模糊数学课件

模糊集的基本概念

模糊數學是研究和處理模糊性現象的數學方法.眾所周知，經典數學是以精確性為特徵的.

然而，與精確形相悖的模糊性並不完全是消極的、沒有價值的.甚至可以這樣說，有時模糊性比精確性還要好.

例如,要你某時到某地去迎接一個“大鬍子高個子長頭髮戴寬邊黑色眼鏡的中年男人”.

儘管這裏只提供了一個精確資訊――男人，而其他資訊――大鬍子、高個子、長頭髮、寬邊黑色眼鏡、中年等都是模糊概念，但是你只要將這些模糊概念經過頭腦的綜合分析判斷，就可以接到這個人.

模糊數學在實際中的應用幾乎涉及到國民經濟的各個領域及部門，農業、林業、氣象、環境、地質勘探、醫學、經濟管理等方面都有模糊數學的廣泛而又成功的應用.§1.2模糊理論的數學基礎經典集合經典集合具有兩條基本屬性：元素彼此相異，即無重複性；範圍邊界分明,即一個元素x要麼屬於集合A(記作x

A),要麼不屬於集合(記作x

A)，二者必居其一.

集合的表示法：

(1)枚舉法，A={x1,x2,…,xn}；

(2)描述法，A={x|P(x)}.

A

B

若x

A，則x

B；

A

B

若x

B，則x

A；

A=B

A

B且A

B.

集合A的所有子集所組成的集合稱為A的冪集，記為

(A).並集A∪B={x|x

A或x

B}；交集A∩B={x|x

A且x

B}；餘集Ac

={x|x

A}.集合的運算規律冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；

吸收律：A∪(A∩B)

=A，A∩(A∪B)

=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U

，A∩U=A

；

A∪

=A

，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A

；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；

排中律：A∪Ac

=U，A∩Ac

=

；U為全集，

為空集.集合的直積：

X

Y={(x,y)|x

X,y

Y

}.映射與擴張映射f：X

Y集合A的特徵函數：特徵函數滿足：取大運算,如2∨3=3取大運算,如2∧3=2擴張：點集映射集合變換二元關係

X

Y的子集R稱為從X到Y的二元關係，特別地，當X=Y時，稱之為X上的二元關係.二元關係簡稱為關係.

若(x,y)R，則稱x與y有關係，記為R(x,y)=1；

若(x,y)R，則稱x與y沒有關係，記為R(x,y)=0.

映射R:X

Y{0,1}實際上是X

Y的子集R上的特徵函數.關係的三大特性：

設R為X上的關係

(1)自反性：若X上的任何元素都與自己有關係R，即R(x,x)=1，則稱關係R具有自反性；

(2)對稱性：對於X上的任意兩個元素x,y，若x與y有關系R時，則y與x也有關系R，即若R(x,y)=1，則R(y,x)=1，那麼稱關係R具有對稱性；

(3)傳遞性：對於X上的任意三個元素x,y,z，若x與y有關系R，y與z也有關系R時，則x與z也有關系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，則R(x,z)=1，那麼稱關係R具有傳遞性.

關係的矩陣表示法

設X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn}，R為從X到Y的二元關係，記rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，則R為布爾矩陣(Boole)，稱為R的關係矩陣.

布爾矩陣(Boole)是元素只取0或1的矩陣.關係的合成

設R1是X到Y的關係,R2是Y到Z的關係,則R1與R2的合成R1°

R2是X到Z上的一個關係.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}關係合成的矩陣表示法

設X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的關係R1=(aik)m×s，Y到Z的關係R2=(bkj)s×n，則X到Z的關係可表示為矩陣的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.

定義：若R為n階方陣，定義R2

=R°

R，R3

=R2

°

R…

例設X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y的關係,R2是Y到Z的關係,R1={(x,y)|x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(x,y)|y–

z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},則R1與R2的合成R1°

R2={(x,y)|x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.合成(°

)運算的性質：性質1：(A°B)°C=A°(B°C)；性質2：Ak

°Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質3：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質5：A≤B，C≤D

A°C≤B°D.O為零矩陣，I為n階單位方陣.A≤B

aij≤bij

.關係三大特性的矩陣表示法：

設R為X={x1,x2,…,xn}

上的關係，則其關係矩陣R=(rij)n×n

為n階方陣.(1)R具有自反性

I≤R；(2)R具有對稱性

RT

=R

；(3)R具有傳遞性

R2≤R

.

