山西省忻州市一中2024届高一上数学期末经典试题含解析

山西省忻州市一中2024届高一上数学期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．已知函数，则的概率为A. B.C. D.2．一个球的表面积是，那么这个球的体积为A. B.C. D.3．设，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．设函数,则下列结论错误的是A.函数的值域为 B.函数是奇函数C.是偶函数 D.在定义域上是单调函数5．已知集合A={1,2,3}，集合B={x|x2=x}，则A∪B=（）A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{－1,0,1,2,3}6．“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A.3 B.1C.－1 D.－38．函数图象大致是（）A. B.C. D.9．设全集，集合，则（）A. B.C. D.10．一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为A.24cm3 B.48cm3C.32cm3 D.96cm3二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．__________12．化简：________.13．设函数，若实数满足，且，则的取值范围是_______________________14．已知函数同时满足以下条件：①定义域为；②值域为；③.试写出一个函数解析式___________.15．比较大小：______cos（）三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知函数（1）若在区间上有最小值为，求实数m的值；（2）若时，对任意的，总有，求实数m的取值范围17．若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“罗尔区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）求函数在内的“罗尔区间”；（3）若以函数在定义域所有“罗尔区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.18．（1）设，求与的夹角；（2）设且与的夹角为，求的值.19．已知函数；（1）若，使得成立，求的集合（2）已知函数的图象关于点对称，当时，．若对使得成立，求实数的取值范围20．已知函数为偶函数，当时，，（a为常数).（1）当x<0时，求的解析式：(2)设函数在[0，5]上的最大值为,求的表达式；(3)对于（2)中的，试求满足的所有实数成的取值集合.21．已知函数（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；（2）求使x的取值范围

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、B【解析】由对数的运算法则可得：，当时，脱去符号可得：，解得：，此时；当时，脱去符号可得：，解得：，此时；据此可得：概率空间中的7个数中，大于1的5个数满足题意，由古典概型公式可得，满足题意的概率值：.本题选择B选项.2、B【解析】先求球半径，再求球体积.【详解】因为，所以,选B.【点睛】本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题.3、A【解析】根据充分条件、必要条件的概念求解即可.【详解】因为，所以由，，所以“”是“”成立的充分不必要条件故选：A4、D【解析】根据分段函数的解析式研究函数的单调性，奇偶性，值域，可得结果.【详解】当时，为增函数，所以，当时，为增函数，所以，所以的值域为，所以选项是正确的；又，，所以在定义域上不是单调函数，故选项是错误的；因为当时，，所以，当时，，所以，所以在定义域内恒成立，所以为奇函数，故选项是正确的；因为恒成立，所以函数为偶函数，故选项是正确的.故选：D【点睛】本题考查了分段函数的单调性性，奇偶性和值域，属于基础题.5、C【解析】求出集合B={0，1}，然后根据并集的定义求出A∪B【详解】解：∵集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴A∪B＝{0，1，2，3}故选C【点睛】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题6、C【解析】根据相似三角形性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个三角形三边成比例”，即充分性成立；反之：由“两个三角形三边成比例”可得到“两个三角形相似”，即必要性成立，所以“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的充分必要条件.故选：C.7、D【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），∴f（0）=1+b=0，解得b=-1∴f（1）=2+2-1=3∴f（-1）=-f（1）=-3故选D8、A【解析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用当x＞0时，函数值的正负确定选项即可.【详解】函数f（x）定义域为，所以函数f（x）是奇函数，排除BC；当x＞0时，，排除D故选：A9、A【解析】根据补集定义计算．【详解】因为集合，又因为全集，所以，.故选：A.【点睛】本题考查补集运算，属于简单题．10、B【解析】由三视图可知该几何体是一个横放的直三棱柱,利用所给的数据和直三棱柱的体积公式即可求得体积.