（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练测 第51讲 随机事件的概率 （练）原卷版+解析

第51讲随机事件的概率【练基础】1．下列事件中，随机事件的个数为()①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨．A．1 B．2C．3 D．42．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.73．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红球、黑球各一个4．已知随机事件A，B发生的概率满足条件P(A∪B)＝eq\f(3,4)，某人猜测事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))发生，则此人猜测正确的概率为()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D．05.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)6．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是()A.eq\f(7,15) B.eq\f(2,5)C.eq\f(11,15) D.eq\f(13,15)7．下列结论正确的是()A．事件A的概率P(A)必满足0<P(A)<1B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显的疗效的可能性为76%D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖8．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶9．在甲、乙、丙、丁四位志愿者中随机选两人，去社区给困难户送生活必需品，恰好选到丙和丁的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)10．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7【练提升】1．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是()A.eq\f(7,8) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,8)2．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))3．设条件甲：“事件A与B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．公元5世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.1415926<π<3.1415927.为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为()A.eq\f(28,31) B.eq\f(19,21)C.eq\f(22,31) D.eq\f(17,21)5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；[19.5,23.5)9；[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3.根据样本的频率分布估计，数据在[31.5,43.5)的概率约是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)6．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，则军火库爆炸的概率为_______．7．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿玻璃球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．8．某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保新司机车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．9．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．第51讲随机事件的概率【练基础】1．下列事件中，随机事件的个数为()①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨．A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】①为必然事件，②为不可能事件，③④为随机事件．2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.3．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红球、黑球各一个【答案】D【解析】对于D，红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，也有可能取到两球都是红球，故不是对立事件，所以D选项符合．4．已知随机事件A，B发生的概率满足条件P(A∪B)＝eq\f(3,4)，某人猜测事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))发生，则此人猜测正确的概率为()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D．0【答案】C【解析】∵事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))与事件A∪B是对立事件，∴事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))发生的概率为P(eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(A∪B)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，则此人猜测正确的概率为eq\f(1,4).故选C.5.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)【答案】D【解析】法一：设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).法二：两位男同学与两位女同学随机排成一列，因为男同学人数与女同学人数相等，所以两女同学相邻与不相邻的排法种数相同，所以两女同学相邻与不相邻的概率均为eq\f(1,2).6．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是()A.eq\f(7,15) B.eq\f(2,5)C.eq\f(11,15) D.eq\f(13,15)【答案】C【解析】由题意知，比较满意的人数n＝4500－(200＋2100＋1000)＝1200(人)，故“比较满意”或“满意”的人数为1200＋2100＝3300(人)．所以概率为P＝eq\f(3300,4500)＝eq\f(11,15).7．下列结论正确的是()A．事件A的概率P(A)必满足0<P(A)<1B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显的疗效的可能性为76%D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖【答案】C【解析】由概率的基本性质可知，事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，故A错误；必然事件的概率为1，故B错误；某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，不一定有5张中奖，故D错误．故选C.8．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶【答案】D【解析】事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．9．在甲、乙、丙、丁四位志愿者中随机选两人，去社区给困难户送生活必需品，恰好选到丙和丁的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)【答案】D【解析】在甲、乙、丙、丁四位志愿者中随机选两人，去社会给困难户送生活必需品，基本事件总数n＝6，∴恰好选到丙和丁的概率P＝eq\f(1,6).故选D.10．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.【练提升】1．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是()A.eq\f(7,8) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,8)【答案】A【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将1枚硬币连续抛掷三次，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是背面向上，有1种结果，所以至少有一枚正面向上的概率是1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).故选A.2．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))【答案】D【解析】由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3).3．设条件甲：“事件A与B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．故甲是乙的充分不必要条件．4．公元5世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.1415926<π<3.1415927.为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为()A.eq\f(28,31) B.eq\f(19,21)C.eq\f(22,31) D.eq\f(17,21)【答案】A【解析】选择数字的总的方法有5×6＋1＝31(种)，其中得到的数不大于3.14的数为3.11,3.12,3.14，所以得到的数大于3.14的概率为P＝1－eq\f(3,31)＝eq\f(28,31).故选A.5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；[19.5,23.5)9；[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3.根据样本的频率分布估计，数据在[31.5,43.5)的概率约是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)【答案】B【解析】根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在[31.5,43.5)范围的有[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3，∴满足题意的数据有12＋7＋3＝22(个)，而总的数据有66个，∴数据在[31.5,43.5)的频率为eq\f(22,66)＝eq\f(1,3)，由频率估计概率得P＝eq\f(1,3).故选B.6．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，则军火库爆炸的概率为_______．【解析】设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.【答案】0.2257．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿玻璃球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．【解析】由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色玻璃球的概率为P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事件A“至少取得一个红玻璃球”与事件B“取得两个绿玻璃球”是对立事件，则至少取得一个红玻璃球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).【答案】eq\f(8,15)eq\f(14,15)8．某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保新司机车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．【解析】(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，可得样本