D．[–1，1)【答案】B【解析】由，得,当时，函数单调递增，函数单调递增；当时，函数单调递减，函数单调递减,选B.4．(2018·山西平城·大同一中高一期中)函数在上是增函数，则实数的取值范围是()A．或 B．C． D．【答案】B【解析】，因为在上单调递增，当时，外函数为减函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数不满足题意，当时，外函数为增函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数且，所以满足题意，故选择B．5．(2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中)已知是上的减函数，那么的取值范围是__________.【答案】【解析】因为是上的减函数，所以，解得，故答案为：【题组三定义域和值域】1．(2020·全国高一课时练习)函数的定义域是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由对数函数的定义域只需，解得，所以函数的定义域为.故选：C2．(2020·宁夏兴庆·银川一中高二期末(文))函数的定义域为()A． B． C． D．【答案】D【解析】函数有意义等价于，所以定义域为，故选D.3．(2020·河北石家庄·高二期末)若定义在上的函数的值域为，则的最小值为()A． B． C． D．【答案】C，∴在是单调递减，在上单调递增，，又，由题意，，且和中至少有一个取到．即，，此时，若，则，，∴的最小值是．故选：C．4．(2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他)函数的定义域为__________．【答案】【解析】由题意得，得，解得，所以函数的定义域为，故答案为：5.(1)(2019·广东深圳高中高考模拟(文))函数的值域为________.(2)(2019·河北武邑中学高一期中)若函数.则函数的值域是()A． B． C． D．【答案】(1)(2)A【解析】(1)且值域为：本题正确结果：(2)因为时，；时，所以函数的值域是，故选A.6.(2019·重庆一中高三月考(理))函数的值域为，则实数的取值范围为() B． C． D．(2)已知函数f(x)=(a-1)x+4-2a, x<11+log2x, A.(1,2] B.(－∞，2]C.(0,2] D.[2，＋∞)【答案】(1)D(2)A【解析】(1)若函数的值域为R，故函数y＝ax2+2x+a能取遍所有的正数．当a＝0时符合条件；当a＞0时，应有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故0<a≤1，综上知实数a的取值范围是．故选D.(2)当x≥1时，fx当x＜1时，f(x)=(a-1)x+4-2a必须是增函数，且值域区间的右端点的值大于或等于1，才能满足f(x)的值域为R，可得a-1>0a-1+4-2a⩾1，解得a∈【题组四比较大小】1．(2020·沙坪坝·重庆八中高二期末)已知，，，则有()A． B． C． D．【答案】B【解析】,,而在上单调递增，，，，故选：B2．(2020·江苏南京)设，，，则()A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【答案】C【解析】∵9＞8，∴3＞，故，从而有，故选：C3．(2020·昆明市官渡区第一中学高一月考)已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是()A． B． C． D．【答案】D【解析】由对数函数和指数函数的性质可知，故选：D．4．(2020·广西七星·桂林十八中高三月考(理))若，，，则a，b，c的大小关系为()A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b【答案】B【解析】因为，，，所以c＞a＞b．故选：B．5．(2020·四川三台中学实验学校高二月考(文))已知，，，则()A． B． C． D．【答案】D【解析】,,,故选：D6．(2020·四川三台中学实验学校高二月考(文))设则A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以，那么，所以.7．(2020·湖南省岳阳县第一中学)设，，，则()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，又，∴，因为，所以.故选：B.【题组五解不等式】1．(2020·天水市第一中学)设函数，则使得(1)成立的的取值范围是()A． B．，，C． D．，，【答案】B【解析】根据题意，函数，其定义域为，有，即函数为偶函数，当时，，函数和函数都是，上为增函数，则在，上为增函数，(1)(1)，解可得或，即的取值范围为，，；故选：.2．(2020·福建安溪·高二期末)已知函数为上的偶函数，当时，，则关于的不等式的解集为()．A． B． C． D．【答案】C【解析】由于函数在上为增函数，所以，函数在区间上为增函数，由于函数为上的偶函数，由可得，，可得，解得.