【详解】由三视图可知该几何体是一个横放的直三棱柱,底面为等腰三角形,底边长为,底面三角形高为,所以其体积为:.故选:B【点睛】本题考查三视图及几何体体积计算,认识几何体的几何特征是解题的关键,属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、2【解析】考点：对数与指数的运算性质12、－1【解析】原式)(.故答案为【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.13、【解析】结合图象确定a，b，c的关系，由此可得，再利用基本不等式求其最值.【详解】解：因为函数，若实数a，b，c满足，且，；如图：，且；令；因为；，当且仅当时取等号；，；故答案为：14、或（答案不唯一）【解析】由条件知，函数是定义在R上的偶函数且值域为，可以写出若干符合条件的函数.【详解】函数定义域为R，值域为且为偶函数，满足题意的函数解析式可以为：或【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域、奇偶性以，属于中档题.15、＞【解析】利用诱导公式化简后，根据三角函数的单调性进行判断即可【详解】cos（π）＝cos（﹣4π）＝cos（）＝cos，cos（π）＝cos（﹣4π）＝cos（）＝cos，∵y＝cosx在（0，π）上为减函数，∴coscos，即cos（π）＞cos（π）故答案为＞【点睛】本题主要考查函数的大小比较，根据三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）或；（2）.【解析】（1）可知的对称轴为，讨论对称轴的范围求出最小值即可得出；（2）不等式等价于，求出最大值和最小值即可解出.【详解】（1）可知的对称轴为，开口向上，当，即时，，解得或（舍），∴当，即时，，解得，∴综上，或（2）由题意得，对，∵，，∴，∴，解得，∴【点睛】本题考查含参二次函数的最值问题，属于中档题.17、（1）；（2）；（3）存在，.【解析】（1）根据为上的奇函数，得到，再由时，，设时，则代入求解.（2）设，易知在上单调递减，则，则，是方程的两个不等正根求解（3）设为的一个“罗尔区间”，且，同号，若，由（2）可得，若，同理可求，得到，再根据集合恰含有2个元素，转化为与的图象有两个交点，即方程在内恰有一个实数根，方程，在内恰有一个实数根求解..【详解】（1）因为为上的奇函数，∴，又当时，，所以当时，，所以,所以.（2）设，∵在上单调递减，∴，即，是方程的两个不等正根，∵，∴，∴在内的“罗尔区间”为.（3）设为的一个“罗尔区间”，则，∴，同号.当时，同理可求在内的“罗尔区间”为，∴，依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，所以应当使方程在内恰有一个实数根，且使方程，在内恰有一个实数根，由方程，即在内恰有一根，令，则，解得；由方程，即在内恰有一根，令，则，解得.综上可知，实数的取值集合为.【点睛】关键点点睛：本题关键是对“罗尔区间”的理解，特别是根据在上单调递减，得到，转化为，是方程的两个不等正根求解18、（1）；（2）61.【解析】（1）由已知中12，9，，代入平面向量的夹角公式，即可求出θ的余弦值，结合0°≤θ≤180°，即可得到答案（2）利用数量积运算法则即可得出；【详解】（1）∵12，9，，∴cosθ又∵0°≤θ≤180°则θ＝135°（2）∵，，且与夹角为120°，∴6∴42﹣（﹣6）﹣3×32＝61【点睛】本题考查了向量的数量积运算法则及其性质、夹角公式，属于基础题19、（1）（2）【解析】（1）根据的值域列不等式，由此求得的取值范围.（2）先求得在时的值域，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.【小问1详解】的值域为，所以，，，所以.所以的取值范围是.【小问2详解】由（1），当时，所以在时的值域为记函数的值域为.若对任意的，存在，使得成立，则因为时，，所以，即函数的图象过对称中心(i)当，即时，函数在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，从而在上单调递增，由对称性得，则要使，只需，解得，所以，(ii)当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，，其中，要使，只需，解得，(iii)当，即时，函数在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，从而在上单调递减．此时要使，只需，解得，综上可知，实数的取值范围是20、(1)f(x)＝x2－2ax＋1；（2）;(3){m|或}【解析】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1,再根据函数的奇偶性化简即得函数的解析式.(2)对a分两种情况讨论，利用二次函数的图像和性质即得的表达式.(3)由题得或，解不等式组即得解.【详解】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1.又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝x2－2ax＋1.（2）当x[0，5]，f(x)＝x2＋2ax＋1，对称轴x＝－a，①当－a≥，即a≤－时，g(a)＝f(0)＝1；②当－a＜，即a＞－时，g(a)＝f(5)＝10a＋26综合以上.（3）由（2）知，当a≤－时，g(a)为常函数，当a＞－时，g(a)为一次函数且为增函数因为g(8m)＝g()，所以有或，解得或，即m的取值集合为{m|或}【点睛】本题主要考查奇偶函数的解析式的求法,考查函数的最值的求法,考查函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能