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文档简介
立体几何
微专题06空间几何体
空间几何体的结构特征是高考重点考查的内容.近几年主要考查空间几何体的表面积与体积,
常以选择题与填空题为主,也涉及空间几何体的结构特征等内容,要求考生要有较强的空间想象能
力和计算能力,难度为中低档.
........................核心要点整合.........................
一、多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面
积与底面积之和.
二、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱圆锥圆台
霸口二筋好
侧面积「、,「「,、,
5圆柱侧=2TT/75圆推恻5圆台州5(八+攵)/
公式
三、柱体、锥体、台体、球的表面积和体积
名称
表面积体积
几何体
柱体(棱柱和圆
V=Sh
柱)
(续表)
名称
表面积体积
几何体
锥体(棱锥和圆
s表=S侧+S底V^Sh
锥)
台体(棱台和圆S表=S侧/5上+S
台)下
4
球S=4TT/?2I/--TIA6
四、公式之间的联系
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的联系:
上底面半径逐渐增大上底面半径逐渐减小
<A
S圆柱=2n/7/=rS圆台/=05圆锥二
(2)柱体、锥体、台体的体积公式之间的联系:
」底面逐渐增大上底面逐渐减少》
/柱体=S/Js=s'1/台体W(S'*AV^+5)力s'=。1/锥体二匏力.
"""""""""""重点•逐个突破"""""""
对应学生分册第19页
©重点1求空间几何体的侧面积、表面积
(1)
(2021年甘肃省高三模拟)木升子是一种民间称量或盛装粮食的工具(如图所示),呈正棱台形,
一般由四块梯形木和一块正方形木组成,其上口是一个正方形,下口是一个封口较小的正方形.现
有一木升子(厚度忽略不计),其上口周长为52cm,下口周长为40cm,侧面等腰梯形的腰长为8
cm,则该木升子的侧面积约为().(结果精确到0.1cm2参考数据:标*15.72)
A.90.4cm2B.180.8cm2
C.361.6cm2D.368.0cm2
(2)(2021年新高考全国/卷)已知圆锥的底面半径为或,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥
的母线长为().
A.2B.2V2C.4D.4V2
•(DC(2)B
►(1)由题意知,该木升子上口边长为13cm,下口边长为10cm,故侧面等腰梯形的高
,L.(13-10)2V247,、
6=164-'-彳,=h(cm),
..该木升子的侧面积S=4x(i3+i;T*361.6(cm2).
(2)设圆锥的母线长为/因为圆锥的底面半径为遮,其侧面展开图为一个半圆,所以TT/=2V2TT,
解得/=2近.
变式1例1(2)改为"已知圆锥的表面积等于12ncm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面
圆的半径为
►2cm
►设底面圆的半径为/;则S圆锥表=Tr/+n〃=n"+TT/:2r=3TT/2=:L2TT,./=4,J/=2cm.
变式2例1⑵改为"已知f圆柱的底面半径为6,其体积为30叫则该圆柱的表面积
为/'
►82n
►设圆柱的高为〃底面圆的半径为r,:,!/圆柱=n-62-/7=30n,.•力=Q.S圆柱侧
O
=2TTM=2TI*6xf=10n,
6
故该圆柱的表面积S=S国柱网+25圆柱表=10TT+2X36TT=82TL
空间几何体侧面积、表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
||
(多选题)已知四棱台ABCD-AIB^DY的上、下底面均为正方形,其中
AB=242,A1B1=®AA、=BBI=CG=2厕下列结论正确的是().
A.该四棱台的高为百
B.44i_LCCi
C.该四棱台的表面积为26
D.该四棱台外接球的表面积为16TT
AAD
►由棱台的性质,画出切割前的四棱推,如图所示.
s
由48=2a,481=鱼,可知人外1员与4%6的相似比为1.2则夕1=244=4/0=2厕
SO=2^,OCX=遍,即该四棱台的高为百,故A正确;
因为S4=SCSU=4,所以44与CG的夹角为60°,故B错误;
该四棱台的表面积S=S上底+S下底"醐=2+8+4解箸哼=10+6夕,故C错误;
由于上、下底面都是正方形,则外接球的球心在oa上,在平面&80a中,由于
。。!=旧,8101=1厕。&=2=。氏即点。到点8与点用的距离相等,则,=2,所以该四棱台外接
球的表面积为16n,故D正确.
