1.1.3第3课时直线方程的一般式课件-高二上学期数学北师大版选择性

1.1.3第3课时新授课直线方程的一般式1.掌握直线方程的一般式，并会用它求直线的方程.2.掌握五种直线方程之间的关系，并会选择合适的形式求解直线方程.3.了解直线方程的点法式.复习回顾名称条件方程适用范围点斜式斜截式两点式截距式一点P(x0,y0)和斜率ky

–y0=k(x

–x0)不垂直于x轴的直线斜率k，纵截距by

=kx

+b不垂直于x轴的直线P1(x1,y1),P2(x2,y2)不垂直于x轴、y轴的直线横截距a和纵截距b不垂直于x轴、y轴，不过原点的直线思考：仔细观察，说说上述四个方程有什么共同特点？知识点1：直线的一般式方程共性:类似上述直线方程的四种形式都可以看成关于x，y的二元一次方程．可以；x−x0=

0可化为x+0·y−x0=

0；问题1:当直线l过点P0(x0，y0)且斜率不存在，即倾斜角α=90°时，直线l的方程为x−x0=

0，此时直线方程可以看成关于x，y的二元一次方程吗？结论1:平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示；形式：Ax+By+C=0(A、B

不同时为0).问题2:每个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)都表示一条直线吗？结论2:每个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B

不全为0)都表示一条直线．①

当B≠0时：②

当B=0，A≠0时：方程变形为

，表示过点(0，)，斜率为

的直线；方程变形为

，表示过点(，0)，且垂直于x轴的直线.概念讲解直线的一般式方程：关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不全为0)叫做直线方程的一般式.

注意：对于直线的一般式方程，规定：①x的系数为正；②x，y的系数及常数项一般不出现分数；③按含x项，含y项、常数项顺序排列.例1:已知直线经过点A(6，-2)，且斜率为

，求该直线方程的点斜式、一般式和截距式.解：经过点A(6，-2)，且斜率为

的直线方程的点斜式是化成一般式，得2x+3y-6=0.把常数项移到方程的右边，再把方程的两边同时除以6，得到截距式例2:把直线l的方程3x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.解：将原方程移项，得2y=3x+6.方程的两边同时除以2，得到斜截式因此，直线l的斜率k=

，它在y轴上的截距是3.令y=0，可得x=-2，即直线l在x轴上的截距是-2.所以直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-2,0)，B(0,3).过点A，B作直线，即可得直线l.Oxy–2–1–3113–1A24B画一条直线时，只要画出这条直线上的两点就可以了，通常是找出直线与两坐标轴的交点.例1:已知直线l的方程为mx+(m-1)y+1=0，m∈R.(1)若直线l在x轴上的截距为-2，求m的值；(2)若直线l与y轴垂直，求m的值；(3)若直线l的倾斜角为

，求m的值.解:(1)由已知，可得直线l与x轴交于点(-2，0)，故m的值为所以-2m+(m-1)·0+1=0,解得例1:已知直线l的方程为mx+(m-1)y+1=0，m∈R.(2)若直线l与y轴垂直，求m的值；(3)若直线l的倾斜角为

，求m的值.解:(2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0.由

，可得m=0.所以直线l的方程可化为斜截式(3)由(2)可知直线l的斜率为

又倾斜角为

所以由斜率与倾斜角的关系可得解得知识点2：直线方程的点法式前面已经讨论了直线的方向向量，与方向向量垂直的向量称为直线的法向量，直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向.思考:如图,在平面直角坐标系中,已知直线l经过点P(x0,y0)，且它的一个法向量为n=(A,B),如何求直线l的方程呢？若直线l经过点P，且一个法向量为n，则直线l上不同于点P的任意一点M都满足

.反之，满足

的任意一点M一定在直线l上.nPlnPl概念讲解M设直线l上的任意一点M的坐标为(x,y)，则由

，可得①这说明：直线l上的任意一点M(x,y)都满足方程①.另外，容易验证以方程①的解为坐标的点都在直线l上.也就是说，方程①是直线l的方程，称这个方程为直线方程的点法式.例4:已知△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(-2,1)，C(0,-1)，求BC边上的高所在直线的方程.解：由已知，可得∴由直线方程的点法式可得所求直线的方程为-2(x-1)+2(y-2)=0，即x-y+1=0.

就是BC边上的高所在直线的法向量，又所求直线经过点A(1,2)，例5:已知直线l经过点A(3,1)，且与P(-1,0)，Q(3,2)两点的连线垂直，求直线l的方程.解：

为直线l的一个法向量.又直线l经过点A(3,1)，代入直线的点法式方程，得4(x-3)+2(y-1)=0，即2x+y-7=0.名称条件方程适用范围点斜式斜截式两点式截距式一般式一点P(x0,y0)和斜率ky

–y0=k(x

–x0)不垂直于x轴的直线斜率k，纵截距by

=kx

+b不垂直于x轴的直线P1(