若R具有自反性，則

I≤R≤R2≤R3≤…下麵證明：R具有傳遞性

R2≤R.R=(rij)n×n

設R具有傳遞性,即對任意的i,j,k，若有rij=1，rjk=1，則有rik=1.

對任意的i,j，若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=0，則∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij.

若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=1，則存在1≤s≤n，使得(ris∧rsj)=1，即ris=1,rsj=1.

由於R具有傳遞性，則rij=1，所以∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=rij.綜上所述

R2≤R.

設R2≤R，則對任意的i,j,k，若有

rij=1，rjk=1，即(rij∧rjk)=1，因此∨{(ris∧rsk)|1≤s≤n}=1，

由R2≤R，得rik=1，所以R具有傳遞性.集合上的等價關係

設

X上的關係R具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R為X上的等價關係.

若x與y有等價關係R，則記為x

y.集合上的等價類

設

R是X上的等價關係，x

X.定義x的等價類：[x]R={y|y

X

，y

x}.集合的分類

設

X是非空集，Xi

是X的非空子集，若∪Xi=X，且Xi∩Xj

=

(i

j)，則稱集合族{Xi

}是集合X的一個分類.

定理：集合X上的任一個等價關係R可以確定X的一個分類.即

(1)任意x

X，[x]R非空；

(2)任意x,y

X，若x與y沒有關係R，則[x]R∩[y]R=

；

(3)X=∪[x]R.

證:(1)由於R具有自反性，所以x∈[x]R，即[x]R非空.

(2)假設[x]R∩[y]R

,取z∈[x]R∩[y]R，則z與x有關系R，與y也有關系R.由於R具有對稱性，所以x與z有關系R，z與y也有關系R.又由於R具有傳遞性，x與y也有關系R.這與題設矛盾.

(3)略.例設X={1,2,3,4},定義關係R1：xi＜xj；R2

：xi+xj為偶數；R3

：xi+xj=5.

則關係R1是傳遞的，但不是自反的，也不是對稱的；容易驗證關係R2是X上的等價關係；關係R3是對稱和傳遞的，但不是自反的.按關係R2可將X分為奇數和偶數兩類，即X={1,3}∪{2,4}.按關係R3可將X分為兩類，即X={1,4}∪{2,3}.格

設在集合L中規定了兩種運算∨與∧,並滿足下列運算性質：冪等律：a∨a=a

，a∧a=a

；交換律：a∨b=b∨a，a∧b=b∧a；結合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)，

(a∧b)∧c=a∧(b∧c)

；吸收律：a∨(a∧b)

=a，

a∧(a∨b)

=a.則稱L是一個格，記為(L,∨,∧).

設(L,∨,∧)是一個格，如果它還滿足下列運算性質：分配律：(a∨b)∧c=(a∧c)∨(b∧c),

(a∧b)∨c=(a∨c)∧(b∨c).則稱

(L,∨,∧)為分配格.

若格(L,∨,∧)滿足：

0-1律：在L中存在兩個元素0與1，且a∨0=a，a∧0=0，a∨1=1，a∧1=a，則稱

(L,∨,∧)有最小元0與最大元1，此時又稱

(L,∨,∧)為完全格.

若在具有最小元0與最大元1的分配格

(L,∨,∧)中規定一種餘運算c，滿足：還原律：(ac)c=a；互餘律：a∨ac=1，a∧ac=0，則稱(L,∨,∧,c)為一個Boole代數.

若在具有最小元0與最大元1的分配格

(L,∨,∧)中規定一種餘運算c，滿足：還原律：(ac)c=a

；對偶律：(a∨b)c=ac∧bc，

(a∧b)c

=ac∨bc，則稱(L,∨,∧,c)

為一個軟代數.

例1任一個集合A的冪集

(A)是一個完全格.

格中的最大元為A(全集)，最小元為

(空集)，並且(J(A),∪,∩,

c)

既是一個Boole代數，也是一個軟代數.

例2記[0,1]上的全體有理數集為Q，則(Q,∨,∧)是一個完全格.

格中的最大元為1，最小元為0.

若在Q中定義餘運算c為ac

=1-

a，則(Q,∨,∧,c)

不是一個Boole代數，但它是一個軟代數.§1.3模糊子集及其運算模糊子集與隸屬函數

設U是論域，稱映射A(x)：U→[0,1]確定了一個U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數，它表示x對A的隸屬程度.

使A(x)=0.5的點x稱為A的過渡點，此點最具模糊性.

