初中数学自招02 绝对值（详解版）

专题02绝对值

」考点点拨

定义一个数a的绝对值就是数轴上表示。的点与原点之间的距离，记作|a|.

对于任意的实数a,a和IaI的关系可以从下式中看出：

a(a>0)

IaI**0(a»0).

-a(a<0)

也［方法述基］

性质1Ial2.

由绝对值的概念可知：la|指的是数轴上表示a的点与原点之间的距离.既然lai

代表的是一个长度,那么lai表示的一定是一个非负数.

性质2I|=|h|•Iy|1=jyp(yHO).

应用性质2,对于绍炎有关绝对值的计算问题有帮助.例如：

Ix2l=Ir,xl=Ixl'Irl=(lxl)J,

Ij'l=_1T•{…川=.1才|・II.=(Ix|)".

；F；•ViTT

性质3llj-l-I>IICIj+yKlxl+l>l,

Ilx|TylKx-jWIjrl+ly|.

同学们可以在数轴上脸证绝对值的性质3.要特别注意性质3中,什么情况下等号

成立,可以发现，当同号或者上~中有一个是0时，等式1］+田=lz|+|y|,

11工|一|川二1工一团成立；当工,、，异号或者」，,中有一个是0时.等式||*|-31

=|Z+3/l-丫1=1川+1/成立这几个等式对化简带第对位符号的式子很有帮

助,还常常用于解带绝对值符号的方程和不等式.

+典例精选

1.(新编)若X、y、Z为整数，且|X-W°I9+|Z-X产1=1,则忆-尤|+吐乂+仅-才的值为()

A.2B.1C.0D.3

【点拨】由于X,y,Z为整数,且lx-y|239+|z-x|2°21=l,则|x-刑19和|z―卫2021=］必须一项为o,一

项为1.依此得出x,y,Z之间的关系，从而求解.

【解析】解：y,Z为整数,且仅-乂239+忆-川2°21=1,

\x-y|2019和|z-x『02i=i必须一项为0,一项为J

假设x-y=O,|z-x\=1,

所以x—_y>

所以|z-y|=l.

原式=l+0+l=2：

假设x-y=l,|z-x|=O,

所以x=z,

所以|x-y|=l,|y-x|=l,

原式=0+1+1=2.

故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的乘方和绝对值的性质，由x,y,z为整数，和已知条件得出和|z

-*2021必须一项为o,一项为1是解题的关健.

2.（新编）如果对于某一特定范围内x的任意允许值，s=|2-2x|+|2-3x|+|2-5川的值恒为一常数，则此常

数值为（）

A.0B.2C.4D.6

【点拨】若s为定值，则化简后x的系数为0,由此可判定出x的取值范围，然后再根据绝对值的性质进

行化简.

【解析】解：为定值，

的表达式化简后X的系数为0,

由于2+3=5,

22

••.X的取值范围是:2-340且2-5xW0,KP-<x<

5s

：.P=2-3x+2-3x-(2-5x)=4-2=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了绝对值的知识，能够根据s为常数的条件判断出x的取值范围是解答此题的关键.

3.（南充自主招生）当式子仅-l|+|x-2|+|x-3|+…+W-1999|取得最小值时,实数尤的值是（）

A.1B.999C.1000D.1999

【点拨】观察已知条件可以发现，|x-3表示x到“的距离.要使题中式子取得最小值，则应该找出与最

小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值.

【解析】解：由己知条件可知，|.”“|表示*至1」〃的距离，只有当x到1的距离等于x到1999的距离时，

式子取得最小值.

所以当x=生臀=1000时，式子取得最小值.

故选：C.

【点睛】本题考查了绝对值，做此题需要一定的技巧，要结合绝对值的定义来考虑.另外还要知道，当

x与最小数和最大数距离相等时，式子才能取得最小值.

4.（郸县校级自主招生）如果对于某一特定范围内的x的任意允许值，P=|10-Zr|+|10-3x|+|10-4x|+|10-

5#一+|10-10川为定值，则此定值是（）

A.20B.30C.40D.50

【点拨】若P为定值，则化简后x的系数为0,由此可判定出x的取值范围，然后再根据绝对值的性质

进行化简.

