大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概念

大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概念Contents目录多元函数的定义与表示多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的可微性多元函数的定义与表示01多元函数设D是一个非空实数集合，P是实数集合中的一个非空子集，若对于每一个x∈D，P中有一个确定的数值y与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，P称为定义域，D称为值域。多元函数若定义域D中存在两个或两个以上的自变量，则称该函数为多元函数。全纯函数如果一个多元函数在其定义域内的每一点都可微，则称该函数为全纯函数。定义用代数符号表示多元函数的各个分量。代数表示法将多元函数的各个分量表示为向量或矩阵的形式。向量表示法将多元函数表示为一个方程组，通过解方程组得到各个分量。隐函数表示法表示方法对于二元函数z=f(x,y)，其几何意义为平面上的曲线。平面曲线对于三元函数z=f(x,y,z)，其几何意义为三维空间中的曲面。三维曲面对于n元函数z=f(x1,x2,...,xn)，其几何意义为n+1维空间中的超曲面。超曲面对于多元函数的各个分量，可以构成一个流形，流形是几何学中一个重要的概念。流形多元函数的几何意义多元函数的极限02一元函数极限的定义与性质定义对于函数$f(x)$，若在点$x_0$的某一去心邻域内，当$x$无限趋近于$x_0$时，函数值$f(x)$无限趋近于某一常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在点$x_0$处的极限。性质极限具有唯一性、有界性、局部有界性、局部保号性、四则运算法则等。对于多元函数$f(x,y,z,...)$，若在点$(x_0,y_0,z_0,...)$的某一去心邻域内，当各变量分别无限趋近于相应的值时，函数值$f(x,y,z,...)$无限趋近于某一常数$A$，则称$A$为函数$f(x,y,z,...)$在点$(x_0,y_0,z_0,...)$处的极限。定义与一元函数极限的性质类似，但需要考虑多个变量的变化情况。性质多元函数极限的定义多元函数极限的性质性质1极限的唯一性：对于任意点$(x_0,y_0,z_0,...)$处的极限，其值是唯一的。性质2局部有界性：在点$(x_0,y_0,z_0,...)$的某一邻域内，多元函数是有限的。性质3局部保号性：在点$(x_0,y_0,z_0,...)$的某一邻域内，若函数值无限趋近于正数或负数，则该函数在此邻域内与该常数同号。性质4四则运算法则：与一元函数类似，极限的四则运算法则也适用于多元函数。多元函数的连续性03定义如果函数在某点的极限值等于函数值，则函数在该点连续。性质连续函数具有局部有界性、局部保号性、可积性等性质。一元函数连续性的定义与性质如果对于任何接近于某点的x值，函数在该点的极限值都等于函数值，则函数在该点连续。连续函数具有局部有界性、局部保号性、可积性等性质。多元函数连续性的定义性质定义局部保号性如果函数在某点的极限值大于0，则存在一个正数δ，使得当所有自变量满足|x-x0|<δ时，f(x)>0。可积性如果函数在闭区间[a,b]上连续，则该函数在[a,b]上可积。局部有界性对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当所有自变量满足|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε。多元函数连续性的性质多元函数的可微性04一元函数可微性的定义如果函数在某点的导数存在，则该函数在该点可微。要点一要点二一元函数可微性的性质可微函数在其定义域内的任意点都存在导数，且导数具有连续性。一元函数可微性的定义与性质多元函数可微性的定义如果函数在某点的偏导数都存在，则该函数在该点可微。多元函数可微性的定义对于多元函数，在某点的某个自变量变化时，其他自变量保持不变，得到的导数称为偏导数。偏导数的定义可微函数的偏导数连续