数学必修二空间两点间的距离公式练习题

数学必修二空间两点间的距离公式练习题

学校：班级：姓名：考号：

1.若在空间直角坐标系。一孙Z中，已知点4(2,2,1),点M在z轴上，且|川町=2企,

则点M的坐标为()

A.(0,0,-1)B.(0,0,1)C.(0,0,-3)D.(0,0,3)

2.若4(1,3,—2)、8(-2,3,2),则4、B两点间的距离为()

A.V61B.5C.25D.V57

3.在空间直角坐标系中点Q(l,4,2)到坐标原点的距离为()

A.21B.3C.V7D.V21

4.设B点是点4(2,-3,5)关于平面%Oy的对称点，则|AB|=()

A.10B.V10C.V38D.38

5.在空间直角坐标系中，已知三点4(1,0,0),8(1,1,1),C(0,1,1),则三角形

ABC是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

6.到点4(1,1,1)、B(-l,-1,—1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标满足()

A.%+y+z=—lB.x+y+z=0C.x+y4-z=1D.x+y+z=3

7.点P(l,2,z)到点4(1,1,2)、B(2,1,1)的距离相等,则z等于()

13

A.-B.-C.lD.2

22

8.在空间直角坐标系Oxyz中，若y轴上点M到两点P(l,0,2),Q(l,—3,1)的距离相等,

则点M的坐标为()

A.(0,1,0)B.(0,—1,0)C.(0,0,3)D.(0,0,-3)

9.已知火一3,4,0),8(2,-1,5),点P在z轴上，且|PA|=|PB|,则点P的坐标为()

A.(0,0,|)B.(0,0,|)C.(0,0,i)D.(0,0,1)

10.在空间直角坐标系中，点4(1,4,2)和B(-3,-2,1)之间的距离为()

A.9B.V41C.VHD.V53

11.空间直角坐标系中，点4(一3,-4,5)和点B(2,-1,6)的距离是.

12.已知点4(3,3,5),B(l,-1,3),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离为

13.空间直角坐标系中，点M(2,-1,3),N(-l,1,2)则|MN|=.

14.己知4(1,2,3),B(6,7,8),则网=.

15.M为z轴上一点，M到4(1,0,2)、0(1,-3,1)的距离相等，M的坐标为

16.空间两点4(1,2,3)与B(-l,0,1)的距离为.

17.已知三角形4(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则①过4点的中线长为

:②过B点的中线长为；金过C点的中线长为.

18.若0(0,0,0),P(x,y,z),且|OP|=1,则好+于+=1表示的图形是

19.在空间直角坐标系中,点0(0,0,0),点4(1,1,1)和点8(3,4,5)构成的△OAB的面

积是.

20.点M(4,-3,5)到原点的距离d=,至Uz轴的距离d=.

21.已知点4(—4,—1,—9),B(—10,1,-6)>C(—2,—4,—3),判断△ABC的形状.

试卷第2页，总23页

22.已知坐标平面yOz上一点P满足：①三坐标之和为2；②到点4(3,2,5)、

B(3,5,2)的距离相等.求点P的坐标.

23.如图所示的三棱柱力BC-AiBiG中，阴1平面4BC,AB1BC,BC=

V5,B]C的中点为0,若线段上存在点P使得P。，平面ABiC.

(2)求二面角A-BiC-4的余弦值.

24.如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2,

(1)求正方体各顶点的坐标;

(2)求41c的长度.

25.在空间直角坐标系中，解答下列各题：

(1)在x轴上求一点P,使它与点心(4,1,2)的距离为同；

(2)在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1)的距离最小.

26.已知两点的极坐标为/(35),B(3与，求4、B两点的距离.

27.(1)若两条曲线的极坐标方程分别为p=1与p=2cos(0+》，它们相交于4,B

两点，求线段4B的长.27.

点.求线段AB的长.

28.已知两点的极坐标为力(3,*B(3,y),求4、B两点的距离.

29.已知点A(x,5—x,2x—1),B(l,x+2,2—x),求4B的最小值.

30.如图建立空间直角坐标系，已知正方体ABCD-4BiCiZ)i的棱长为1,点P是正方体

对角线DiB的中点，点Q在棱CG上.