當映射A(x)只取0或1時，模糊子集A就是經典子集，而A(x)就是它的特徵函數.可見經典子集就是模糊子集的特殊情形.

例設論域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(單位：cm)表示人的身高，那麼U上的一個模糊集“高個子”(A)的隸屬函數A(x)可定義為也可用Zadeh表示法：模糊集的運算相等：A=B

A(x)=

B(x)；包含：A

B

A(x)≤B(x)；並：A∪B的隸屬函數為

(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B的隸屬函數為

(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；餘：Ac的隸屬函數為Ac(x)=1-

A(x).

例設論域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定義兩個模糊集：A=“商品品質好”，B=“商品品質壞”，並設A

=(0.8,0.55,0,0.3,1).B

=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).則Ac=“商品品質不好”,Bc=“商品品質不壞”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可見Ac

B,

Bc

A.

又A∪Ac

=(0.8,0.55,1,0.7,1)

U,

A∩Ac

=(0.2,0.45,0,0.3,0)

.模糊集的並、交、餘運算性質

冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A

；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，

(A∩B)c=Ac∪Bc；

對偶律的證明：對於任意的x

U(論域)，

(A∪B)c(x)=1-

(A∪B)(x)=1-

(A(x)∨B(x))=(1-

A(x))∧(1-

B(x))=Ac(x)∧Bc(x)

=Ac∩Bc(x)

模糊集的運算性質基本上與經典集合一致，除了排中律以外，即A∪Ac

U，A∩Ac

.

模糊集不再具有“非此即彼”的特點，這正是模糊性帶來的本質特徵.§1.4模糊集的基本定理(A)

=A

={x|A(x)≥

}

-截集：

模糊集的

-截集A

是一個經典集合，由隸屬度不小於

的成員構成.

例：論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(學生集)，他們的成績依次為50,60,70,80,90,95，A=“學習成績好的學生”的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，則A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}.

定理1設A,B(U)(A,B是論域U的兩個模糊子集)，,[0,1]，於是有

-截集的性質：(1)A

B

A

B

；(2)

≤

A

A

；(3)(A∪B)

=A

∪B

，(A∩B)

=A

∩B

.定理2(分解定理)設A(U)，

x

A，則A(x)=∨{

，

[0,1]，x

A

}定義(擴張原理)設映射f：X

Y，定義f(A)(y)=∨{A(x)，f(x)=y

}§2.1模糊矩陣

定義1

設R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，則稱R為模糊矩陣.

當rij只取0或1時，稱R為布爾(Boole)矩陣.

當模糊方陣R

=(rij)n×n的對角線上的元素rii都為1時，稱R為模糊自反矩陣.定義2設A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩陣，相等：A

=B

aij=bij；包含：A≤B

aij≤bij；並：A∪B

=(aij∨bij)m×n；交：A∩B

=(aij∧bij)m×n；餘：Ac

=(1-

aij)m×n.模糊矩陣的並、交、餘運算性質冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：

A∪O=A，A∩O=O；

A∪E=E，A∩E=A；還原律：(Ac)c=A；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,

(A∩B)c=Ac∪Bc.模糊矩陣的合成運算與模糊方陣的冪

設A

=(aik)m×s，B

=(bkj)s×n，定義模糊矩陣A與B的合成為：A

°

B

=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊方陣的冪

定義：若A為n階方陣，定義A2

=A°

A，A3

=A2

°

A，…，Ak=Ak-1°

A.合成(°

)運算的性質：性質1：(A°

B)°C=A°(B°C)；性質2：Ak

°

Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質3：A°

(B∪C)=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質5：A≤B，C≤D

A°

C≤B°

D.注：合成(°

)運算關於(∩)的分配律不成立，即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)模糊矩陣的轉置

定義設A=(aij)m×n,

稱AT

=(aijT

)n×m為A的轉置矩陣，其中aijT

=aji.轉置運算的性質：性質1：(AT)T

=A；性質2：(A∪B)T

=AT∪BT，

(A∩B)T

=AT∩BT；性質3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n；性質4：(Ac)T=(AT)c；性質5：A≤B

AT≤BT.證明性質3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n.證明：設A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,

記(A°

B)T=(cijT

)n×m,AT

=(aijT

)s×m,

BT

=(bijT

)n×s,

由轉置的定義知,

cijT

=cji,aijT

=aji,bijT

=bji.