【解析】解：；P=|10-2x|+|10-3x|+|10-4x|+…+|10-1。川为定值,

...求和后，P最后结果不含x,亦即x的系数为0.

:2+3+4+5+6+7=8+9+10.

的取值范围是：10-7x>0且10-8xW0或10-7xW0且10-8xN0

解得：—<x<学；

4/

：.P=(10-2x)+(10-3x)+-+(10-7x)-(10-8x)-(10-9x)-(10-10%)=60-30=30.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，利用已知得出P的表达式化简后x的系数为0进而求出是解题

关键.

5.(怀柔区期末)a为绝对值小于2019的所有整数的和，则2a的值为()

A.4036B.4038C.2D.0

【点拨】根据绝对值的性质求得符合题意的整数，再得出它们的和，即可得出结论.

【解析】解：:•绝对值小于2019的所有整数有0,±1,2,±3,…，±2016,±2017,±2018,

.•.4=2018+2017+2016+…+1+0+(-1)+(-2)+•••+(-2017)+(-2018)

=[2018+(-2018)J+[2017+(-2017)]+…+[2+(-2)]+[1+(-I)J+0

=0

A2a=0

故选：D.

【点睛】本题考查J'绝对值，能求出符合的所有整数是解此题的关键.

6.(徐汇区校级自主招生)设X、y、Z为整数且满足|x-#°12+|y-z|2°l3=i,则代数式|x-y|3+|y-z|3+|z-x|3

的值为2.

【点拨】根据X、y、2为整数,则x-y和y-z都是整数而仅-y|和y-z|都20,故|x-y|2012和|y-产

都是非负的整数，只能是|x-y|=l,|y-z|=O或者|x-y|=O,\y-z\—\,进而得出即可.

【解析】解：•."、y、z为整数，

••.x-y和y-z都是整数

•小7和厂©都20,

Abc-jl2012和|厂z|2013都是非负的整数，

,只能是|x-y|=l,：-0=0或者僮->|=0,b-4=1,

当|x-y|=l,|y-z|=O,

；・y=z,

Az-x=y-xf

*'•|x-y\+\y-z|+|z-M=2,

\x-y|3+|y-z|3+|z-,r|3=2,

当|x-y|=O,|y-z|=L

，x=y,z-x=z-y,

.'.|x-y\+\y-z\+\z-x|=2,

A|x-y|3+|y-z|3+|z-.v|3=2.

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查了绝对值的应用，根据题意得出|x-y|=l,|y-z|=O或者心），|=0,|）-z|=l进而

求出是解题关键.

7.（乐清市校级月考）已知实数〃、b满足|〃+2|+|1-a=9-h5|-|1+州设。+人的最大值为相，最小值为

n,则tn+n的值为3.

【点拨】原式化为|〃+2|+|。-1|+|。+1|+|。-5|=9,。分三种情况讨论:。这-2,-2<a<l,〃21；b也是

分三种情况：-1</?<5,b25,分情况讨论，一共9种情况，最后得出最大可取6,最小

为-3,因此用+〃=3.

