电路的暂态分析

教学要求

1.理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状态响应、全响应的概念，以及时间常数的物理意义；

2.掌握换路定则及初始值的求法；3.掌握一阶线性电路分析计算的三要素法。

稳定状态：

在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。

暂态过程：

电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。t＜0，电路稳定，uc=0+_10vRCSt=0+-uc

开关闭合并经过若干时间后，电容充电完毕，电路再次稳定，uc=10V。开关闭合后，uc从0充电到10V,是暂态过程

1.利用电路暂态过程产生特定波形的电信号

如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。研究暂态过程的实际意义

2.控制、预防可能产生的危害

暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。

直流电路、交流电路都存在暂态过程,本课程只讲授直流电路的暂态过程。3.1电阻元件、电感元件与电容元件本节的要求：掌握电阻、电感和电容三种元件的伏安关系；

掌握电感、电元件的储能计算公式。1.电阻元件描述元件消耗电能的性质。伏安关系:

金属导体的电阻的计算式为：：消耗的电能：Ru+_只讲线性电阻元件Ru+_

在稳恒直流电路中，[0,T]时间内消耗的电能：

电阻消耗的电能，转换为热能散发在周围的环境中了。

描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。2.电感元件N匝线圈通过的磁力线总条数：(磁链)

一匝线圈通过的磁力线条数：(磁通)u

+-电感:(H、mH)

L=常数：线性电感

L≠常数：非线性电感当线圈周围无铁磁物质，L=常数；当线圈周围有铁磁物质，L≠常数u

+-

线圈的电感S

—

线圈横截面积（m2）

l

—线圈长度（m）N

—线圈匝数μ—介质的磁导率（H/m）在右图的参考方向下，自感电动势为：+-eL+-L电感元件的符号这是楞次定律的公式表达式。电流与自感电动势方向相同电动势方向：从低电位指向高电位自感电动势瞬时极性的判别

0<eL与参考方向相反eL实+-eLu+-+-eL实-+0eLu+-+-eL与参考方向相同

0>

0eL具有阻碍电流变化的性质与用楞次定律判别的结果相同+-eL+-L电感元件的伏安关系：伏安关系2）在稳恒直流电路中，di/dt=0,所以u=0,

即稳恒直流电路中，电感元件相当于短路。1）电感电压u与电流变化率di/dt

成正比。3）电感元件的电流不能跃变。若i跃变，实际电路是不允许的+-eL+-L电感元件储能:两边同乘上

i,并积分储能公式当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。

当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能。例1:有一电感元件，L=0.2H,电流如图所示，求电感元件中产生的自感电动势eL和两端电压u的波形。解：当时则：当时24624O246-0.20.4246-0.40.2OO24624O246-0.20.4246-0.40.2OO图中的电流没有跃变，而电压跃变了另外，时的磁场能3.电容元件

描述电容两端加电源后，在介质中建立起电场，并储存电场能量的性质。电容：uiC+_电容元件

C=常数：线性电容

C≠常数：非线性电容uiC+_电容元件S

—

极板面积（m2）d

—板间距离（m）ε—介电常数（F/m）平板电容器的电容：没有电流通过极板间的绝缘体伏安关系当电压u变化时，极板上充放电荷，从而在电路中产生电流:uiC+_电容元件2）在稳恒直流电路中，du/dt=0,所以i=0,

即稳恒直流电路中，电容元件相当于开路。1）电容电流i与电压变化率du/dt

成正比。3）电容元件上的电压不能跃变。若u跃变，实际电路是不允许的电容元件储能两边同乘上

u，并积分储能公式当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还能量。当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能。

3.2储能元件和换路定则本节的要求：熟悉换路定则的内容；会计算电路的初始值。

i=1A，u2=5VS闭合后：

S+-UR2u2+-R1设：R1=R2=5Ω,U=10VS闭合前：ti1AO跃变，没有暂态过程t=0电阻电路不存在暂态过程1.电路中产生暂态过程的原因

产生暂态过程的必要条件：

换路:

电路状态的改变，如：电路接通、切断、短路、电压改变或参数改变。

产生暂态过程的原因：

由于物体所具有的能量不能跃变而造成。(1)电路中含有储能元件

(内因)；(2)电路发生换路

(外因)。∵

L储能：不能突变Cu\∵C储能：

在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变。电容元件：

设：t=0—

表示换路瞬间

(定为计时起点)

t=0-—

表示换路前的终了瞬间

t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）2.换路定则电感元件：内容：含储能元件的电路中，电路在换路瞬间，流过电感元件的电流不能跃变；电容元件两端的电压不能跃变。换路定则的公式表达3.初始值的确定(2)其它电量初始值的求法。初始值：电路中各

u、i

在

t=0+

时的数值。(1)uC(0+)、iL

(0+)的求法。1)先由t=0-的电路求出

uC

(

0–)