BT

°

AT=[∨(bikT∧akjT

)]n×m

=[∨(bki∧ajk)]n×m

=[∨(ajk∧bki)]n×m=(cji)n×m

=(cijT

)n×m=(A°

B)T.模糊矩陣的

-

截矩陣

定義7設A=(aij)m×n,對任意的

∈[0,1]，稱A

=(aij(

))m×n,為模糊矩陣A的

-

截矩陣,其中

當aij≥

時，aij(

)=1；當aij＜

時，aij(

)=0.

顯然，A的

-

截矩陣為布爾矩陣.

對任意的

∈[0,1]，有性質1：A≤B

A

≤B

；性質2：(A∪B)

=A

∪B

，(A∩B)

=A

∩B

；性質3：(A°

B)

=A

°

B

；性質4：(AT

)

=(A

)T.下麵證明性質1：A≤B

A

≤B

和性質3.性質1的證明：A≤B

aij≤bij；當

≤aij≤bij時，aij(

)=bij(

)=1；當aij＜

≤bij時，aij(

)=0,bij(

)=1；當aij≤bij＜

時，aij(

)=bij(

)=0；綜上所述aij(

)≤bij(

)時，故A

≤B

.性質3的證明：設A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij(

)=1

cij≥

∨(aik∧bkj)≥

k,(aik∧bkj)≥

k,aik≥

,bkj≥

k,aik(

)=bkj(

)=1∨(aik(

)∧bkj(

))=1cij(

)=0

cij＜

∨(aik∧bkj)＜

k,(aik∧bkj)＜

k,aik＜

或bkj＜

k,aik(

)=0或bkj(

)=0∨(aik(

)∧bkj(

))=0所以,cij(

)=∨(aik(

)∧bkj(

)).(A°

B)

=A

°

B

.§2.2模糊關係

與模糊子集是經典集合的推廣一樣，模糊關係是普通關係的推廣.

設有論域X，Y，X

Y的一個模糊子集R稱為從X到Y的模糊關係.

模糊子集R的隸屬函數為映射R:X

Y[0,1].並稱隸屬度R(x,y)為

(x,y)關於模糊關係R的相關程度.

特別地，當X=Y時，稱之為X上各元素之間的模糊關係.模糊關係的運算

由於模糊關係R就是X

Y的一個模糊子集，因此模糊關係同樣具有模糊子集的運算及性質.設R，R1，R2均為從X到Y的模糊關係.相等：R1=R2

R1(x,y)=

R2(x,y)；包含：R1

R2

R1(x,y)≤R2(x,y)；並：R1∪R2的隸屬函數為

(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2的隸屬函數為(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；餘：Rc的隸屬函數為Rc(x,y)=1-

R(x,y).

(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)對模糊關係“R1或者R2”的相關程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)對模糊關係“R1且R2”的相關程度，Rc(x,y)表示(x,y)對模糊關係“非R”的相關程度.模糊關係的矩陣表示

對於有限論域

X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，則X到Y模糊關係R可用m×n階模糊矩陣表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)關於模糊關係R的相關程度.

又若R為布爾矩陣時,則關係R為普通關係,即xi與

yj之間要麼有關系(rij=1),要麼沒有關係(rij=0).

例設身高論域X={140,150,160,170,180}(單位：cm),體重論域Y={40,50,60,70,80}(單位：kg),下表給出了身高與體重的模糊關係.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81模糊關係的合成

設R1是X到Y的關係,R2是Y到Z的關係,則R1與R2的合成R1°

R2是X到Z上的一個關係.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}

當論域為有限時，模糊關係的合成化為模糊矩陣的合成.

設X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的模糊關係R1=(aik)m×s，Y到Z的模糊關係R2=(bkj)s×n，則X到Z的模糊關係可表示為模糊矩陣的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊關係合成運算的性質性質1：(A°B)°C=A°(B°C)；性質2：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質3：(A°

B)T=BT

°

AT；性質4：A

B，C

D

A°C

B°D.注：(1)合成(°

)運算關於(∩)的分配律不成立,即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)

(2)這些性質在有限論域情況下,就是模糊矩陣合成運算的性質.§2.3模糊等價矩陣模糊等價關係

若模糊關係R是X上各元素之間的模糊關係，且滿足：

(1)自反性：R(x,x)=1；

(2)對稱性：R(x,y)=R(y,x)；

(3)傳遞性：R2

R,

則稱模糊關係R是X上的一個模糊等價關係.