【解析】解:原式化为：口+2|+|4-l|+|b+l|+"-5|=9,

〃分三种情况讨论：a<-2,-2<a<1,

当aW-2时，|〃+2|+|〃-1|=-2a-1；

当时，\a+7\+\a-1|=3；

当时，\a+2\+\a-l|=2a+l；

6也是分三种情况：bW-I,-]<b<5,b25

\b+\\+\b-5\=-2b+4或6或2b-4,

分情况讨论，一共9种情况，

①当aW-2,匕W-1时，-2。-1-26+4=9,

a+b=-3；

②当aW-2,-1V6V5时，-2。-1+6=9,

：.a=-2,

.,.a+h最大值小于3,最小值大于-3；

③当〃W-2,b25时，-2a-1+26-4=9,

:-b=-7,

最大值为3；

④当-2<aVl,时，3-26+4=9,

:・b=-1,

；・a+b最大值小于0,最小值大于-3；

⑤当-l〈b<5时，3+6=9,

.'-a+b最大值小于6,最小值大于-3；

⑥当625时，3+20-4=9,

.\b=5,

；・a+b最大值为6,最小值大于3；

⑦当心1,庆-1时，2a+1-2什4=9,

:.a-b=2,

'-a+b最大值小于0,最小值大于-2；

⑧当匕W-1时，2。+1+6=9,

...a=5，

最大值没有最小值；

2

⑨当6W-1时，2。+1+26-4=9,

〃+方=6；

最后得出a+6最大可取6,最小为-3,因此,“+"=3.

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了绝对值的知识点，解答本题的关键是分类讨论得出a+b的最大值和最小值.

8.（新编）将7个1,3个0共10个数任意分成两组（每组中个数比不一定相同）.第一组数的平均值为〃，

1

第二组数的平均值为b,\a-〃的最小值为_——.

【点拨】根据题意得出所有数据的总平均值为0.7,进而得出当〃=今b=：两数最接近0.7,即可得出，

|a-臼的最小值.

【解析】解：：将7个1,3个0共10个数任意分成两组（每组中个数比不一定相同），第一组数的平均

值为a,第二组数的平均值为6,|

要使，|a-四最小，只有两数最接近时，则其差的绝对值最小，

（1X7+0X3）4-10=0.7,

,只有两数都最接近0.7时，其差的绝对值最小,

...当5个1,2个0组合，2个I和I个0组合，此时〃=|两数最接近0.7,

q91

目的最小值为：心-勿=，一（=合，

故答案为：—.

【点睛】此题主要考查了绝对值，根据题意得出当两数最接近总平均值是其绝对值最小进而求出是解题

关键.

9.（武侯区校级自主招生）（1）求函数y=|x-l|+|x-3|的最小值及对应自变量x的取值；

（2）求函数y=|x-1|+k-2|+卜-3|的最小值及对应自变量彳的取值；

（3）求函数y=|x-1|+仅-2|+…+Q川的最小值及对应自变量x的取值；

（4）求函数y=|x-l|+|2x-1|+…+|8x-l|+|9x-1|的最小值及对应自变量x的取值.

【点拨】（1）利用数轴的特点和函数y=|x-11+lx-3|的最小值的几何意义即可；

（2）借助（1）的结论即可得出x=2时，求出y的最小值即可；

（3）借助（1）（2）结论分〃为偶数和奇数分类讨论求出即可，

（4）借助（3）的结论，类比出结论，即可求出.