、iL

(

0–)；

2)根据换路定则求出

uC(0+)、iL

(0+)。

在求得uC(0+)、iL

(0+)后，由t=0+的电路求其它电量的初始值。这时，应把uC(0+)、iL

(0+)当作已知量了。解：(1)由换路前电路求由已知条件知：例1:已知：换路前电路处于稳态，C、L均未储能。

试求：电路中各电压和电流的初始值。S(a)CU

R2R1t=0+-Lic+-uc+-uLiL例1:已知：换路前电路处于稳态，C、L均未储能。

试求：电路中各电压和电流的初始值。SCU

R2R1t=0+-Lic+-uc+-uLiL根据换路定则得：,换路瞬间，电容元件可视为短路。,换路瞬间，电感元件可视为开路。(2)

由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值SCU

R2R1t=0+-L(a)iL(0+)U

iC

(0+)uC

(0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+)R2R1+++__+-(b)t=0+等效电路SCU

R2R1t=0+-L(a)iL(0+)U

iC

(0+)uC

(0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+)R2R1+++__+-(b)t=0+等效电路电容元件电流、电感元件电压发生跃变了例2.换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。解：(1)由t=0-电路求

uC(0–)、iL

(0–)换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；电感元件视为短路。由t=0-电路可求得：4

2

+_RR2R1U8V++4

i14

iC_uC_uLiLR3LCt=0-等效电路2

+_RR2R1U8Vt=0++4

i14

iC_uC_uLiLR34

解：4

2

+_RR2R1U8V++4

i14

ic_uc_uLiLR3LCt=0-等效电路由换路定则：2

+_RR2R1U8Vt=0++4

i14

ic_uc_uLiLR34

CL

(2)由t=0+电路求

iC(0+)、uL

(0+)uc

(0+)由图可列出代入数据iL

(0+)C2

+_RR2R1U8Vt=0++4

i14

iC_uC_uLiLR34

Lt=0+时等效电路4V1A4

2

+_RR2R1U8V+4

iC_iLR3it=0+时等效电路4V1A4

2

+_RR2R1U8V+4

ic_iLR3i

解之得

并可求出2

+_RR2R1U8Vt=0++4

i14

iC_uC_uLiLR34

计算结果：电量换路瞬间，不能跃变，但可以跃变。2

+_RR2R1U8Vt=0++4

i14

iC_uC_uLiLR34

结论:①换路瞬间，uC、iL

不能跃变,但其它电量均可以跃变。

③

换路前,若uC(0-)

0,换路瞬间(t=0+等效电路中),电容元件可用一理想电压源替代，其电压为uc(0+);换路前,若

iL(0-)

0，在t=0+等效电路中,电感元件可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。②换路前,若储能元件没有储能,换路瞬间(t=0+的等效电路中)，可视电容元件为短路，电感元件为开路。注意：

实际电路中，线圈中的电流和电容器上电压是不能跃变，因为磁场和电场的建立是需要时间的。但在理论电路（即电路模型）中，在下列情况下会发生跃变。电路要满足KCL，则开关闭合瞬间，电感元件的电流必须从0跃变到ISISL

跃变瞬间，理想电流源提供的功率为无穷大。这只有理想元件才能做到，实际的电源是不可能做到的。特点：电感元件与理想电流源相串电路要满足KVL，则开关闭合瞬间，电容元件的电压必须0（假设未曾充过电）跃变到US

跃变瞬间，理想电压源提供的功率为无穷大。这只有理想元件才能做到，实际的电源是不可能做到的。+－USC特点：电容元件直接与理想电压源相并

理解RC电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念，以及时间常数的物理意义3.3RC电路的响应1.经典法:

根据电路列写其状态量微分方程，然后求解微分方程得出电路的响应。2.三要素法初始值稳态值时间常数求（三要素）电路暂态分析计算方法任何电路只适合一阶线性电路（详后）设换路前电路已处稳态t=0时开关,电容C经电阻R放电

实质：RC电路的放电过程+-SRU21+–+–1.RC电路的零输入响应零输入响应:无电源激励,输入信号为零,仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。换路操作代入上式得：