當論域X={x1,x2,…,xn}為有限時,X上的一個模糊等價關係R就是模糊等價矩陣,即R滿足：I≤R

(

rii=1

)RT=R(

rij=rji)R2≤R.R2≤R(

∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij).模糊等價矩陣的基本定理

定理1

若R具有自反性(I≤R)和傳遞性(R2≤R),則R2=R.

定理2

若R是模糊等價矩陣,則對任意

∈[0,1]，R

是等價的Boole矩陣.

∈[0,1]，A≤B

A

≤B

；(A°B)

=A

°B

；(AT

)

=(A

)T

證明如下：

(1)自反性：I≤R

∈[0,1]，I

≤R

∈[0,1]，I

≤R

，即R

具有自反性；

(2)對稱性：RT=R

(RT)

=R

(R

)T=R

，即R

具有對稱性；

(3)傳遞性：R2≤R

(R

)2≤R

，即R

具有傳遞性.

定理3

若R是模糊等價矩陣,則對任意的0≤

＜

≤1,R

所決定的分類中的每一個類是R

決定的分類中的某個類的子類.

證明：對於論域X={x1,x2,…,xn}，若xi,xj按R

分在一類，則有rij(

)=1

rij≥

rij≥

rij(

)=1，即若xi,xj按R

也分在一類.

所以，R

所決定的分類中的每一個類是R

決定的分類中的某個類的子類.模糊相似關係

若模糊關係R是X上各元素之間的模糊關係，且滿足：

(1)自反性：R(x,x)

=1；

(2)對稱性：R(x,y)=R(y,x)

；則稱模糊關係R是X上的一個模糊相似關係.

當論域X={x1,x2,…,xn}為有限時，X上的一個模糊相似關係R就是模糊相似矩陣，即R滿足：

(1)自反性：I≤R

(

rii=1

)；

(2)對稱性：RT=R

(

rij=rji

).模糊相似矩陣的性質

定理1

若R是模糊相似矩陣，則對任意的自然數k，Rk也是模糊相似矩陣.

定理2

若R是n階模糊相似矩陣，則存在一個最小自然數k(k≤n)，對於一切大於k的自然數l，恒有Rl=Rk，即Rk是模糊等價矩陣(R2k=Rk).此時稱Rk為R的傳遞閉包，記作t(R)=Rk.

上述定理表明，任一個模糊相似矩陣可誘導出一個模糊等價矩陣.平方法求傳遞閉包t(R)：R

R2

R4

R8

R16…§2.4模糊聚類分析數據標準化

設論域X={x1,x2,…,xn}為被分類對象,每個對象又由m個指標表示其形狀:xi

={xi1,xi2,…,xim},i=1,2,…,n於是,得到原始數據矩陣為平移•

標準差變換其中平移•

極差變換模糊相似矩陣建立方法相似係數法----夾角余弦法相似係數法----相關係數法其中距離法rij=1–cd(xi,xj)其中c為適當選取的參數.海明距離歐氏距離切比雪夫距離d(xi,xj)=∨{|xik-

xjk|,1≤k≤m}Boole矩陣法：

定理：設R是論域X={x1,x2,…,xn}上的一個相似的Boole矩陣，則R具有傳遞性(當R是等價Boole矩陣時)

矩陣R在任一排列下的矩陣都沒有形如的特殊子矩陣.Boole矩陣法的步驟如下：(1)求模糊相似矩陣的

-截矩陣R

；(2)若R

在某一排列下的矩陣有形如的特殊子矩陣,則將R

中上述特殊形式子矩陣的0改為1，直到在任一排列下R

中不再產生上述特殊形式子矩陣為止.最佳分類的確定

在模糊聚類分析中，對於各個不同的

∈[0,1]，可得到不同的分類，從而形成一種動態聚類圖，這對全面瞭解樣本分類情況是比較形象和直觀的.

但在許多實際問題中，需要給出樣本的一個具體分類，這就提出了如何確定最佳分類的問題.

設X

=(xij)n×m為n個元素m個指標的原始數據矩陣.

為總體樣本的中心向量.

對應於

值的分類數為r，第j類的樣本數為nj，第j類的樣本標記為第j類樣本的中心向量為作F-

統計量：

如果滿足不等式F＞F

(r-1,n-r)的F值不止一個，則可根據實際情況選擇一個滿意的分類，或者進一步考查差(F-F

)/F

的大小，從較大者中找一個滿意的F值即可.