【解析】解：（1）函数y=|x-l|+|x-3|的最小值的几何意义是数轴上x到1和3两点距离之和的最小值，

；两点之间线段最短，

...当l〈x<3时，加丽=|3-1|=2,

（2）Vy=|x-l|+k-2|+k-3|=（|x-l|+|x-3|）+\x-2\,

当x=2时，|x-2|有最小值，

•••结合（1）的结论得出，当X=2时，ymin=2+0=2,

(3)当”为偶数时，y=k-l|+|x-2|+…+|x-n\=(|x-1|+|x-川)+(卜-2|+|.r-(/?-1)|)+,,,+(•一争+仅

n

-(一+1)|),

2

nn

由(1)知，当5<r<2+1时，

\x-l|+|x-川有最小值〃-1,

\x-2\+\x-(n-1)|有最小值(H-1)-2=/i-3,

|x-5l+lx-(7+1)I有最小值1，

/2

,n,

J当一<r<^n+l时，

22

_九2

ymin=1+3+5+***+(〃-3)+(«-1)=彳，

当n为奇数时,y=\x-l|+|x-2|+…+|x-n\=(|x-l|+|x-川)+(|x-2|+|x-(n-1)|)+…+(|x—%3+|x

n+1九+i

-(­+1)I)+吐岁I，

由(1)知，当彳=婴时，

\x-1\+\x-川有最小值n-1,

\x-2|+|x-(〃-1)|有最小值(〃-1)-2=n-3,

\x-h+\x-(二+1)I有最小值1，

/2

\x—写工|的最小值为0,

・••当时，ymin—0+2+4+,,,+(n-3)+(〃-1)=几《<

(4)类似(3)的做法可知，y=|x-m|+|x-及|+…+|x-

如果〃为偶数时，当怨VxVa知时，y有最小值，

如果"为奇数时，当x=仁+1时，y有最小值；

'."y^\x-l|+|2x-l|+-+|8x-l|+|9x-1|

9个8个2个

111111

—1%—g|d---|-|X—g|+|x-g|+--F|X—g|+--\X~^\+\X~^\+|X-1|

共有9+8+7+…+2+1=45项，为奇数.

,1,128924

当x=,时，ymin=\——11+|——1|+…+|--1|+|——1|=-y

【点睛】此题是绝对值题目，主要考查了绝对值的几何意义和两个绝对值的和的几何意义，分类讨论思

想，解本题的关键是找出规律，运用规律.是一道难度比较大竞赛题.

10.（渝中区校级一模）认真阅读下面的材料，完成有关问题.

材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间

的距离；|5+3|=|5-（-3）|,所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5-0|,所以

|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点A、8在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B

之间的距离可表示为|a-乩

问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数X、-2、1,那么A到B的距离与A到C的距离之和可

表示为lx+21+lx-ll（用含绝对值的式子表示）.

问题（2）：利用数轴探究：①找出满足lx-3l+lx+ll=6的x的所有值是-2,4,②设|x-3|+|x+l|=p,

当x的值取在不小于-1且不大于3的范围时,p的值是不变的，而且是p的最小值,这个最小值是_4_；

当x的值取在不小于0且不大于2的范围时,|x|+|x-21的最小值是2.

问题（3）：求|x-3|+|x-2|+|x+l|的最小值以及此时尤的值.

问题（4）：若|》-3|+|%-2|+闭+卜+1|-4对任意的实数》都成立，求〃的取值.

【点拨】问题（1）根据两点间的距离公式，可得答案;

问题(2)根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值;

问题(3)：pc-3|+|x-2|+lx+H=(|x-3|+|x+l|)+\x-2\,根据问题(2)中的探究②可知，要使)-3|+|x+l|

的值最小，x的值只要取-1到3之间(包括-1、3)的任意一个数，要使|x-2|的值最小，x应取2,显

然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可；

问题(4)根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案.

【解析】解：问题(1)A到8的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x-1|；

问题(2)①-2、4,

(2)4；不小于0且不大于2,2；

问题(3)由分析可知，

当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4；

问题(4)|x-3|+|x-2|+M+k+l|=(|x-3|+|x+l|)+<|x-2|+kl)

要使-3|+|x+l|的值最小，x的值取-1到3之间(包括-1、3)的任意一个数,要使b-2|+|要|的值最小,

x取0到2之间(包括0、2)的任意一个数，显然当x取。到2之间(包括0、2)的任意一个数能同时

满足要求，不妨取x=0代入原式，得|x-3|+|x-2|+仅|+仅+1|=3+2+0+1=6

方法二：当x取在0至IJ2之间(包括0、2)时，|A--3|+|x-2|+|X|+|A+1|=-(x-3)-(x-2)+x+(x+1)

=-x+3-x+2+x+x+l=6.

故答案为:|x+2|+|x-11；-2,4；4；不小于。且不大于2；2.

【点睛】本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键.

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1.如果实数a满足：-2014Va<0,则|x-a|+|x+2014|+|x-“+2014|的最小值是()

A.2014B.n+2014C.4028D.a+4028

【点拨】首先根据-2014Va<0,得至2014V-2014V”，然后分当-2014时；当a-2014Wx

V-2014时；当-2014Wx＜。时；当aWx时；四种情况去掉绝对值后求得最小值即可.