(1)当2|GQ|=|QC|时,求|PQ卜

(2)当点Q在棱CQ上移动时，探究|PQ|的最小值.

31.金红石(7702)的晶胞如图所示，图中色点代表钛原子，黑点代表氧原子.长方体的

8个顶点和中心是钛原子,4个氧原子的位置是4(0.31a,0.31b,0),B(0.69a,0.69心0),

C(0.81a,0,0.5c)和。(0.19a,0.81ft,0.5c).中心处钛原子与4处氧原子间的距离叫做键

长.当a=b时，试求键长.

试卷第4页，总23页

32.已知4(1,0,1),B(l,2,1),C(2,2,4),求△ABC的面积.

33.已知点M(-l,1,-2),平面乃过原点0,且垂直于向量％=(1,-2,2).求点M到平

面兀的距离.

34.在空间直角坐标系中，已知点4(1,2,4),点8与点A关于y轴对称，点C与点4关于

平面xOz对称，求点B与点C之间的距离.

35.在Z轴上求一点M,使点M到点4(1,0,2)与点B(l,-3,1)的距离相等.

36.求函数y=V%2+9+—8x+41的最小值.

37.设4(1,一2,x),B(x,3,0),C(7,%6),且A,B,C三点能够成直角三角形,求「

的值.

38.已知△ABC的顶点4(1,0,1),B(2,2,2),C(0,2,3),求△ABC的面积.

39.给定空间直角坐标系，在%轴上找一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为同.

40.已知向量£=(6,3,4)和直线垂直，点4(2,0,2)在直线上，求点(—4,0,2)到直线

的距离.

参考答案与试题解析

数学必修二空间两点间的距离公式练习题

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

1.

【答案】

B

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

由点M在z轴上，设M(0,0,z),由点4(2,2,1),|4M|=2四，知J4+4+(z—1)2=

2a,由此能求出点M的坐标.

【解答】

解：点M在z轴上，设M(0,0,z),

,/点4(2,2,1),|4M|=2近，

J4+4+(z-1)2=2或,

解得z=l,

.♦.点M的坐标为M(0,0,1),

故选B.

2.

【答案】

B

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

根据空间坐标系中两点之间的距离公式，代入点4、B的坐标加以计算，可得|4B|的值.

【解答】

解：V4(1,3,一2)、5(-2,3,2),

•••根据空间两点间的距离公式，

可得|4B|=一(-2)产+(3—3尸+(-2—2尸=5.

故选：B

3.

【答案】

D

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

空间直角坐标系中点Q(x,y,x)到坐标原点的距离：d=^x2+y2+z2,由此能求出点

(2(1,4,2)到坐标原点的距离.

【解答】

解：空间直角坐标系中点Q(l,4,2)到坐标原点的距离：

d=V12+42+22=vn.

故选。.

4.

【答案】

试卷第6页，总23页

A

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

点B是点4(2,-3,5)关于平面xOy的对称点，得到B的横标和纵标与A相同，而竖标与A

相反，写出B点的坐标，根据直线4B与Z轴平行，利用竖标之差的绝对值，得到结果.

【解答】

•.•点B是点4(2,-3,5)关于平面xOy的对称点，

/.B的横标和纵标与4相同，而竖标与4相反，

二8(2,-3,-5),

...直线4B与z轴平行，

[4B|=5-(-5)=10,

5.

【答案】

A

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

由空间两点间距离公式分别求出三边长，再由勾股定理能判断三角形的形状.

【解答】

解:V三点4(1,0,0),B(l,1,1),C(0,1,1),

\AB\=7(1-I)2*67+(0-l)2+(0-l)2=VL

\AC\=V(0-I)2+(1-0)2+(1-0)2=V3,

\BC\=V(0-l)2+(1-l)2+(1-l)2=1,

AC2=AB2+BC2,

：.三角形ABC是直角三角形.

故选:A.

6.

【答案】

B

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

由题意得14cl=|BC|,利用空间两点间的距离公式代入4、B、C的坐标，得到关于X、

y、z的方程，化简整理即可得到点C坐标满足的关系式.

【解答】

解：♦.•点C(x,y,z)到点A(l,1,1)、8(-1,-1,-1)两点的距离相等，

\AC\=\BC\,

即J(x—1尸+(y-+(z—1尸=7(x+l)2+(y+l)2+(z+l)2,

两边平方，整理得/+yz+z2-2x-2y-2z+3=x2+y2+z2+2x+2y+2z+3,

化简得％+y+z=O,即为点C的坐标满足的关系式.

