广东省佛山市南海区重点中学2023-2024学年高三1月调研考试数学试题（含答案）

年度广东佛山市重点中学高三1月调研数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|a<x<3}，若∀x∈A，都有x∈B，则a的取值范围为（）A．（－∞，0]B．（－∞，0）C．[0，2]D．（2，3）3．已知函数为偶函数，则a=（）A．－1B．－2C．2D．14．假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品．现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取出1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（）A．B．C．D．5．已知，则（）A．B．C．D．6．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，若AB⊥AF2，则λ=（）A．5B．4C．3D．27．斐波那契数列{an}满足a1=a2=1，an=an－1＋an－2（n≥3），其每一项称为“斐波那契数”．如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出eq\f(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,2023),a2023)是斐波那契数列的第________项．（）A．2022B．2023C．2024D．20258．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，∃x1，x2∈[1，2]，|g（x1）－g（x2）|>k|f（x1）－f（x2）|（k为常数）成立，则常数k的取值范围为（）A．（－∞，e）B．（－∞，e]C．（－∞，2e2）D．（－∞，2e2]二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是平面ABB1A1、平面A1B1C1D1、平面ADD1A1的中心，则下列结论正确的是（）A．NP∥DC1B．MN∥平面ACPC．D1C⊥平面MNPD．PM与BC1所成的角是60°10．已知点O为坐标原点，直线y=x－1与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，则（）A．|AB|=8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2eq\r(2)D．线段AB的中点到抛物线准线的距离为411．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋3）＋f（x＋1）=f（2），f（2－x）=f（x＋4），若，则（）A．f（x）是周期函数B．C．f（x）的图象关于直线x=1对称D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知单位向量满足，则与的夹角为________．13．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=2x＋1相切，则a=________．14．已知正四面体A－BCD的棱长为6，P是四面体A－BCD外接球球面上的动点，Q是四面体A－BCD内切球球面上的动点，则PQ的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知数列{an}满足a1=2，且（n≥2，n∈N*）．（1）证明是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）求{an}的前n项和Sn.16.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，，AB=1.（1）若，求△ABC的面积；（2）若，求tan∠CAD.17．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为．（注：比赛结果没有平局）（1）求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲、乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；（2）求甲、乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；（3）若已知甲、乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率．18．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E，F，G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG，就得到了一个“刍甍”，如图2.（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；（2）若二面角A—EF—B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．19．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1=3，a2＋a3=36，数列{bn}的前n项和Sn满足3Sn＋n2=3nbn＋n，.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若存在正整数n，使得成立，求实数M的取值范围．2024年度广东佛山市重点中学高三1月调研数学试卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．答案D解析因为，所以复数z在复平面内所对应的点位于第四象限．故选D．2．答案B解析若∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B，由已知可得a<0．故选B．3．答案A解析因为函数g（x）=x为奇函数，所以为奇函数，所以h（0）=a＋1=0，即a=－1．故选A．4．答案D解析设事件A表示“从第一箱中取出1个零件”，事件B表示“取出的零件是次品”，则．故选D．5．答案A解析由，得，则，即．