【解析】解：•・•-2014VaV0,

工。-2014V-2014<^z,

当xV〃-2014时，

\x-a|+|x+2014|+|x-a+2014|,

=-(x-67)-(x+2014)-(-tz+2014),

=2a-4028-3x>2014-42014；

当。-2014«-2014时,

\x-a|+|x+2014|+|x-a+2014|,

=-(x-〃)-(x+2014)+(x-tz+2014),

=-xE(2014,2014-0；

当-20144V。时,

\x-a|+|x+2014|+|x-a+2014|,

=-(x-a)+(x+2014)+(x-q+2014),

=x+4028G[2014,4028+。]；

当aWx时，

\x-a|+|x+2014|+|x-a+2014|,

=(x-a)+(x+2014)+(x-61+2014),

=3x-2a+402824028+a>2014.

综上|x-〃|+|x+2014|+|x-a+2014|的最小值为2014.

故选：A.

【点睛】本题考查绝对值的知识，解题的关键是能够根据题意的已知条件确定分类讨论的范围，难度中

等偏上.

2.式子卜-2|+卜-4|+优-4|+|%-8|的最小值是()

A.2B.4C.6D.8

【点拨】分xW2、2<xW4、4VxW8以及x>8四种情况考虑，消去绝对值符号，根据一次函数的性质

找出每段|x-2|+卜-4|+卜-4|+|x-8|的取值范围，由此即可得出结论.

【解析】解：当xW2时，原式=(2-%)+(4-x)+(4-x)+(8-x)=18-4x,

■:-4<0,

...此时|x-2|+|x-4\+\x-4|+|x-8|210：

当2cxW4时，原式=(x-2)+(4-x)+(4-x)+(8-x)=14-2x,

；-2<0,

,此时6W。-2|+|x-4|+|x-4|+|x-8|<IO；

当4<xW8时，原式=(x-2)+(x-4)+(JC-4)+(8-x)=2x-2,

V2>0,

...此时6<k-2|+|x-4|+|x-4|+|x-8|W14；

当x>8时，原式=(x-2)+(x-4)+(x-4)+(x-8)=4x-18.

V4>0,

此时|x-2|+|x-4|+lx-4|+|x-8|>14.

综上可知：\x-2|+|x-4\+\x-4|+|x-8|的最小值为6.

故选：C.

【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是根据(x-2)(x-4)(.”8)=0确定将x分四段来考虑.

3.化筒|-/|的结果是()

A.-Vr2-B.-y1=C.Vr2-D.一壹1

【点拨】根据负数的绝对值是它的相反数即可求解.

【解析】解：化简|-a|的结果是或.

故选：C.

【点睛】考查了绝对值，关键是熟练掌握绝对值的性质.

4.绝对值小于5.4的整数和为()

A.0B.5C.-5D.-6

【点拨】绝对值小于5.4的整数即为绝对值分别等于5、4、3、2、1、0的整数，再把它们相加即可求解.

【解析】解：小于4的整数绝对值有0,1,2,3,4,5.

•••互为相反数的两个数的绝对值相等，

,绝对值小于4的整数是0,±1,±2,±3,±4,±5,

故绝对值小于5.4的整数和为0.

故选：A.

【点睛】考查了绝对值，本题应注意掌握互为相反数的两个数的绝对值相等，难度适中.

5.已知100个整数al,a2,“3,…，aioo满足下列条件:ai=l,a2—-|ai+l|,a3--|«2+1|1.......aioo=-

|fl99+11>则41+42+"3+…+41(X)=()

A.0B.-50C.100D.-100

【点拨】根据题意，可以分别求得这列数的各项的数值，从而可以求得从开始2个一循环，本题得以

解决.

【解析】解:Vai=l,«2=-|ai+l|>03=-|a2+l|».......aioo=-|a99+l|,

：・〃2=-2,43=-1,44=0,45=-1,〃6=0,47=一1，.......，4100=0,

从43开始2个一循环，

a1+«2+^3+,,,+«1(X)=(1-2)+(-1+0)X49=-50.

故选：B.

【点睛】考查了绝对值，规律型：数字的变化类，关键是得到这列数从43开始2个一循环的规律.

6.已知4、b、c#0,且二+二+三+尹三的最大值为相，最小值为〃，则2019""+"+0=2019.

|a|\b\\c\\abc\

【点拨】分别利用①〃，。，c都大于0,②〃，b,c都小于0,③a,b,c,一负两正，④a,b,c,一正

两负进而分析得出即可.