故选：B

7.

【答案】

C

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

利用已知条件列出方程求解即可.

【解答】

解：点P(l,2,z)到点4(1,1,2)、B(2,1,1)的距离相等，

，J(1-1)2+(2-1)2+(Z_2)2=V(l-2)2+(2-l)2+(z-l)2,

即Jl+(z—2产=，2+(z—1)2,

解得z=1.

故选：C.

8.

【答案】

B

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

根据题意，设出点M的坐标，利用|MP|=|MC|,求出M的坐标.

【解答】

解：根据题意，设点M(0,%0),

\MP\=\MQ\,

+y2+4=Jl+(y+3>+1,

即y2+5=yz+6y+ll,

/.y=-1,

点M(0,-1,0).

故选：B.

9.

【答案】

A

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

根据点P在z轴上，可设点P(0,0,z),再利用两点间的距离公式即可求出.

【解答】

解：•.•点P在z轴上，

可设点P(0,0,z).

,/\PA\=\PB\,

：.J(-3)2+42+z2=J22+(-1)2+(5-Z)2,化为2z=1,解得z=i

.♦.点P的坐标为(0,0,手.

故选:A.

10.

【答案】

D

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

此题暂无解析

试卷第8页，总23页

【解答】

此题暂无解答

二、填空题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

11.

【答案】

V35

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

本题已知空间中两点的坐标，直接代入公式求两点之间的距离即可

【解答】

解:由公式点4(—3,-4,5)和点8(2,-1,6)的距离是:

7(-3-2)2+(-4+I)2+(5-6)2=V35.

故两点间的距离是局.

故答案为：V35.

12.

【答案】

2V5

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

利用中点坐标公式可得点M的坐标，再利用两点间的距离公式可得|CM|.

【解答】

解：由中点坐标公式可得M(等，当，等)，即(2,1,4).

\CM\=J22+(1-以+42=2V5.

故答案为2遍.

13.

【答案】

V14

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

根据空间坐标系中两点之间的距离公式，结合题中点M、N的坐标加以计算，可得

|MN|的值.

【解答】

解：V点M(2,-1,3),N(-l,1,2),

，根据空间两点间的距离公式，

可得|MN|二,(一1一2尸+(1+1尸+(2-3尸=旧.

故答案为：V14

14.

【答案】

5V3

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

根据空间坐标系中两点之间的距离公式，代入点4、B的坐标加以计算，可得|AB|的值.

【解答】

解：V4(1,2,3),B(6,7,8),

/.根据空间两点间的距离公式，

可得|4B|=J(1-6汁+(2-7>+(3-8尸=5V3.

故答案为：5V3

15.

【答案】

(0,0,-3)

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

设出M的坐标，利用M到4(1,0,2)、B(l,-3,1)的距离相等，建立方程，即可求得M

的坐标.

【解答】

解:设M(0,0,t),则

,/M到4(1,0,2)、B(l,-3,1)的距离相等,

/.1+(t-2)2=1+9+(t-I)2

t=-3

M的坐标为(0,0,-3)

故答案为:(0,0,—3)

16.

【答案】

2A/3

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

由空间坐标系内两点间的距离公式，结合题中A、B两点的坐标加以计算，可得答案.

【解答】

解：V点4(1,2,3),8(—1,0,1),

力、B之间的距离|4B|=—1尸+(0-2尸+(1-3尸=2场.

故答案为：2百

17.

【答案】

2ai,|vn弩

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

根据所给的三角形的三个顶点坐标，利用中点坐标公式得到三边中点的坐标，根据中

点坐标和三个顶点的坐标，利用两点之间的距离公式，得到结果.

【解答】

解：设AB的中点E,BC的中点尸，AC的中点G,

,/三角形4(2,-1,4),8(3,2,-6),C(5,0,2),

•••£翳,_1),F(4,1,-2),G(p3)

试卷第10页，总23页

[4尸|=2VH,|BG|=?，|CE|=半，

故答案为：2g；噜苧

18.

【答案】

以原点。为球心，以1为半径的球面

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

由题意可知，直接说明P的轨迹图形即可.