(2021年山西太原市三模)现有一个橡皮泥制作的圆柱,其底面半径、高均为2,将它重新制作
成一个体积与高不变的圆锥,则该圆锥的侧面积为().
A.6V3TTB.8V3TTC.8TTD.4V2n
答案》B
►根据题意,圆柱的体积—x22X2=8TI,
设圆锥的底面半径为。贝!J卜圆锥Wxnx/2x2=8n,解得r=2^,
所以圆锥的母线长/=V^F=4,所以该圆锥的侧面积Swr〃5x2Hx4=8Kn,故选B.
©重点2求空间几何体的体积
考向1直接利用公式求体积
(2021年新高考全国〃卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,
则四棱台的体积为().
A.竿B.56V2C.28V2D.学
►D
C
A
►如图,设上、下底面的中心分别为QQ过点所作员ML08于点例则
Q81=短08=2解8例=&,所以该棱台的高"=81M=g=夜,所以该四棱台的体积为*5上
跖)孚2⑷+标用萼故选D.
变式1本例中的条件不变,则该四棱台的表面积为
►20・12―
►侧面梯形的高为侧面梯形的面积为3g,故表面积为
375x4+22+42=20+1271
|变式21本例中,四棱台四条侧棱延长后交于一点?则几何体。乂8。的体积为
答案》写
►因为笔],所以几何体P-ABCD的高为2班,所以所求体积匕:x2V2xl6岑.
/1D4JJ
方法归纳I
公式法求空间几何体的体积:对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解.
考向2割补法求体积
(2021年江苏省高三模拟)某校开展社会实践活动,学生到工厂制作一批景观灯箱
(如图,在直四棱柱上加工,所有顶点都在棱上),灯箱最上面是正方形,与之相邻的四个面都是全等
的正三角形,灯箱底部是边长为a的正方形,灯箱的高度为10a,则该灯箱的体积为().
A.10HB.HC.等于D.等H
61224
.*■c
►因为灯箱底部是边长为a的正方形,灯箱的高度为10a,所以长方体的体积
*=5/7=10品
因为灯箱最上面是正方形,与之相邻的四个面都是全等的正三角形,
所以四个缺口相当于切掉了四个以白为侧棱长,且侧棱两两互相垂直的正三棱锥,
所以四个缺口的体积16=4月*〃月^军中・
JOL1Z
从而该灯箱的体积为片-14卷印.故选C.
割补法求空间几何体的体积:把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把
不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积.
考向3等体积法求体积
(1)
(2021年四川省高三模拟)如图,已知四棱锥。乂8。中,四边形力8。为正方形,平面
48。,平面APB,G为%上一点,且8GL平面力%/8=2,则三棱锥RZ8C体积的最大值为
().
AiB.空C?D.2
(2)(2021年广东省高三模拟)在五面体£片/8。中,正方形。乐所在平面与平面ABCD
垂直,四边形力自力为等腰梯形/例1。=。0=&7多8.若三棱锥46%的体积为竽,则线
段48的长为.
>(1)A(2)4
►Q)由题意知,平面平面力也则API.BC.
又由灰打平面/"C得API.8G.因为B6BG=B,
所以Z江平面08c所以BP'AP,
所以VP-ABC=VC-APB=^x^PA-PB-BC=^PAPB.
令%=6/8=〃则疗+加=4,所以口^="加〃4产竽=|,当且仅当"="=近时取等号,
所以三棱锥2/66■体积的最大值为|.
⑵取力6的中点。连接CO.
因为AD=DC=BC=^AB,AB\\CD,
所以四边形力。。为菱形,所以。=。4=。自所以“08为直角三角形,
所以ZC18C
因为正方形。江下所在平面与平面垂直,所以F2L平面ABCD.
设8。=%贝FO=%/8=2x由勾股定理得力。二百%故VA-BCE^VE-
布=拉.田$布=»8%=年月所以以皿=岩/*毒2等,解得x=2.所以AB=A.
3ZZ3263
等体积法求空间几何体的体积:一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.当一个几何体
的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变
形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三
棱推的体积.
(2021年江苏省高三模拟)一款多功能粉碎机的实物图如图所示,它的进物仓为正四棱台,已知
该四棱台的上底面边长为48cm,下底面边长为8cm,侧棱长为25V2cm,则该款粉碎机进物仓
的体积为().
