任意角三角函数Microsoft PowerPoint 幻灯片

三角函数一轮复习8.17---8.18

k·360°＋α(k∈Z)

象限角一.角的概念×××××√l例2半径长

圆心角

负

零．

|α|r

二、弧度制例3.如果一扇形的周长为20cm，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？解：3.三角函数的定义锐角三角函数正弦余弦正切推广任意角三角函数正弦余弦正切余割余切正割类比定义在初中我们是如何定义锐角三角函数的？

复习回顾ObaMPc1.2.1任意角的三角函数3.任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__，cosα＝__，tanα＝__.xoP(x,y)1.三角函数是以实数为自变量的函数()→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）实数【判断】√2.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点P（x，y）在终边上的位置无关.（）【判断】√3.任意角的三角函数的定义揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现.（）5.可将求任意角的三角函数值，转化为求0～（或0°～360°)范围内的三角函数值.（）

4.终边相同的角的同名三角函数值相等（）【判断】√√√x轴

原点

正弦线

余弦线

正切线．例4函数y=++

的值域是()(A){－1，1}(B){－1，1，3}(C){－1，3}(D){1，3}C【思路】首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围．【变式训练】(甲)再见R

R

(2)三角函数在各象限的符号是：sinαcosαtanαⅠ_________Ⅱ_________Ⅲ_________Ⅳ_________图14．三角函数线如图1所示，正弦线为

；余弦线为

；正切线为

.＋＋＋＋－－－－＋－＋－MPOMAT叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=；叫做角α的正切，记作tanα，即tanα=任意角的三角函数:叫做角α的余弦，记作cosα,即cosα=；它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。终边相同的角，三角函数值分别相等。角α的其他三种函数：角α的正割：角α的余割：角α的余切：

我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．下面我们研究这些三角函数的定义域：xoP(x,y)三角函数定义域RR比值不随P点位置的改变而改变(5)－300°角与60°角的终边相同．(6)若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A＝B.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)×2．点P(sin2015°，cos2015°)位于第________象限．答案三知识梳理基础自查1．角的定义：由一条射线绕着端点旋转而成，其中旋转开始时的射线叫始边，射线的端点叫顶点，正角的形成是由逆时针旋转，负角的形成是由

旋转．当射线不转时也形成一个角，这个角是

．顺时针零角1．角的概念(1)象限角：角α的终边落在

就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限．(2)终边相同的角：

．(3)与α终边相同的角的集合为____________________________．第几象限两角的终边重合{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}(4)各象限角的集合为Ⅰ象限：_____________________________________，Ⅱ象限：__________________________________________，Ⅲ象限：_____________________________________________，Ⅳ象限：

．{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}2．弧度制(1)什么叫1度的角：______________________________________________．(2)什么叫1弧度的角：___________________________________________．把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角(3)1°＝

弧度；1弧度＝

度．(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝

，面积S＝

＝

.|α|·r第1讲三角函数的概念1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．5．任意角的三角函数：P(x，y)为角α终边上的任一点，它与原点的距离为r(r＞0)．请填下表：6．三角函数值在各象限的符号

由三角函数的定义，可将三角函数值的符号简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．7．三角函数线三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线联动思考想一想：终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？答案：终边相同的角不一定相等，它们相差2π的整数倍．议一议：锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？答案：第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角，但它们不是锐角．小于90°的角也不一定是锐角，如0°，－30°，都不是锐角．1.角的概念的推广(1)正角、负角和零角:一条射线绕顶点按①逆时针

方向旋转所形成

的角叫做正角,按②顺时针

方向旋转所形成的角叫做负角.如果射线知识梳理没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做③零角

.(2)象限角:以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的正半轴,建立平面直

角坐标系,这样,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角.

终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限.(3)与角α的终边相同的角的集合为④

{β|β=k·360°+α,k∈Z}

.2.角的度量(1)1弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.(2)弧度制与角度制的关系:1度=⑤

弧度(用分数表示),1弧度=⑥

度(用分数表示).(3)弧度制下的弧长公式:l=⑦|α|r

.(4)弧度制下的扇形面积公式:S=

rl=

|α|r2.3.任意角的三角函数的定义设角α的终边上任意一点的坐标为P(x,y)(除原点),点P到坐标原点的距离

为r(r=

),则sinα=⑧

,cosα=⑨

,tanα=⑩

.4.三角函数的定义域在弧度制下,正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是

R

、

R

、

α

α≠

+kπ,k∈Z

.5.三角函数线设角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴于点M,则有向线段MP

叫做角α的正弦线,有向线段

OM

叫做角α的余弦线;过点A(1,0)作单位圆的切线交角α的终边或其反向延长线于点T,则有向线段AT叫做角α的

正切

线.6.三角函数的符号规律第一象限全“+”,第二象限正弦“+”,第三象限正切“+”,第四象限余

弦“+”.简称:一全、二正、三切、四余.7.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:

sin2α+cos2α=1

;(2)商数关系:

=tanα

.8.诱导公式正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号：（1）正弦函数值的符号与y的符号相同；余弦函数的符号与x的符号相同；（2）三角函数正值口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．组数一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α

-α

+α正弦

sinα

-sinα

-sinα

sinα

cosα

cosα余弦

cosα

-cosα

cosα

-cosα

sinα

-sinα正切

tanα

tanα

-tanα

-tanα

口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1、任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。OABα2、正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角。3、(1)象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。3、(2)轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限，我们称之为轴线角。4、终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；终边相同的有无数多个，它们相差360°的整数倍。象限角的表示第一象限第二象限第三象限第四象限解：（1）因为当α=0时，x=r，y=0.所以例3.求下列各角三角函数值：（1）0；（2）π；（3）sin0=0，cos0=1，tan0=0，（2）因为当α=π时，x=－r，y=0.所以sinπ=0，cosπ=－1，tanπ=0，（3）因为当α=时，x=0，y=－r.所以sin=－1，cos=0，tan不存在5、弧度制1、1弧度的角3、换算公式2、弧长公式规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；问题：一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？演示6、弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零；角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数R之间建立一种一一对应的关系。用弧度制表示角时，不能与角度制混用。典型例题

各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；例1.若α是第三象限的角，问α/2是哪个象限的角?2α是哪个象限的角?例题示范终边相同的角一定相等第一象限的角都是锐角锐角都是第一象限的角小于90°的角都是锐角例1(1)下列各命题正确的是C例题示范例4(3)已知集合Ｍ＝{第一象限角},N＝{锐角},P＝{小于90°角},则下列关系式中正确的是D

考向一象限角的判定【答案】

①四②二③2α是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角4．sin2·cos3·tan4的值(

)A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A迁移发散1．如果sinα·tanα＜0，且sinα＋cosα∈(0,1)，那么角α终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限