【解答】

221

解：。(0,0,0),P(x,y,z),且|OP|=1,A/(x-0)+(y-0)+(z-0)=1,

即/+V+z2=l,所以久2+/+22=1表示的图形是：以原点。为球心，以1为半

径的球面.

故答案为：以原点。为球心，以1为半径的球面.

19.

【答案】

V6

T

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

利用空间两点距离公式，求出三角形两边的长度，以及夹角，然后求出三角形的面积.

【解答】

解：:点。(0,0,0),点4(1,1,1)和点点(3,4,5),

/.\OA\=V14-1+1=>/3,

\OB\=J(3—0)2+(4-0)2+(5-0)2=750=5^2,

sn1zTxI1I1X3+1X4+1X52x<6

cos〃lOB=I。川|0B|=•-济涯一=—.

sir\Z.AOB—V1—cos2Z.AOB=1,

三角形的面积为：i|0>l||0B|sinZ>10B=^XV3x5V2xi=y.

故答案为:当

20.

【答案】

5V2,5

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

直接利用空间两点间的距离公式，求出点M(4,-3,5)到原点的距离d,写出点

”(4,-3,5)到z轴的距离d,即可.

【解答】

解：由空间两点的距离公式可得：点M(4,-3,5)到原点的距离d=到2轴的距离

d=J42+(—3)2+52=5鱼，点M(4,-3,5)到z轴的距离

d=J42+(-3尸+(5-5尸=5

故答案为：572；5

三、解答题(本题共计20小题，每题10分，共计200分)

21.

【答案】

解：V4(1,-2,11)、8(4,2,3),C(6,-1,4),

\AB\=J(-4+10)2+(—1-1/+(-9+6,=7,

\BC\=«-10+2尸+(1+4)2+(-6+3尸=4V5,

|砌=,(—4+23+(11+43+(—9+33=7,

由此可得：\AC\=7=\AB\,得AABC是等腰三角形.

【考点】

三角形的形状判断

空间两点间的距离公式

【解析】

根据空间坐标系中两点之间的距离公式，分别算出4B、BC、4c的长，发现14cl=

\AB\,从而得解.

【解答】

解：V4(1,-2,11)、8(4,2,3),C(6,-1,4),

\AB\=J(-4+10)2+(一1一1产+(-9+6,=7,

\BC\=，(一10+2产+(1+4)2+(—6+3产=4V5,

\AC\=，(一4+2)2+(二1+4尸+(-9+3尸=7,

由此可得：\AC\=7=\AB\,得△ABC是等腰三角形.

22.

【答案】

解:设P(0,y,z).三坐标之和为2,y+z=2…①

•/\PA\=\PB\.

/.J(0-3'+(y-2-+(z-5-=7(0-3)2+(y-5)2+(z-2)2...@

解①①)得y=l,z=1.

•••P(0,1,1).

【考点】

空间两点间的距离公式

空间中的点的坐标

【解析】

利用两点间的距离公式，列出方程组求解即可.

【解答】

解：设P(0,y,z).三坐标之和为2,...y+z=2…①

\PA\=\PB\.

/.J(0-3)2+(y—2)2+(Z-5)2=7(0-3)2+(y-5)2+(z-2)2...@

解①。得y=1,z=1.

•••P(0,1,1).

23.

【答案】

解：(1)设的长为t,依题意可知B4,BC,BBi两两垂直，分别以近，BBltBA

试卷第12页，总23页

的方向为％y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.

则4(0,0,t),C(V3,0,0),81(0,1,0),Cl(启1,0),

。鸵,0)，4(0,1，t)，

因此SC=(b1,0),AC=(V3,0,-t),4G=(次,0,—t),

设力;P=/L4，i=(V3A,0,-At),易求得点P的坐标为(遮A,Lt-")，

所以OP=t—4t),

因为OP_L平面AB】C,

OP-BrC=V3xV3fA-1=0

所以<TT2/2,

[OP-Tie=V3XV3(A-1)-t-t(l-A)=0

解之得|42'

所以AB的长为当

(2)由(1)可知，OP=d，9)是平面ABiC的一个法向量,

且B；C=(我,一1,0),=(0,0,y),

设平面A/C的法向量为宗则=°=而1以为(1,6,0),

n-Bi&=0

T-»工2H—

cos(OP,n)=OPn__V6

|OP||n|2x乎3

因为二面角A—BrC-4为锐角，故所求二面角4—BXC-4的余弦值为半.