實際上，最佳分類的確定方法與聚類方法無關，但是選擇較好的聚類方法，可以較快地找到比較滿意的分類.§3.1模糊模型識別模型識別

已知某類事物的若干標準模型，現有這類事物中的一個具體對象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識別.

模型識別在實際問題中是普遍存在的.例如，學生到野外採集到一個植物標本，要識別它屬於哪一綱哪一目；投遞員(或分揀機)在分揀信件時要識別郵遞區號等等，這些都是模型識別.模糊模型識別

所謂模糊模型識別,是指在模型識別中,模型是模糊的.也就是說,標準模型庫中提供的模型是模糊的.模型識別的原理

為了能識別待判斷的對象x=(x1,x2,…,xn)T是屬於已知類A1,A2,…,Am中的哪一類？

事先必須要有一個一般規則,一旦知道了x的值,便能根據這個規則立即作出判斷,稱這樣的一個規則為判別規則.

判別規則往往通過的某個函數來表達,我們把它稱為判別函數,記作W(i;x).

一旦知道了判別函數並確定了判別規則，最好將已知類別的對象代入檢驗，這一過程稱為回代檢驗，以便檢驗你的判別函數和判別規則是否正確.§3.2最大隸屬原則模糊向量的內積與外積

定義稱向量a=(a1,a2,…,an)是模糊向量,其中0≤ai≤1.

若ai只取0或1,則稱a=(a1,a2,…,an)是Boole向量.

設a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn)都是模糊向量，則定義

內積：a

°

b

=∨{(ak∧bk)|1≤k≤n}；

外積：a⊙b

=∧{(ak∨bk)|1≤k≤n}.內積與外積的性質(a

°

b

)c=ac⊙bc

;(a⊙b

)c=ac

°

bc.模糊向量集合族

設A1,A2,…,An是論域X上的n個模糊子集,稱以模糊集A1,A2,…,An為分量的模糊向量為模糊向量集合族，記為A=(A1,A2,…,An).

若X上的n個模糊子集A1,A2,…,An的隸屬函數分別為A1(x),A2(x),…,An(x),則定義模糊向量集合族A=(A1,A2,…,An)的隸屬函數為A(x)=∧{A1(x1),A2(x2),…,An(xn)}或者A(x)=[A1(x1)+A2(x2)+…+An(xn)]/n.其中x=(x1,x2,…,xn)為普通向量.最大隸屬原則

最大隸屬原則Ⅰ設論域X={x1,x2,…,xn}上有m個模糊子集A1,A2,…,Am(即m個模型),構成了一個標準模型庫,若對任一x0∈X,有k∈{1,2,…,m},使得Ak(x0)=∨{A1(x0),A2(x0),…,Am(x0)}，則認為x0相對隸屬於Ak.

最大隸屬原則Ⅱ設論域X上有一個標準模型A,待識別的對象有n個：x1,x2,…,xn∈X,

如果有某個xk滿足A(xk)=∨{A(x1),A(x2),…,A(xn)},

則應優先錄取xk.

例1在論域X=[0,100]分數上建立三個表示學習成績的模糊集A=“優”,B=“良”,C=“差”.當一位同學的成績為88分時,這個成績是屬於哪一類？A(88)=0.8B(88)=0.7A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.

根據最大隸屬原則Ⅰ,88分這個成績應隸屬於A,即為“優”.

例2

論域X={x1(71),x2(74),x3(78)}表示三個學生的成績,那一位學生的成績最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,根據最大隸屬原則Ⅱ，x1(71)最差.例3細胞染色體形狀的模糊識別

細胞染色體形狀的模糊識別就是幾何圖形的模糊識別,而幾何圖形常常化為若干個三角圖形,故設論域為三角形全體.即X={(A,B,C)|A+B+C=180,A≥B≥C}

標準模型庫={E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意三角形)}.

某人在實驗中觀察到一染色體的幾何形狀，測得其三個內角分別為94,50,36,即待識別對象為x0=(94,50,36).問x0應隸屬於哪一種三角形？先建立標準模型庫中各種三角形的隸屬函數.

直角三角形的隸屬函數R(A,B,C)應滿足下列約束條件：

(1)當A=90時,R(A,B,C)=1;(2)當A=180時,R(A,B,C)=0;(3)0≤R(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義R(A,B,C)=1-|A-90|/90.則R(x0)=0.955.

或者其中p=|A–90|則R(x0)=0.54.