A.11840V2cm3B.13760V2cm3
C.35520V2cm3D.41280V2cm3
►B
►画出满足题意的正四棱台Z8CO-481GA如图所示,
上底面481Gpi的边长为48cm,下底面Z8。的边长为8cm,侧棱0a=25鱼cm,
则反。if/482+482=48立cm,BD=\!Q2+82=8V2cm,
所以上底面的面积£=482cm,下底面的面积5=82cm2
过点8作BF±812于点。过点。作DEL于点E,
根据正四棱台的结构特征可知BF与都是该正棱台的高,且
22
EF=BD,B\F=EDi^^^=2距cm,SlitDE^DxD-DrE=lSy[2cm,
所以正四棱台/SOMi&GOi的体积l/=«S+5+历分。£=13760企cm3,
故该款粉碎机进物仓的体积为13760V2cm3.
(2021年湖北省高三模拟)已知三棱推有一个面是边长为2的正三角形,两个面为等腰直角三
角形,该三棱推的体积可能为.(只需要写出一个即可,不必全部写出)
V2/_ix2V3_*x2V2\
»可(或亍或T)
►如图所示,
靖力弘平面是边长为2的正三角形/8=2,则“82”比■都是等腰直角三
角形,满足题目条件,故其体积/4x2x|x2x2xsin6。°=竽.
诞Z6_L平面是边长为2的正三角形/8=短则"8。”纪都是等腰直角
三角形,满足题目条件,故其体积1/4吊x&*正考.
端是边长为2的正三角形,4/80力。都是等腰直角三角
形/8=纪=。=力。=2,40=2筒满足题目条件取ZU的中点£;则BE^AC.DE^AC^
BB+DR=8£乃所以5£±"即BE1.平面Z。故其体积1/=|*72,x2*2=苧.
........................过关•题组训练..............
对应专题训练卷第11页
基础过关
底面半径为1的圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为().
A.V3TTB.粤C.n
:»B
►设圆锥的母线长为/底面半径为。因为圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的
弧长,所以n/=2TT「=2TT,解得/=2,可求得圆锥的高力=8,所以该圆锥的体积
»="x12)xVs=乎.
故选B.
如图所示的等腰梯形是一个几何图形的斜二测直观图,其底角为45°,上底和腰均为1,下底为
夜+1,则此直观图对应的平面图形的面积为().
A.1+V2B.2+V2C.2+2eD.4+2四
►B
►:平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,.:平面图形
为直角梯形,且直角腰长为2,上底边长为L下底边长为平面图形的面积
H要x2=2+"制选B.
如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为().
A.4B.^C.|D.3
AB
»易知该几何体是由上、下两个全等的正四棱锥组成的,其中正四棱锥底面边长为
四,棱锥的高为1,
所以该多面体的体积々唱X(近产'1]=1
已知正四棱锥的底面边长为其外接球的表面积为36TT,则该正四棱推的体积为
().
A四BW
A3B-3
C.华D.%吟
►D
.正四棱锥户乂自。的外接球的表面积为36TT〃•.其外接球的半径/?=J誓=3.:底
面正方形的边长为画〃:底面正方形28。的外接圆的半径rf/l设正四棱锥。乂8。的高为
方厕32=(2-3)2+5解得h=s或2=1,.•.正四棱锥2/8。的体积l/=ixVToxVwx5=^aJi
l/=g*屈x屈xl号.故选D.
现有f圆柱和一个长方体,它们的底面积相等,高也相等,若长方体的底面周长为4,圆柱的体
积为8TI,则长方体的高h的取值范围是().
A.[2n,+吟B.[4n,+吟
C.[8n,+吟D.[16n,+双
»C
»设长方体的底面长为4宽为6,圆柱的底面半径为。则由题意知
a6E",a,6=2,n""=8iT,所以力吟聋当且仅当a=b=l时等号成立.故/?的取
MQb(a+b)”
值范围为[8TT,+8).故选C.
综合提升
6.
(多选题)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-Ai^C^中,例为4所的中点点户在侧面
8UG员所在平面上运动,则下列说法正确的是().