【考点】

二面角的平面角及求法

空间两点间的距离公式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)设48的长为3依题意可知84,BC,两两垂直，分别以后，通,BA

的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.

则A(0,0,t),C(V3,0,0),Bi(0,1,0),C",l,0),

O(y,1,0),4(0,l,t),

因此B；C=(6,TO),AC=(V3,0,-t),=(V3,0,-t),

设4；P=AA^Cr=(V3A,易求得点P的坐标为(6尢

所以OP=(V5A-t—,

因为OP，平面4B1C,

fflP-=V3XV3fA-i)-i=0

所以＜_12/2

(OP•/IC=V3xV3-1)-t-t(l-2)=0

解之得

所以48的长为手.

(2)由(1)可知，OP=仁』,华)是平面佃(?的一个法向量,

且B；C=(遮,一1,0),B工i=(0,0,野

设平面&B]C的法向量为V则)89=°可以为(1,6,0)，

(n.B1A1=0

t-2V3-

8s3为=糯=贵=等

因为二面角力-&C一4为锐角，故所求二面角2-B1C—4的余弦值为苧.

24.

【答案】

解：(1)由正方体的棱长为2,得44(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),

Ai(0,0,2),Bi(2,0,2),G(2,2,2),。式0,2,2)；

试卷第14页，总23页

(2)&C=(2,2,-2),

4iC的长度=\AiC\=y]4+4+4=2V3.

【考点】

空间两点间的距离公式

空间中的点的坐标

【解析】

(1)利用空间直角坐标系中点的坐标表示方法，可得结论；

(2)=(2,2,-2),即可求&C的长度.

【解答】

解：⑴由正方体的棱长为2,得44(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),

&(0,0,2),A(2,0,2),G(2,2,2),D式0,2,2)；

(2)4：C=(2,2,-2),

&C的长度=|4；C|==4+4+4=2V3.

25.

【答案】

解：(1)设点P的坐标是(x,0,0),

由题意|P0P|=同，

即J(x-4)2+12+22=730.

/.(x—4)2—25.解得x-9或％——1.

...点P坐标为(9,0,0)或(一1,0,0).先设点M(x,10),然后利用空间两点的距离

公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可.

(2)设点M(x,1-x,0)

则—6产+(1—x—5>+(1—0)2=12(x-+51

当x=1时，|MN|min=有！.

，点M的坐标为(1,0,0)时到点N(6,5,1)的距离最小.

【考点】

空间两点间的距离公式

点到直线的距离公式

【解析】

(1)设出无轴上的点的坐标，根据它与己知点之间的距离，写出两点之间的距离公式,

得到关于未知数的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，两个结果都合题意.

(2)先设点M(x,1-居0),然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二

次函数研究最值即可.

【解答】

解：(1)设点P的坐标是。,0,0),

由题意|P0P|=同，

即Jo-4)2+12+22=V30,

(x—4)2—25.解得x-9或x——1.

.•.点P坐标为(9,0,0)或(一1,0,0).先设点M(x,1-X,0),然后利用空间两点的距离

公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可.

(2)设点M(x,1-%,0)

则|MN|=7(x-6)2+(1-x-5)2+(1-0)2=V2(x-1)2+51

当x=1时，|MN|min=V51.

...点M的坐标为(1,0,0)时到点N(6,5,1)的距离最小.

26.

【答案】

解析A,B和极点。刚好构成一个三角形，且乙40B=g,。4=3,OB=3,所以

△ABO为等边三角形,得至U|AB|=3.

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

略

27.

【答案】

解：(1):由p=1得久2+y2=1,

又■:p=2cos(。+g)=cos。—V3sin0，p2=pcosd—V3psin0

x2+y2—x+V3y=0,

,f尤2+y2=]

由《

[x2+y2—x+V3y=0

得A(1,O),B(一-y),

AB=J(l+1)2+(0+f)2=V3

fx=—3+—s

(2).直线的参数方程为112(s为参数)，

Iy=r

X=t+-

曲线《:(t为参数)可以化为％2-y2=4

将直线的参数方程代入上式，得s2-6gs+10=0.