正三角形的隸屬函數E(A,B,C)應滿足下列約束條件：(1)當A=B=C=60時,E(A,B,C)=1;(2)當A=180,B=C=0時,E(A,B,C)=0;(3)0≤E(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義E(A,B,C)=1–(A–

C)/180.則E(x0)=0.677.

或者其中p=A–C

則E(x0)=0.02.

等腰三角形的隸屬函數I(A,B,C)應滿足下列約束條件：(1)當A=B或者B=C時,I(A,B,C)=1;(2)當A=180,B=60,C=0時,I(A,B,C)=0;(3)0≤I(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義I(A,B,C)=1–[(A–

B)∧(B–

C)]/60.則I(x0)=0.766.

或者

p=(A–

B)∧(B–

C)則I(x0)=0.10.等腰直角三角形的隸屬函數(I∩R)(A,B,C)=I(A,B,C)∧R(A,B,C);(I∩R)(x0)=0.766∧0.955=0.766.任意三角形的隸屬函數T(A,B,C)=Ic∩Rc∩Ec=(I∪R∪E)c.T(x0)=(0.766∨0.955∨0.677)c=(0.955)c=0.045.

通過以上計算,R(x0)=0.955最大,所以x0應隸屬於直角三角形.

或者(I∩R)(x0)=0.10;T(x0)=(0.54)c=0.46.仍然是R(x0)=0.54最大,所以x0應隸屬於直角三角形.例4大學生體質水準的模糊識別.

陳蓓菲等人在福建農學院對240名男生的體質水準按《中國學生體質健康調查研究》手冊上的規定,從18項體測指標中選出了反映體質水準的4個主要指標(身高、體重、胸圍、肺活量),根據聚類分析法,將240名男生分成5類：A1(體質差),A2(體質中下),A3(體質中),A4(體質良),A5

(體質優),作為論域U(大學生)上的一個標準模型庫,然後用最大隸屬原則,去識別一個具體學生的體質.5類標準體質的4個主要指標的觀測數據如下表所示.身高(cm)體重(kg)胸圍(cm)肺活量(cm3)A1158.4±3.047.9±8.484.2±2.43380±184A2163.4±4.850.0±8.689.0±6.23866±800A3166.9±3.655.3±9.488.3±7.04128±526A4172.6±4.657.7±8.289.2±6.44349±402A5178.4±4.261.9±8.690.9±8.04536±756

現有一名待識別的大學生x={x1,x2,x3,x4}={175,55.1,86,3900}，他應屬於哪種類型？閾值原則

設論域X={x1,x2,…,xn}上有m個模糊子集A1,A2,…,Am(即m個模型),構成了一個標準模型庫,若對任一x0∈X,取定水準

∈[0,1].

若存在i1,i2,…,ik,使Aij(x0)≥

(j=1,2,…,k),則判決為：x0相對隸屬於

若∨{Ak(x0)|k=1,2,…,m}＜

,則判決為：不能識別,應當找原因另作分析.

該方法也適用於判別x0是否隸屬於標準模型Ak.若Ak(x0)≥

,則判決為：x0相對隸屬於Ak;

若Ak(x0)＜

,則判決為：x0相對不隸屬於Ak.§3.3擇近原則

設在論域X={x1,x2,…,xn}上有m個模糊子集A1,A2,…,Am(即m個模型),構成了一個標準模型庫.被識別的對象B也是X上一個模糊集,它與標準模型庫中那一個模型最貼近？這是第二類模糊識別問題.

先將模糊向量的內積與外積的概念擴充.

設A(x),B(x)是論域X上兩個模糊子集的隸屬函數,定義

內積：A

°

B

=∨{A(x)

∧B(x)|x∈X}；

外積：A⊙B

=∧{A(x)∨B(x)|x∈X}.內積與外積的性質(1)(A

°

B

)c=Ac⊙Bc;(2)(A⊙B

)c=Ac

°

Bc;(3)A

°

Ac

≤1/2;

(4)A⊙Ac≥1/2.證明(1)(A

°

B)c

=1-∨{A(x)

∧B(x)|x∈X}

=∧{[1-

A(x)]∨[1-

B(x)]|x∈X}=∧{Ac(x)∨Bc(x)|x∈X}=Ac⊙Bc.證明(3)A

°

Ac=∨{A(x)

∧[1-

A(x)]|x∈X}

≤∨{1/2|x∈X}≤1/2.

下麵我們用

(A,B)表示兩個模糊集A,B之間的貼近程度(簡稱貼近度),貼近度

(A,B)有一些不同的定義.