A.当P为UG的中点时/218例
B.当点夕在棱UG上运动时,/8々+/外遇勺最小值为百
C.若点户使得4082的面积为定值,则动点P的轨迹是圆
D.若点。到直线6U与直线G2的距离相等,则动点。的轨迹为抛物线
>AD
►选项A,如图②,过点尸作BBY的垂线,垂足为“连接力“易得PNLBM.ANl.BM,
又AM}PN=N,所以8/V近平面/也所以月故A正确;
选项B,将平面44GC与平面灰工所沿CG展开,如图渤
示,UBPl+lPAgn=d\AB\2+IAAi『=J(a+1)2+12=〃+2/,故B错误;
选项C,因为三角形082的面积为定值,以班为底,则底边长一定,从而可得点。到直线
82的距离为定值,分析可得,点户在以82为轴线的圆柱面与平面8CG房的交线上,且平面
8GG所与圆柱的轴线斜交,由平面与圆柱面的截面的性质判断,可得点P的轨迹为椭圆,故C错
误;
选项D,点。到直线G。的距离即点户到点G的距离,则点P到直线8U的距离等于它到
点G的距离,所以点尸的轨迹是抛物线,故D正确.故选AD.
已知底面边长为28的正三棱锥。乂6C的体积为百,且点4aU在球。上,则球的体积是
().
B.8TTC.20TlD.4V3n
A
►由题意知,正三棱锥的顶点正好是球心,底面三角形的外接圆为一个小圆.因为正
△Z6C的边长为2B,所以小圆半径r=2.因为,所以三棱锥的高、=1.设球。的半径为
/?,则月卡不京=其所以忆球=纸用=$1*(的尸=竽,故选A.
(多选题)在直三棱柱ABC-A^Cx中,各棱长均为2,“分别为线段28,481的中点,则().
A.平面力GG平面所上
3.CEWAF
C.直线〃与6所成角的余弦值为邛
D.该棱柱外接球的表面积为28TT
►AC
选项A,在直三棱柱2纪-48£中,各棱长均为2,“分别为线段48481的中点,所以
8/I3F且当尸二力£所以四边形是平行四边形,所以AFW反£因为APi平面氏CEBEu
平面81"所以4G平面81©因为CxC\\81811£尸且GC=&8=f£所以四边形G%C是平行
四边形,所以GG因为G8平面8c£6"上平面氏"所以GG平面瓦匕因为
力用GF=£所以平面4G&平面BKE椒A正确;选项B,因为是等边三角形,£是线段AB
的中点可得0心力氏由三棱柱为直三棱柱,可得力4,平面48C因为血平面力比;所以
力4,©因为24028=4所以平面28814,因为力丘平面力88/1,所以故B
错误;选项C,因为AFW无£所以N6F为异面直线力尸与CBi所成的
禽EBiZB+22=aW=2cos30"+Y=2■,由余弦定理可得
c。SNC81£=盘枭=蒜=孚,故C正确;选项D,设上、下底面的中心分别为Q,。,则三棱柱
2XV5X2V24V104
的外接球的球心。为的中点.设A/I8C外接圆的半径为。三棱柱的外接球的半径为尺则
/•=|在=竽,所以郎="0[°2丫=(竽?+1毛,所以三棱柱外接球的表面积为
4n#=4n*=等,故D建吴.故选AC.
菱形28。中/8=2WZ6U=60°,若将菱形48。沿对角线ZU折成大小为60°的二面角
8-/IL。则四面体A48U的外接球球。的体积为
答入噂
►如图,设例"分别为"8Gze。的外心上为ZC的中点,则EN=EM=^BE=1^-
面仇加内过点用作8F的垂线与过点/V作AF的垂线交于点
O..BE1.AC,DEX.AC,BET\DE=E,;.AC±平面BDE「OMu平面
BDE,.-.OM^AC,-.OM1.BE,BE[\AC=Er:OMX.Z8C同理可得平面力。则。为四
面体以80的外接球的球心.连接
OE,:EM=EN,OE=OE/OME=4ONE=90°,.»OM回ONE,;/OEM=3Q°,.A
cosJO3
UL平面平面BDE〃QELAC〃・QA70E2+AF等即球。的半径/?=苧.故球O
的体积1/=荻忏=星票.
创新情境
(多选题)《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部,其中将有三条棱互相平行且有一个
面为梯形的五面体称为"羡除",则().