一阶线性常系数齐次微分方程(1)

列

KVL方程1）求换路后电容电压uC

的变化规律+-SRU21+–+–(2)

解方程：特征方程:齐次微分方程的通解：代入得：

由初始值确定积分常数A

电容电压uC

从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC决定。(3)电容电压uC

的变化规律忘记解微分方程者，请复习高等数学！

像上面这样先列写出电路状态量微分方程，然后再求解方程，从而解出状态量的暂态过程的方法，称为经典法。对于RC电路，是电容的电压电阻电压：放电电流：2）其他电流、电压的变化规律tO3）、、变化曲线U-U+-SRU21+–+–要掌握其画法(2)物理意义令:(1)单位当

时时间常数等于电压衰减到初始值U0

的所需的时间。时间单位4）时间常数时间常数

决定电路暂态过程变化的快慢(2)物理意义令:(1)单位当

时时间常数等于电压衰减到初始值U0

的所需的时间。4）时间常数时间常数愈大，暂态过程愈慢时间常数相当于电路暂态过程的惯性量(3)暂态时间的大小

理论上认为,,电路达稳态

工程上认为，电容放电基本结束。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U随时间而衰减经过后，基本为零2.RC电路的零状态响应零状态响应:

储能元件的初始能量为零,仅由电源激励所产生的电路的响应。实质：RC电路的充电过程分析：在t=0时，合上开关s，此时,电路实为输入一个阶跃电压u，如图所示。电压u表达式：uC

(0-)=0sRU+_C+_iuCUtu阶跃电压O一阶线性常系数非齐次微分方程方程的通解=方程的特解+对应齐次方程的通解1）uC的变化规律(1)

列

KVL方程uC

(0-)=0sRU+_C+_iuc(2)解方程uC

(0-)=0sRU+_C+_iuc求特解：常数为其特解

求对应齐次微分方程的通解：通解即：

的解微分方程的通解为确定积分常数A根据换路定则:在t=0+时，方程的解为：上述分析方法----经典法忘记解微分方程者，请复习高等数学！(3)电容电压uC

的变化规律暂态分量稳态分量电路达到稳定状态时的电压-U+U仅存在于暂态过程中

63.2%U-36.8%Uto3）、变化曲线t当t=

时

表示电容电压uC

从初始值上升到稳态值的63.2%

时所需的时间。2）电流iC

的变化规律4）时间常数

的物理意义为什么在t=0时电流最大？

UU0.632U

越大，曲线变化越慢，达到稳态时间越长。结论：当t=5

时,暂态基本结束,uC

达到稳态值。0.998Ut000.632U0.865U0.950U0.982U0.993UtO全响应:

电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。uC

(0-)=U0sRU+_C+_iuC3.RC电路的全响应uC

(0-)=U0sRU+_C+_iuCsRU+_C+_iuC+U0_uC

(0-)=0RsU+_C+_iuCuC

(0-)=0U0sRC+_iuC+_uC

(0-)=0=+RsU+_C+_iuCuC

(0-)=0U0sRC+_iuC+_uC

(0-)=0=+零状态零输入RsU+_C+_iuCuC

(0-)=0U0sRC+_iuC+_uC

(0-)=0=+1）uC

的变化规律根据叠加定理

全响应=零输入响应+零状态响应稳态分量零输入响应零状态响应暂态分量结论2：全响应=稳态分量+暂态分量全响应

结论1：全响应=零输入响应+零状态响应稳态值初始值

掌握一阶线性电路暂态分析的三要素法3.4一阶线性电路暂态分析的三要素法一阶线性电路：仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。sRU+_C+-t=0C1U5k

C2S5k

一阶线性电路一阶线性电路稳态解初始值根据前面分析计算结果全响应uC

(0-)=UosRU+_C+_iuc：代表一阶电路中任一电压、电流函数初始值--（三要素）稳态值--时间常数

--

在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：重要公式，一定要记住！从电路响应的变化曲线求三要素tOtOtOtO三要素法求解暂态过程的步骤：终点起点(1)求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；tf(t)O