设4、B对应的参数分别为Si，S2，

♦♦S1+s2=6-^3^>S]S?'—'10•

AB=|sx—s2|=J(Si+$2)2-4S[S2=2y/V7.

【考点】

空间两点间的距离公式

圆锥曲线的综合问题

【解析】

(1)极坐标方程p=l与p=2cos(8+§,为直角坐标方程，联立求出交点，然后求

得AB的长.

(2)求出直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义，求出4B

的长.

试卷第16页，总23页

【解答】

解：(1)：由p=1得/+V=1,

又：p=2cos(0+^)=cos©—V3sin0/:.p2=pcosd—V3psin0

/.%2+y2_%+Wy—0,

由I/+y2=i

(%2+y2—%4-V3y=0

得4(1,0),B(一/一,)'

•••AB=j(l+i)2+(0+f)2=V3

追

%=-3为参物

(2).直线的参数方程为5s(s

y=

%=t4--

曲线《：(t为参教)可以化为/—y2=4.

(y="z

将直线的参数方程代入上式，得S2-6A/IS+10=0.

设4、B对应的参数分别为s「S2，

••S1+S2—6^3^rS]S2—10.

AB=[S]-S2I=J(S1+S2)2—4sls2=2yJ17.

28.

【答案】

A,B和极点。刚好构成一个三角形，且N40B=(。4=3,。8=3,所以△4B。为等

边三角形，得到|4B|=3.

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

略

29.

【答案】

解：,/A(x,5-x,2x-l),B(l,x+2,2-x),

\AB\=V(x-l)2+(5-x-x-2)2+(2%-1-2+x)2=V14x2-32x+19,

当％=凯寸，4、B两点间距离取最小值，最小值为：”.

48的最小值：

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

由4(%5—匕2%—1),8(1,%+2,2—久)，利用两点间距离公式能够求出A、B两点间

距离的最小值.

【解答】

解：A(x,5-%,2%—1),8(1,久+2,2—%),

\AB\=V(x-l)2+(5-%-%-2)2+(2%-1-2+x)2=V14x2-32%+19,

...当x=?时，4、8两点间距离取最小值，最小值为：号.

4B的最小值：

30.

【答案】

解：(1)据题意，知8(1,1,0),(0,0,1),

故BDi的中点PC3,).

由于点Q在CCI上，故Q点坐标可设为(0,1,a)(0<a<1).

由2£Q|=|QC|,易知|QC|=|,故Q(0,1,1).

2

从而IPQI=jG-o/+G-^+G-l)=v-

(2)据题意，知IPQI=4+:+(a_y2=J(a_y2+](0<a<1).

2

当a=：时，(a-：)+：取得最小值.

从而|PQImin=q，此时Q(0，W).

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

无

无

【解答】

解：(1)据题意，知B(CLO)，01(0,0,1),

故的中点2q3彳).

由于点Q在CG上，故Q点坐标可设为(0,1,a)(0<a<l).

由2|GQ|=|QC|,易知|QC|=1故Q(0,1,(J.

2

从而IPQI=Jd-o^+G-i^+G-l)=v-

(2)据题意，知IPQI=4+1+1—^丫=J(a_1)2+：(0<a<1).

当a=4时，(a称取得最小值.

从而|PQImm=今此时Q(0,1,

31.

【答案】

解：设长方体的长、宽、高分别是a,b,c.中心处钛原子的坐标是(0.5a,0.5瓦0.5c).

又4(0.31a,0.31b,0),

试卷第18页，总23页

所以，键长

\AE\=V(0.5a-0.31a)2+(0.56-0.316)2+(0.5c)2=\/0.192a2+0.192b2+0.25c2.

当a=b时，键长|=V0.27a2+0.25c2.

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

设长方体的长、宽、高分别是a,b,c.中心处钛原子的坐标是(0.5a,0.5瓦0.5c),

A(0.31a,0.31比0),即可求出键长|4E].

【解答】

解：设长方体的长、宽、高分别是a,b,c.中心处钛原子的坐标是(0.5a,0.5瓦0.5c).

又4(0.31a,0.31b,0),

所以，键长

\AE\=V(0.5a-0.31a)2+(0.5/7-0.31b)2+(0.5c)2=<0.192a2+0.192/)2+0.25c2.

