复变函数课件1-6复变函数的极限和连续性

复变函数课件1-6目录复数与复变函数复变函数的极限复变函数的连续性导数与微分可微性与可积性积分与级数CONTENTS01复数与复变函数CHAPTER由实部和虚部组成的数，表示为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位。复数复数的模共轭复数表示复数的大小，定义为|z|=√(a^2+b^2)。实部相同，虚部相反的复数。030201复数的概念复数的运算满足交换律和结合律，可以按照实部和虚部分别相加。按照加法的规则进行。按照分配律和乘法公式进行。通过乘以共轭复数进行。加法减法乘法除法复平面点的坐标单位圆辐角复数在平面上的表示01020304以实轴和虚轴构成的平面，表示复数的几何意义。每个复数在复平面上对应一个点，该点的坐标为(a,b)。模为1的复数在复平面上构成的圆。表示复数在单位圆上的角度，与正实轴的夹角。02复变函数的极限CHAPTER函数极限的描述性定义当自变量趋近于某一值时，函数值无限接近于某一常数，则称该常数为函数的极限。函数极限的精确定义对于任意小的正数$varepsilon$，存在某个正数$delta$，当$|z-z_0|<delta$时，有$|f(z)-L|<varepsilon$，其中$z_0$是自变量的值，$L$是函数的极限。函数极限的定义

函数极限的性质极限的唯一性若函数在某点的极限存在，则该极限是唯一的。极限的局部性函数在某点的极限只与该点附近的函数值有关，而与远离该点的函数值无关。极限的保序性若$f(z)$在点$z_0$处的极限存在，且$f(z_1)leqf(z_2)$（或$f(z_1)geqf(z_2)$），则$f(z)$在点$z_0$处的极限也满足该不等式。对于简单的函数，可以直接将自变量代入函数中计算极限。直接代入法通过比较函数与两个已知极限的函数之间的关系，利用已知的夹逼定理来计算函数的极限。夹逼法当函数的分子和分母都趋于零时，可以分别求导后再取极限，以计算函数的极限。洛必达法则函数极限的计算03复变函数的连续性CHAPTER复变函数在某点连续如果对于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，使得对于定义域中满足$|z-z_0|<delta$的任意$z$，都有$|f(z)-f(z_0)|<epsilon$，则称复变函数$f(z)$在点$z_0$处连续。复变函数在区间上连续如果对于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，使得对于定义域中满足$|z-z_0|<delta$的任意$z$，都有$|f(z)-f(z_0)|<epsilon$，则称复变函数$f(z)$在区间上连续。连续性的定义连续函数的和、差、积仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。有限个连续函数的复合仍为连续函数。连续性的性质利用等价无穷小计算连续性在求极限的过程中，如果能够将函数替换为等价的无穷小，则可以简化计算过程。利用导数计算连续性如果一个函数在某点的导数存在，则该函数在该点连续。利用极限的性质计算连续性通过求函数的极限来判断函数在某点的连续性。连续性的计算04导数与微分CHAPTER导数的数学定义函数在某一点的导数是该函数在这一点附近的小增量与自变量增量的比值在自变量增量趋于0时的极限。导数的几何意义导数描述函数图像在某一点的切线斜率。导数的表示符号常用f'(x)表示函数f在x处的导数。导数的定义123若f(x)和g(x)在某点可导，则[f(x)+g(x)]'和[f(x)g(x)]'在相应点也可导，且[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)，[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。线性性质若复合函数y=f(u)，u=g(x)在相应点可导，则复合函数y=f(g(x))在相应点也可导，且(yu)'=u'*f'(u)。链式法则幂函数y=x^n的导数为y'=nx^(n-1)。幂函数的导数导数的性质利用导数的性质，可以求出函数加减乘除的导数。四则运算的导数利用链式法则，可以求出复合函数的导数。复合函数的导数利用幂函数的导数公式，可以求出幂函数的导数。幂函数的导数导数的计算05可微性与可积性CHAPTER如果函数在某点的极限存在，则称该函数在该点可微。函数在某点的可微性函数在某点的导数表示函数在该点的切线斜率。导数的定义如果函数在某点的导数存在，则称该函数在该点可微。可微函数的定义可微性的定义可微函数的导数连续如果函数在某点可微，则其导数在该点连续。导数的几何意义导数表示函数在某点的切线斜率，即函数在该点的变化率。导数的运算性质导数具有线性、乘积、商和复合等运算性质。可微性的性质对于多项式、三角函数、指数函数等常见函数的导数，有相应的计算公式。导数的计算公式通过极限的运算法则和复合函数的求导法则，可以计算函数的导数。导数的计算方法在物理、工程和经济等领域中，导数的计算可以帮助我们了解和解决许多实际问题。导数的实际应用可微性的计算06积分与级数CHAPTER复变函数中的积分定义为沿曲线的有向长度乘以某一复数值函数的积分。它表示函数在曲线上的累积效应。积分定义级数是一系列数的和，可以表示为无穷多个项相加的形式。在复变函数中，级数通常用于表示函数的展开式。级数定义积分与级数的定义包括线性性质、可加性、区间可加性等。这些性质描述了积分运算在复变函数中的行为和特性。包括收敛性、绝对收敛性、一致收敛性等。这些性质决定了级数在复平面上的行为和收敛范围。积分与级数的性质级数性质积分性质包括直接积分法、参数方程