（导学案）双曲线复习专题

复习专题双曲线方程及其性质学习目标掌握双曲线的第一定义并了解其他定义。掌握双曲线的标准方程并会求其方程。掌握双曲线的常见性质。掌握等轴双曲线的性质。会判断直线与双曲线的位置关系熟记双曲线中一些常用结论。学习三点重点：双曲线方程及其性质难点：离心率求解、双曲线性质的应用易错点：直线与双曲线只有一个交点的情况三、用笔思考（一）双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（3）时，点的轨迹不存在．（二）双曲线的方程及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程图形A2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为共焦点的双曲线方程共渐近线的双曲线方程切线方程为切点为切点弦长公式设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．（三）直线与双曲线的位置关系设直线l：y＝kx＋m（m≠0），①双曲线C：－＝1（a>0，b>0），②把①代入②得（b2－a2k2）x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.（1）当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点.（2）当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝（－2a2mk）2－4（b2－a2k2）（－a2m2－a2b2）．Δ>0⇒直线与双曲线有2个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有1个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．（四）双曲线中常用结论1.焦半径坐标式：，其中为离心率，为P点横坐标．当在右支上时，,.当在左支上时，,.2.双曲线第三定义：3.双曲线垂径定理：(即中点弦斜率)直线交双曲线：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)于两点，点为弦的中点，则．4.焦点弦定理：已知焦点在轴上的双曲线，经过其焦点的直线交曲线于两点，直线的倾斜角为，，则曲线的离心率满足等式：四、双师导学1.如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．

【答案】48【分析】过点作边上的高，根据所给条件结合双曲线的定义可求出三角形的高，即可求出三角形的面积.【详解】如图，

由可得，，，，，过点作边上的高，则，，所以的面积为.2.已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条【答案】A【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点.若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.故选：A.3.双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为.【答案】【解析】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在，设弦的两端分别为，，则有，两式相减得，所以，又因为弦的中点为，所以，故直线斜率，则所求直线方程为，整理得，由得，，故该直线满足题意，故答案为：4.已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】如图，设交y轴与A，A为的中点，因为O为的中点，故为的中位线，则，而，则,因为直线的斜率为，故中，，故设，则，结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有，则，故选：C5.已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐䏡为，求的面积.【解析】（1）设点的坐标为，因为，，所以，化简得：所以的方程为：.（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；设，，直线方程为，与联立得：，由且，解得且，由韦达定理得，因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，所以，解得