A."羡除”有且仅有两个面为三角形
B."羡除"一定不是台体
C.不存在有两个面为的亍四边形的"羡除”
D."羡除”至多有两个面为梯形
答*ABC
E
A
B\'.X
3D
c
由题意知四边形为梯形,如图所示.选项A,由题意知"羡除”有且仅有
两个面为三角形,故A正确;选项B,因为为fII所以"羡除"一定不是台体,故B正确;选项
C,假设四边形48任和四边形8。尸为平行四边形,则AEWBFW。且4£=8/三的即四边形
力。£为平行四边形,与已知的四边形力。F为梯形矛盾,故不存在,故C正确;选项D,若
力后9■H。则"羡除”有三个面为梯形,故D错误.故选ABC.
实际应用
攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、
八角攒尖.如图所示的是重檐四角攒尖,它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥,若此正四棱锥的
侧面积是底面积的2倍,则此正四棱锥的底面边长与内切球半径的比值为.
»2V3
►
依题意,画出该正四棱锥,如图所示,。为底面中心,。为内切球的球心,。4平面PCD,且E为
。的中点,设内切球的半径为r,CD=2a,
■正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,.RSyoMZS正方形90
即4、标£8=2/℃。故PE=2a,^\"。川5己又浇嗤,.弓焉;即/•考,故乃=2百,
即正四棱锥的底面边长与内切球半径的比值为2a.
微专题07空间位置关系的判断与证明
近几年,高考试题的热点集中在以空间几何体为载体,考查与点、线、面位置关系有关的命题
的真假判断和求解异面直线所成的角,有时会涉及函数、不等式等知识,主要以选择题和填空题的
形式出现;涉及空间平行、垂直的证明的问题,常与几何体的表面积、体积相渗透,主要以解答题
的形式出现.要求考生有较强的直观想象能力和逻辑推理能力,并能广泛应用转化与化归思想.
........................核心要点整合.........................
-直线与直线的位置关系
1线线平行的判定
(1)平行公理:空间中平行于同一直线的两条直线平行.
(2)线面平行的性质:如果一条直线与平面平行,那么过这条直线的平面与已知平面的交线和
该直线平行.
(3)面面平行的性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
2.线线垂直的判定
Q)两条平行直线,若其中一条与某直线垂直,则另一条直线也与这条直线垂直.
(2)线面垂直的性质:若一条直线与平面垂直,则该直线与平面上的所有直线均垂直.
二、直线与平面的位置关系
L线面平行的判定定理
(1)若平面a外的一条直线/与平面a内的一条直线平行,则/Ha
(2)若两个平面平行,则一个平面内的任一直线与另一平面平行.
2.线面垂直的判定
Q)若直线/与平面a内的两条相交直线垂直,则/±a
(2)两条平行线中,若其中一条与平面垂直,则另一条直线也与该平面垂直.
(3)若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直.
三、平面与平面的位置关系
1.平面与平面平行的判定
Q)若一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则两个平面平行.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行.
2.平面与平面垂直的判定
若一条直线与一个平面垂直,则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直.
四、利用空间向量判断线面位置关系
1.刻画直线、平面位置的向量
直线:方向向量.
平面:法向量.
2.向量关系与线面关系的转化
设直线己6的方向向量分别为a,6,平面a3的法向量分别为刃/7(其中26在劣夕外).
(l)aiiZ>;(2)<3±Zx=>a±Z);(3)a±a<=>aiia^=>a±m;(5)aii(3<^m\\〃⑹aJ•2
amLn.
3.有关向量关系的结论
(1)若allb,b\\qMawc.
⑵若a^b.bwc,则aS-c.
⑶若a_Lb,b,c则a,c的位置关系不确定.
........................重点逐个突破................
对应学生分册第21页
©重点1空间线、面位置关系的判定
考向1空间线、面位置关系的判定
(1)(2021年新高考全国/卷)(多选题)在正三棱柱ABC-AxBrC^,AB=AAx=l,
点"满足BP=ABC+闹,其中Rd[0,1],则().
A.当A=1时,△力&P的周长为定值
B.当/J=l时,三棱锥P-48c的体积为定值
C.当力三时,有且仅有一个点月使得421BP
D.当〃毛时,有且仅有一个点4使得48,平面AB\P
(2)(2021年福建省高三三模)如图,在直四棱柱ABCD-A^C^Di
中,8cLCD.ABWCD,BC=^,AA!=AB=AD=2,^P,Q,R分别在棱B氏CQ,。。上,若4?Q/?四
点共面,则下列结论错误的是().