当a=b时，键长|4E|=V0.27a2+0.25c2.

32.

【答案】

解：V4(1,0,1),B(l,2,1),C(2,2,4),

AB=(0,2,0),AC=(1,2,3),

T—>

AB-AC=1x04-2x2+0x3=4,

\AB\=2,

|ic|="2+22+32=V14：

/.cos<AB,AC>=\AB\\AC\=~

即cosA=芋;；

/.sirii4=V1—cos2i4=—；

7

△力BC的面积为：

SAABC=：&II扇sinA=：x2xVHxx亨=国.

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

利用坐标表示6、AC,求出/、疝:夹角的余弦值，从而得出4的正弦值，再计算

△ABC的面积.

【解答】

解：,?4(1,0,1),8(1,2,1),C(2,2,4),

AB=(0,2,0),AC=(1,2,3),

—>—>

AB-AC=1x0+2x24-0x3=4,

\AB\=2,

\AC\=Vl2+22+32=V14；

：.cos<48,AC>=\AB\\AC\=~

即cosA=-；

7

/.sin4=V1—cos2i4=—；

7

△力BC的面积为：

SA.BC=I&l&|sinA=：X2xgxx与=VIU.

33.

【答案】

解：由题意，MO=(1,-1,2),n=(1,-2,2),AW-n=1+2+4=7

设麻、1的夹角为a,则就•£=|薪|向cosa

点M到平面7i•的距离为d=|MO|cosa-|n|-g.

点M到平面兀的距离：

【考点】

点、线、面间的距离计算

空间两点间的距离公式

【解析】

确定加、MO-n,利用点M到平面兀的距离为d=南，即可求得结论.

【解答】

解：由题意，MO=(1,-1,2),n=(1,-2,2),-n=1+2+4=7

设麻、蔡的夹角为a,则麻•£=|薪血|cosa

点M到平面7i■的距离为d=|MO|cosa-|n|-

点M到平面兀的距离：

34.

【答案】

解：在空间直角坐标系中，点4(1,2,4)关于平面xoz的对称点为C(l,-2,4),

点4(1,2,4)关于x轴的对称点为B(-l,2,-4),

则B、C间的距离为：J(1+1尸+(2+2尸+(4+4尸=2VH.

【考点】

空间两点间的距离公式

空间中的点的坐标

【解析】

求出点4(1,2,4)关于y轴的对称点为B,关于平面xoz的对称点为C,直接利用空间零点

试卷第20页，总23页

距离公式求出距离即可.

【解答】

解：在空间直角坐标系中，点4(1,2,4)关于平面xoz的对称点为C(l,-2,4),

点4(1,2,4)关于x轴的对称点为8(-1,2,-4),

则B、C间的距离为：+1尸+(2+2产+(4+4/=2VH.

35.

【答案】

(0,0,-3).

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

设出M的坐标，利用空间两点间距离公式，求解即可.

【解答】

解：设M(0,0,z),

,•*Z轴上一点M到点4(1,0,2)与8(1,-3,1)的距离相等，

J#+0+Q-z)2=,12+(。+3产+J—1)2,

解得z=-3,

，M的坐标为(0,0,-3).

36.

【答案】

解：因为y=J(x-0乃+(0-3)2+J(x—4产+(0—5尸,

所以函数y是%轴上的点P(x,0)与两定点4(0,3)、B(4,5)距离之和.

y的最小值就是|P4|+|PB|的最小值.

由平面几何知识可知，若4关于x轴的对称点为4(0,-3),

则田川+|PB|的最小值等于|4B|,

即J(4-0)2+(5+3产=4V5.

所以Ymin=4门.

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

把两个根式看做两个两点间的距离，利用对称知识解答即可.

【解答】

解：因为y=—0尸+(0-3尸+-4尸+(0-5>,

所以函数y是久轴上的点P(x,0)与两定点力(0,3)、8(4,5)距离之和.

y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.

由平面几何知识可知，若4关于x轴的对称点为A(0,-3),

则|PA|+|PB|的最小值等于|Z'B|,

即J(4-01+(5+3尸=4V5.

所以ymin=4V5.

37.

【答案】

解：VA(l,-2,x),BQ,3,0),C(7,x,6),

T