要点：换路后电路中电容C视为开路,电感L视为短路。(1)稳态值的计算uC+-t=0C10V5k

1

FS例：5k

+-t=03

6

6

6mAS1H①

由t=0-

电路求②

根据换路定则求出③由t=0+时的电路，求所需其它各量的或(2)初始值的计算步骤如下：

其它量是可能跃变的，不能用换路前的值作为换路后的值本章第二节的内容电容元件视为短路。

其值等于(1)若电容元件用恒压源代替，

等于I0；,电感元件视为开路。(2)若,电感元件用恒流源代替,其值若画换路瞬间t=(0+)的等效电路中:要点：

若不画

t=(0+)的等效电路,则在求解中要记住：

uC=uC(0+)、iL=iL

(0+)。它们是已知的

对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。(3)时间常数

的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路要点：类似戴维宁等效电路中R0的求法R0U0+-CR0R0的计算类似于戴维宁电路等效电阻R0的求法。即从储能元件两端看进去的无源电路的等效电阻。R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3例：求下列电路的R0解：用三要素法求解例1：电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压

和电流

、。应用举例S9mA6k

2F3k

t=0+-CR例1：电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压

和电流

、。(1)确定初始值由t=0-电路可求得由换路定则应用举例t=0-等效电路9mA+-6k

RS9mA6k

2F3k

t=0+-CR(2)确定稳态值由换路后电路求稳态值(3)由换路后电路求时间常数

t

∞

电路9mA+-6k

R

3k

三要素uC

的变化曲线如图18V54VuC变化曲线tO用三要素法求54V18V2k

t=0+++--S9mA6k

2F3k

t=0+-CR3k

6k

+-54V9mAt=0+等效电路电压源与电流源等效变换54V18V2k

t=0+++--S9mA6k

2F3k

t=0+-CR3k

6k

+-54V9mAt=0+等效电路用三要素法求由t=0-时电路例2：电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。t=0时S闭合，试求：t≧0时电容电压uC和电流iC、i1和i2

。解：用三要素法求解求初始值+-St=06V1

2

3

+-t=0-等效电路1

2

+-6V3

+-求时间常数由右图电路可求得:求稳态值+-St=06V1

2

3

+-其左边的电路被短路了2

3

+-+-St=06V1

2

3

+-其左边的电路被短路了2

3

+-(、关联)+-St=06V1

2

3

+-若你不练习，讲再多的例题都没有用的！课后劳驾各位做些题！！

熟悉微分电路和积分电路形成条件、波形和应用3.5微分电路和积分电路1.微分电路1）电路的组成2）条件TtU0tpCR+_+_+_(2)输出电压从电阻R端取出脉宽3）分析由KVL定律：CR+_+_+_

输出电压与输入电压近似成微分关系4）波形tt1UtpOtOCR+_+_+_应用：把矩形波变为脉冲波。2.积分电路2）条件1）电路的组成TtU0tpCR+_+_+_(2)从电容器两端输出。由图的KVL得：3）分析CR+_+_+_输出电压与输入电压近似成积分关系。4)波形t2Utt1tt2t1Utt2t1Uu1应用：把矩形波变为锯齿波。当时间常数变大后

熟悉RL电路的零输入响应、零状态响应和全响应

3.6RL电路的响应1.RL

电路的零输入响应1)RL

短接U+-SRL21t=0+-+-开关合在位置2上已稳定，t=0时，开关断开位置2的同时合在位置1不是普通的机械开关，可用电子电路实现(1)的变化规律U+-SRL21t=0+-+-一阶线性电路三要素法公式：U+-SRL21t=0+-+-初始值:对本例：这里应用了换路定则。若开关是普通机械开关，则开关离开位置2又还未合在位置1时，电路中的电流已强迫为零了，此式已不适用了确定稳态值：确定电路的时间常数:U+-SRL21t=0+-+-初始值:对本例：可通过解微分方程得，在此忽略求解过程(2)变化曲线OO-UUU+-SRL21t=0+-+-则：2)RL直接从直流电源断开(1)可能产生的现象1)刀闸处产生电弧U+-SRL21t=0+-+-LRS-U+-21t=0+-+普通机械开关2)电压表瞬间过电压LSU+-R+-+-VSuLLU+-Rt=0+-+-V+－U表有可能把表的指针打得找不见了！次阻值较大(2)解决措施2)接续流二极管VD1)接放电电阻VDU+-SRL21t=0+-+-U+-SRL21t=0+-+-更常用

图示电路中,RL是发电机的励磁绕组，其电感较大。Rf是调节励磁电流用的。当将电源开关断开时，为了不至由于励磁线圈所储的磁能消失过快而烧坏开关触头，往往用一个泄放电阻R´与线圈联接。开关接通R´同时将电源断开。经过一段时间后，再将开关扳到

3