A.对任意点门都有AP\\QR
B.对任意点Q四边形4PQZ?都不可能为平行四边形
C.存在点月使得为等腰直角三角形
D.存在点月使得8G平面APQR
►(1)BD(2)C
►(1)
因为4=1,所以前=小+丽,则而=而瓦,故。是棱8上一点.将平面8UG%与平面
4CG4沿着CG展开在一个平面内,则“反"的周长为AP+B1P+0,因为81P会随着P
的位置而变化,所以△481P的周长不是定值,A不正确.
因为〃=L所以同理可知/是棱81G上一点.因为仇G"BCBCg平面4垢64=平面
48c所以反GII平面46c所以点。到平面46U的距离是定值.又A48U的面积也是定值所
以三棱锥户-48。的体积为定值,B正确.
如图所示以的中点。为坐标原点,射线。氐"分别为x轴/轴的正半轴建立空间直角
坐标系,设胡)必抽则5g,0,0),C(0,y,0),5i(|,0,l),A(4Al),BC=苧,01两=(0,0,1).
%0=.
因为力=/所以而弓前+〃西=(-;用小)=(/-、0,2())解得.V一包所以
y。-4,
2。=%
不=住,亨,林-1),令市,前=喘喘卯-〃=0,解得〃力或〃=LC不正确.
-1-A
工。=~f
因为〃=g,所以BP=48C=(-g,苧4)《々,-2心/。),解得,%=苧所以
/O=g
V3A2-A
1X1+0*0+1x(-l)H),所以有且仅有一个点月使得48,平面A^P.D正确.
(2)对于A,因为直四棱柱ABCD-A^C^ABWCD,
所以平面48814II平面AUG2,又因为平面ZPQATI平面ABBiAi=48平面力不如平面
DCC0二Q尺所以APWQ尺故A正确;
对于B,若四边形/PQ/?为平行四边形,则ARWQP.
而力。与6C不平行,即平面力。24与平面8UG81不平行,
且平面ZPQ?D平面6UG8i=PQ平面ZQQ/TI平面ADDiAx=AR,
所以直线OQ与直线,/?不平行,与/AllQP矛盾,
所以四边形4PQZ?不可能是平行四边形,故B正确;
对于G假设存在点?使得△/!依为等腰直角三角形,令BP=x,
过点。作OELAB于点£则。£=8。动,在线段。/?上取一点例使得DM=BP=x港接
8。0例贝1]四边形8。例,为矩形,所以MP=BD=2,
则
PR=7PM2+MR2=J4+(DR-X)2,AP=7PB2+AB?^y/4+x2,AR^y/DR2+AD2Z4+。炉,显然
AR*PR,AP^PR,
若/"=力尺则DR=BP=xmBPW。尺则四边形8伙。为平行四边形,
所以RP=DB=2MAPZa+2R无解,故C错误;
对于D,当80=UQ且点R与点。重合时,满足8。[平面APQR椒D正确.
搬C.
Q)异面直线的判定可采用直接法或反证法;(2)对于线面、面面平行与垂直的位置关系的判
定,可构造长方体或正方体,化抽象为直观再去判断,可避免因考虑不全面而导致错误,构造法实质
上是结合题意构造符合题意的直观模型,然后利用模型直观地做出判断.
考向2求两条异面直线所成的角
【例2】
(2021年山东省高三三模)如图,43为圆锥底面的直径,点。是底面圆。上异于48的动点,
已知。4二通,圆锥侧面展开图是圆心角为HTT的扇形,当PB与比所成的角为々时与4U所
成的角为().
A5B*C.HD称
答涔C
s雕侧甘俑T/解得1=2或/=0(舍去),“6与80所成的角为担PB=PC,.-.BC=2I
在Rt"8C中,ZC=2叵
作8。/。与圆。交于点。连接则四边形Z3。为平行四边形,8。=力C=2a,连接
P。则“8。为由与4U所成的角,
在△PBD中,"。=。8=2,可得PDX.PB,
"PBD=.
4
用平移法求异面直线所成的角的步骤
(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.
(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角.
(3)三求:解三角形,求出所作的角.若求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;若求出的角是
钝角,则它的补角才是要求的角.
(2021年新高考全国〃"卷)(多选题)如图,下列各正方体中,。为下底面的中点,M/V为顶点户为
所在棱的中点厕满足MN,。。的是().