【解析】解：・.7,b,c都不等于0,

・•・有以下情况：

①〃，b,c都大于0,原式=1+1+1+1=4；

②。，b,c,都小于0,原式=-1-1-1-1=-4；

③〃，b,c,一负两正，不妨设〃<0,b>0,c>0,

原式=-1+1+1-1=0；

④a,b,c,一正两负，不妨设〃>0,b<0,c<0f

原式=1-1-1+1=0；

...nz=4,n=-4,

J2019〃吐/I=20194-4+,=2019.

故答案为：2019.

【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，利用分类讨论得出是解题关键.

7.7+ll+lx+2l+lx+3l+…+lx+2014l的最小值为1024144.

【点拨】研究|x+l|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2014|的最小值，利用当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其

中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样.从而得出对于仇+1|+卜+2|+仅+3|+一

+|x+2014|,当x=-1012或-1013时取得最小值.

【解析】解：由绝对值的几何意义可知，当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝

对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样.

因此，对于函数|x+1|+|x+2|+|x+3|+-+k+2014|,

当*=-1012或-1013时，

取得最小值为:1011+1010+—+0+1+2+1012=1011X（1+1011）+1012=1024144.

故答案为：1024144.

【点睛】本小题主要考查带绝对值的函数、函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，归纳能力.属

于基础题.

8.已知数x、y满足|x+7|+|l-x|=19-|），-10|-则x+y的最小值为-8,最大值为11.

【点拨】先移项可得lx+71+ll-M+ly-10|+|l+y|=19,根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可

得答案.

【解析】解:原式变形为：|x+7|+|l-x\+\y-10|+|l+y|=19,

所以，要使等式满足，可得：-7«1,-10W1O,

所以x+），的最小值是-8,最大值是11.

故答案为：-8,11.

【点睛】此题主要考查了绝对值，正确利用绝对值的性质得出X,），的取值范围是解题关键.

9.阅读下列材料:

我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x-0|,也就是说，因表示在数轴

上数X与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为|X1-功表示在数轴上数XI与数X2对应的点之间

的距离；

例1.解方程|x|=2.因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2,所以方程|x|=2的解为x=±2.

例2.解不等式|x-1|>2.在数轴上找出卜-1|=2的解(如图1),因为在数轴上到1对应的点的距离等

于2的点对应的数为-1或3,所以方程|x-l|=2的解为x=-l或x=3,因此不等式卜-1|>2的解集为

x<-1或x>3.

例3.解方程|x-l|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和-2对应的点的距

离之和等于5的点对应的x的值.因为在数轴上1和-2对应的点的距离为3(如图2),满足方程的x

对应的点在1的右边或-2的左边.若x对应的点在1的右边，可得x=2；若x对应的点在-2的左边，

可得x=-3,因此方程-l|+|x+2|=5的解是*=2或》=-3.

参考阅读材料，解答下列问题：

(1)方程|x+3|=4的解为x=l或x=-7:

(2)解不等式:|x-3|》5；

(3)解不等式：|x-3|+|x+4|>9.

-十J

-2-101234

图1

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__________________।b1、

012~

图2

【点拨】(1)利用在数轴上到-3对应的点的距离等于4的点对应的数为1或-7求解即可；

(2)先求出田-3|=5的解，再求|x-3]25的解集即可；

(3)先在数轴上找出卜-3|+|x+4|=9的解,即可得出不等式q-3|+附4|29的解集.

【解析】解：(1)•••在数轴上到-3对应的点的距离等于4的点对应的数为1或-7,

二方程以+3|=4的解为x=l或x=-7.

(2)在数轴上找出|x-3|=5的解.

..•在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为-2或8,

方程|x-3|=5的解为x=-2或x=8,

不等式|x-3|25的解集为-2或x28.

(3)在数轴上找出|x-3|+|x+4|=9的解.

由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和-4对应的点的距离之和等于9的点对应的x的

值.