故选A．6．答案C解析因为，所以点A，B，F1共线，设|AF1|=t，则|AF2|=2a－t=4－t，所以，解得t=2，即|AF1|=|AF2|=2，不妨设，则直线AB的方程为，联立解得或则，因为，所以．故选C．7．答案C解析依题意，a1=a2=1，an＋2=an＋1＋an，有an＋1=an＋2－an，于是，而，因此，则eq\f(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,2023),a2023)=a2024，所以eq\f(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,2023),a2023)是斐波那契数列的第2024项．故选C．8．答案C解析显然x1≠x2，不妨设x1>x2，因为f（x）=lnx，g（x）=ex在定义域上单调递增，则g（x1）－g（x2）>k[f（x1）－f（x2）]，即g（x1）－kf（x1）>g（x2）－kf（x2）．令h（x）=g（x）－kf（x），x∈[1，2]，则h（x1）>h（x2），即函数h（x）在[1，2]上存在单调递增区间，又，则在[1，2]上有解，则xex>k在[1，2]上有解．令m（x）=xex，x∈[1，2]，则m′（x）=（1＋x）ex>0，所以m（x）在[1，2]上单调递增，所以m（x）max=m（2）=2e2，所以k<2e2，即常数k的取值范围为（－∞，2e2）．故选C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案ABD解析连接A1C1，A1D，则NP是△A1C1D的中位线，∴NP∥DC1，故A正确；连接AC，AD1，B1D1，B1A，则MN∥AD1，MN⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴MN∥平面ACD1，即MN∥平面ACP，故B正确；平面MNP即为平面B1AD1，显然D1C不垂直于平面B1AD1，故C错误；连接BD，∵PM∥B1D1∥BD，∴∠DBC1或其补角为PM与BC1所成的角，又∠DBC1=60°，故D正确．故选ABD．10．答案ACD解析由得y2－4y－4=0，所以Δ=16＋16=32>0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2=4，y1y2=－4，所以x1＋x2=y1＋1＋y2＋1=4＋2=6，，则，A正确；因为，所以OA⊥OB不成立，B错误；因为点（0，0）到直线x－y－1=0的距离为，所以，C正确；因为，所以线段AB的中点到准线x=－1的距离为4，D正确．故选ACD．11．答案ACD解析因为∀x∈R，f（x＋3）＋f（x＋1）=f（2），所以f（x＋1）＋f（x－1）=f（2），所以f（x＋3）=f（x－1），即f（x＋4）=f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，A正确；在f（x＋3）＋f（x＋1）=f（2）中，令x=－1，得f（2）＋f（0）=f（2），则f（0）=0，因为f（2－x）=f（4＋x）=f（x），所以f（x）的图象关于直线x=1对称，C正确；因为f（0）=0，所以f（2）=f（0）=0，所以f（2022）=f（2）=0，B错误；由函数的对称性与周期性可得，因为f（x＋3）＋f（x＋1）=f（2）=0，即f（x＋3）=－f（x＋1），所以，则，D正确．故选ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案解析由题意得，又，得，设向量与的夹角为θ，则，因为θ∈[0，π]，所以．13．答案1解析以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆的方程为x2＋y2=b2，直线y=2x＋1的一般式为2x－y＋1=0，根据点到直线的距离公式，得，又椭圆的离心率为，∴解得14．答案解析如图，AE是正四面体A－BCD的高，由对称性知其外接球与内切球的球心重合，为O，且在AE上，E是底面正三角形BCD的中心，，设外接球的半径为R，即OA=OB=R，由OB2=OE2＋BE2，得，解得，因此内切球的半径为，显然有|OP－OQ|≤PQ≤OP＋OQ，即R－r≤PQ≤R＋r，又，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解（1）当n≥2时，由可得，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即．（2），则，两式相减得，所以.16．解（1）因为，由余弦定理得AC2=AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，所以7=1＋BC2＋BC，即BC2＋BC－6=0，解得BC=2，所以．（2）设∠CAD=θ，在△ACD中，由正弦定理得，所以，①在△ABC中，，由正弦定理，得，即.②由①②得，即，所以，整理得，所以．17．解（1）事件B为“甲、乙两队比赛4局，甲队最终获胜”，事件Aj为“甲队第j局获胜”，其中j=1，2，3，4，Aj相互独立．又甲队明星队员M前四局不出场，故，j=1，2，3，4，，所以．（2）设事件C为“甲队3局获得最终胜利”，事件D为“前3局甲队明星队员M上场比赛”，因为每名队员上场顺序随机，所以，，由全概率公式，知．（3）由（2），得．18．解（1）证明：取线段CF的中点H，连接OH，GH，如图，由题图1可知，四边形EBCF是矩形，，∴O是线段CE的中点，∴OH∥EF且，又AG∥EF且，∴AG∥OH且AG=OH，∴四边形AOHG是平行四边形，∴AO∥HG，又AO⊄平面GCF，HG⊂平面GCF，∴AO∥平面GCF.（2）由题图1可知，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在题图2中仍有EF⊥AE，EF⊥BE，∴∠AEB即为二面角A－EF－B的平面角，∴∠AEB=120°，以E为原点，的方向分别为x轴、y轴正方向建立空间直角坐标系Exyz，如图，设CB=2EB=2EA=4，则B（2，0，0），F（0，4，0），，∴．设平面GCF的法向量为，由得取，则z=2，故，∴，∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为．19．解（1）设数列{an}的公比为q，则3q＋3q2=36，即q