不妨设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系.
对选项A,M2,0,2),M022),QLL0),H0,2,l),
.•丽=(-2,2,0),丽=(-1,1,1),
•.WN-OP=4手0";MN与。户不垂直,A错误;
对选项B,M0,0,2),M2,0,0),0(1,1,0),^2,0,1),
.-.Miv=(2,0,-2),0?=(1,-1,1),
:丽•而=G,..MN1.OP,3正确;
对选项C,M222),M0,2,0)Ol,l,0),H0,0,l),
.:丽=(-2,0,-2)而=(-1,-1,1),
:=Q,..MN1.OP,C正确;
对选项D,M022),M0,0,0),QLL0),H2,L2),
.-MN=(0,-2,-2),0?=(1,0,2),
"•丽・丽=4H0,.:用“与不垂直,D错误.
故选BC.
(2021年黑龙江省高三模拟)如图,在正方体ABCD-AM必中,例/V分别为4C48的中点,
则下列说法错误的是().
KMN2.CD
B.直线例/V与平面力自力所成的角为45°
C./VWII平面
D.异面直线MN与OS所成的角为60°
►D
►连接则/⑦
,•四边形48。为正方形,
•:例为班7的中点,
又N为48的中点,.•.用Ml4。
・4比平面ADDiA3MNl平面ADDiAy,
.:例Ml平面故C正确.
:COJ"平面力。24,4正平面ADDiAi,.-.CD±A\D,
又MN\\AXD,..CD1.例2故A正确.
•.力4,平面..例AZ与平面48C。所成的角即N4〃4
:N4%=45°,.•.例/V与平面/8Q?所成的角为45°,故B正确.
...MN\\AQ,MN与DDi所成的角即
又N5DAI=45°」MN与。。所成的角为45°,故D错误.
◎重点2空间中平行与垂直关系的证明
考向1线面平行与垂直
【例3】
(2021年全国甲卷)已知直三棱柱/8L4员G中,侧面44房8为正方形,48=80=2,£尸分
别为4CCG的中点,6£14瓦.
Q)求三棱锥尸-£86•的体积;
(2)已知。为棱4所上的点证明:84DE.
►(1)如图所示,连接力£
由题意可得,8/TBC2+CF2f/T7I=V^,由8£J_48I,/8II48L得BF^AB,
由于ABl.8氏,BFLAB,BBiCBF=B,所以28J•平面BCQBi,
而8G平面8UG所,所以ABJ.%力歌为等腰直角三角形,S皿毛£板x2x
2)=1,VF-EBC孝"BCECF=^x\xl=1
(2)由⑴的结论可将几何体补全为一个棱长为2的正方体力如例-48石帆如图所示,分别
取棱/例8U的中点〃G连接A'H.HGGBY,
在正方形比C8i中,G尸分别为棱的中点厕6d81G又8a4S,4&n8iG=8i,
故84平面481G〃而。氏平面4&G〃所以BFLDE.
变式1
A
(2021年新高考全国2卷)如图,在三棱锥48。中,平面/&ZL平面BCD,AB=ADQ为8。的
中占
Q)证明:
(2)若A。。?是边长为1的等边三角形,点F在棱4。上,。£二2£4,且二面角G8U-。的大小
为45°,求三棱锥46。的体积.
►Q)因为AB=ADQ为8。的中点,
所以
又平面28。,平面平面28m平面BCD=BD,且4上平面ABD,
所以ZOJL平面8C2
又。纪平面BCD,
所以。4_LQ2
(2)若A。。是边长为1的等边三角形,
贝[]OB=OC=OD,^BOC=1^°-60°=120°,
zOBC=a005=30°/8。-90°,
过点£作£7」8。垂足为£过点尸作FHWDC交8c于点H,
则易知日X。所以£7」平面8。即EEL8C且HF1BC,
因为EFT\HF=F,
所以8d平面呻则二面角68C-。的平面角为NFH尸=45°,且EF=HF.
又因为替2H器喘磊=|,所以DF^,BF=l,
由常嗡相〃尸=用=|,所以4。=1,
LUDU3
由勾股定理得BCZBD2-CD2=V3,
故三才睡46。的帽只V^-AOS.BCD^
55Zo
已知直三棱柱ABC-AyByCx中,侧面24Sb为正方形上为力右的中点,。为棱4所的中点,求
证:。日I平面BYBCCX.