0(A,B)=[A°B+(1-A⊙B)]/2(格貼近度)

1(A,B)=(A°B)∧(1-

A⊙B)擇近原則

設在論域X={x1,x2,…,xn}上有m個模糊子集A1,A2,…,

Am構成了一個標準模型庫,B是待識別的模型.若有k∈{1,2,…,m},使得

(Ak,B)=∨{

(Ai,B)|1≤i≤m},則稱B與Ak最貼近,或者說把B歸於Ak類.這就是擇近原則.小麥品種的模糊識別(僅對百粒重考慮)多個特性的擇近原則

設在論域X={x1,x2,…,xn}上有n個模糊子集A1,A2,…,An構成了一個標準模型庫,每個模型又由個特性來刻劃：Ai=(Ai1,Ai2,…,Aim),i=1,2,…,n,

待識別的模型B=(B1,B2,…,Bm).

先求兩個模糊向量集合族的貼近度：si=∧{

(Aij,Bj)|1≤j≤m},i=1,2,…,n,

若有k∈{1,2,…,n},使得

(Ak,B)=∨{si|1≤i≤n},則稱B與Ak最貼近,或者說把B歸於Ak類.這就是多個特性的擇近原則.貼近度的的改進格貼近度的不足之處是一般

0(A,A)≠1.定義

(公理化定義)若

(A,B)滿足①

(A,A)=1;②

(A,B)=

(B,A);③若A≤B≤C,則

(A,C)≤

(A,B)∧

(B,C).則稱

(A,B)為A與B的貼近度.

顯然,公理化定義顯得自然、合理、直觀,避免了格貼近度的不足之處,它具有理論價值.但是公理化定義並未提供一個計算貼近度的方法,不便於操作.

於是,人們一方面儘管覺得格貼近度有缺陷,但還是樂意採用易於計算的格貼近度來解決一些實際問題；另一方面,在實際工作中又給出了許多具體定義(P145).離散型連續型離散型連續型離散型連續型

事實上,擇近原則的核心就是最大隸屬原則.如在小麥品種的模糊識別(僅對百粒重考慮)中,可重新定義“早熟”、“矮稈”、“大粒”、“高肥豐產”、“中肥豐產”的隸屬函數.重新定義“早熟”的隸屬函數為重新定義“矮稈”的隸屬函數為蠓的分類

左圖給出了9只Af和6只Apf蠓的觸角長和翼長數據,其中“●”表示Apf,“○”表示Af.根據觸角長和翼長來識別一個標本是Af還是Apf是重要的.①給定一只Af族或Apf族的蠓,如何正確地區分它屬於哪一族？

②將你的方法用於觸角長和翼長分別為(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三個標本.模糊判別方法先將已知蠓重新進行分類.

當

=0.919時,分為3類{1,2,3,6,4,5,7,8},{9},{10,11,12,13,14,15},三類的中心向量分別為(1.395,1.770),(1.560,2.080),(1.227,1.927).用平移極差變換將它們分別變為A1=(0.200,0.637)(Af蠓),A2=(0.390,1.000)(Af蠓),A3=(0.000,0.821)(Apf蠓),再將三只待識別的蠓用上述變換分別變為B1=(0.015,0.672),B2=(0.062,0.719),B3=(0.203,0.953).採用貼近度

3(A,B)=計算得：

3(A1,B1)=0.89,

3(A2,B1)=0.65,

3(A3,B1)=0.92.

3(A1,B2)=0.89,

3(A2,B2)=0.69,

3(A3,B2)=0.92.

3(A1,B3)=0.84,

3(A2,B3)=0.88,

3(A3,B3)=0.83.

根據擇近原則及上述計算結果,第一只待識別的蠓(1.24,1.80)屬於第三類,即Apf蠓；第二只待識別的蠓(1.28,1.84)屬於第三類,即Apf蠓；第三只待識別的蠓(1.40,2.04)屬於第二類,即Af蠓.③

設Af是傳粉益蟲,Apf是某種疾病的載體,是否應修改你的分類方法？若需修改,為什麼？DNA序列分類與模糊識別2000網易杯全國大學生數學建模競賽題：生物學家發現DNA序列是由四種堿基A,T,C,G按一定順序排列而成,其中既沒有“斷句”,也沒有標點符號,同時也發現DNA序列的某些片段具有一定的規律性和結構.由此人工製造兩類序列