因此，关于的不等式的解集为.故选：C.【题组六定点】1．(2020·全国高一课时练习)若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________．【答案】(1，3)【解析】令，则，所以函数过定点.故答案为：.2．(2020·新疆克拉玛依市高级中学高一期末)已知函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是____________.【答案】(2,4)【解析】令x-1=1,得到x=2,把x=2代入函数得，所以定点P的坐标为(2,4).故答案为：(2,4)3．(2020·黑龙江大庆实验中学高二期末)函数且的图象所过定点的坐标是________.【答案】【解析】由可令，解得，所以图象所过定点的坐标是4．函数y=1+loga(x+2)(a＞0且a≠1)图象恒过定点A，则点A的坐标为______．【答案】(-1，1)【解析】由对数函数的性质，令x+2=1可知y=1所以y=1+loga(x+2)(a＞0且a≠1)图象恒过定点A(－1，1)，故答案为：(－1，1).【题组七图像】1．(2020·新疆兵团第二师华山中学)函数与在同一平面直角坐标系下的图像大致是()A． B．C． D．【答案】D【解析】，由指数函数的图象知，将函数的图象向左平移一个单位，即可得到的图象，从而排除选项A,C；将函数的图象向上平移一个单位，即可得到的图象，从而排除选项B，故选D．2．(2019·四川仁寿一中高三其他(文))且)是增函数，那么函数的图象大致是()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵可变形为，若它是增函数，则，，∴为过点(1，0)的减函数，∴为过点(1，0)的增函数，∵图象为图象向左平移1个单位长度，∴图象为过(0，0)点的增函数，故选D．3．(2020·内蒙古集宁一中高三期中(文))若函数的图象如图，则函数的图象为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数单调递减可得，当时，，解得.可知函数，定义域为，值域为，因为，.故选：C.4．(2020·全国)函数的大致图象可能是()A． B．C． D．【答案】D【解析】取，得到，即函数过点，排除A；因为为单调增函数，故在，单调递减，排除BC.故选：D5．(2020·全国高一课时练习)图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】A【解析】由已知中曲线是对数函数的图象，由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，由取，，，四个值，故，，，的值依次为，，，，故选：．【题组八对数函数综合运用】1．(2020·河北邢台·高二期末)已知，函数．(1)当时，解不等式；(2)若对于任意在区间上的最大值与最小值的和不大于1，求m的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，所以，则解得不等式的解集为；(2)由题易知：为增函数，则在区间上的最大值与最小值分别为．对于任意在区间上的最大值与最小值的和不大于1，等价于对于任意恒成立，即对于任意恒成立．设，因为，所以在上单调递增，所以，令，解得．综上，m的取值范围为．2．(2020·通榆县第一中学校高二期末(文))已知．(1)求的定义域；(2)证明：在上为单调递增函数；(3)求在区间上的值域．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【解析】(1)，，，的定义域为，(2)在上为增函数，在上也为增函数，根据复合函数的单调性，在上为单调递增函数；(3)由(2)可知在区间上单调递增，，，，在区间上的值域为．3．(2020·武汉外国语学校高一月考)已知函数(1)若函数的定义域为，求的取值范围；(2)若函数的值域为，求的取值范围.【答案】(1)(2)或【解析】(1)函数的定义域为，对任意的都成立则，解得(2)若函数的值域为，则函数的值域包含则，解得或4．(2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末(理))已知函数.(1)当时,求；(2)求解关于的不等式；(3)若恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)见解析；(3)【解析】(1)当时，(2)由得：或当时，解不等式可得：或当时，解不等式可得：或综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为(3)由得：或①当时，，或，解得：②当时，，或，解得：综上所述：的取值范围为5．(2020·开鲁县第一中学高二期末(文))设f(x)＝loga(1+x)+loga(3﹣x)(a＞0，a≠1)且f(1)＝2．(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间[0,]上的最