►如图所示,取棱8c的中点G连接EG,GB\,
所以EGQDBx,
所以四边形EG&Z?为平行四边形,所以DEWG&,又DEZ平面瓦BCQ
所以0G平面ByBCCi.
证明直线与平面的平行与垂直问题,一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直的判定定理和
性质定理,切记不可缺少条件.证明直线与平面平行有两种方法:一是在面内找一条直线与该直线
平行;二是通过面面平行转化.证明直线与平面垂直的关键是在平面内找两条相交直线与该直线垂
直.
考向2面面平行与垂直
【例4】
(2021年黑龙江省高三一模)如图,在三棱柱ABC-AxBxCx
a
^,CA=CB,CD±AB,AB=AA1,^BAAx=^.
Q)求证:平面46C1平面AiCD.
(2)若平面28cL平面44&8/8=08=2,求三棱柱/6L481G的体积.
►(1)
■.CA=CB,CD^AB,
.Q为28的中点
如图,连接48由/8=/4/必4=60*得△4/8为等边三角形,
.•.4。,48又.平面AiCDlAiDT\CD=D,
.•./91_平面AiCD.
又:力8u平面•.平面为8cL平面AiCD.
(2)由(1)得
平面/8C1平面818平面/8CTI平面//i8i6=/氏/iZ>=平面/4氏氏.二4。,平面
ABC.
由A4Z8是边长为2的等边三角形相AiD当X2=6.
由C4=C8=/8=2,得A/8U是等边三角形,
贝[IS.:ABC=^x22-'j3.
于是匕BC-AIBIG=£/8。4〃=>/5*>后=3.
证明平面与平面的平行与垂直问题,一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直的判定定理和
性质定理,切记不可缺少条件.证明平面与平面平行关键是在一个平面内找两条相交直线分别平行
于另一个平面;证明平面与平面垂直可以从二面角入手,也可以从线面垂直进行转化.
(2021年安徽省高三一模)如图,在四棱锥P/8C。中,底面48。是平行四边形,侧面PBC是正
三角形小是的中点,且力£1平面PBC.
⑴求证/Dll平面Z上
(2)若力九4月PC=2,求点P到底面力&75的距离.
►⑴如图,连接BD交ZC于点。连接OE,,.底面28。是平行四边形,.。为8。的
中点又E为的中点〃.OM也且OE^PD.
:。正平面ACE.PDZ平面ACE,.-.PD\\平面ACE.
⑵X8J_%PC=2恻面"比■为正三角形上是的中点,
.:"8=2厕AB=^2,AE=l,5i/£L平面P8CC上平面PBC,.'.AE1.CE.
..AC^JAE2+EC2=2,
.:A/8U是底边为夜泊要为2的等腰三角形,
贝!JS./48UWXV2xjz?-(号)=a
设点P到底面/8C'的距离为d由VP-ABC=VA-PBC^^S^ABCCI^S^PBCAE,
・3一SMPMAE_2X2X6X1_2V2l
・"一~~~~
2
故点Q到底面46。的距离为第.
2.
(2021年安徽安庆市高三一模)在四棱锥。乂8。中,平面以。,平面ABCD.ABW。且
ABlAD,PA=CD=2AB=2,AD=PD=yTi,E为的中点.
⑴求证:以J_平面CDE.
(2)求点£到平面PO的距离.
解朴(1)
如图所示,取PA的中点£连接/年贝(I"IlZ氏因为力冽。,所以EFW。从而有EFCQ
四点共面,
又AD=DP^尸为力"的中点,所以PA±DF,
又平面外平面28。平面以6平面ABCD=AD,^_Z反L/。即。由面面垂
直的性质定理得。,平面PAD,
从而PA±。又81。尸=。所以以_L平面CDE.
(2)由Q)知EFW。故点F到平面尸。的距离即点尸到平面户。的距离.
过点尸作FH工PD,因为C2L平面2W,所以FH±CD题例_1平面PCD,
在中万=1,9域,则从而FH等当
故点£到平面夕。的距离为苧.
........................过关•题组训练..............
对应专题训练卷第13页
基础过关
在我国古代数学名著《九章算术》中,将由四个直角三角形组成的四面体称为"鳖月需”.已知在
三棱推P-Z6C中,以,平面ABC.
(1)从三棱锥中选择合适的
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