第十一讲比和比例(二)

正比例和反比例知识点一：正比例的意义情境导入：文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表：数量/m12345678……总价/元3.5710.51417.52124.528……观察上表，回答下面的问题。表中有哪两种量？总价是怎样随着数量的变化而变化的？相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？讲解过程：理解题意，观察上表。总价随着数量的变化而变化，它们是两种相关联的量。数量增加，总价也随之增加；数量减少，总价也随之减少。总结规律总价和数量的比值一定，也就是因为单价一定，所以总价随着数量的变化而变化。但无论怎样变化，总价和相对应数量的比值一定。因为总价和数量有这样的变化关系，所以我们就说总价和数量成正比例关系，总价和数量叫做成正比例的量。拓展探究总价随着数量的增加而增加，具有这样变化规律的两种量，在生活中你还能举出一些例子吗？归纳总结：1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。2.如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示：。夯实基础：判断下面的每张表格中的；两种量是不是成正比例的量。在一间布店的柜台上，有一张写着某种花布的长度和总价的表格：长度/米1234……总价/元8.216.424.632.8……正方形的边长和周长如下表。正方形的边长/厘米1234……正方形的周长/厘米481216……判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由。每小时织布长度一定，织布总长度和时间。每人植树棵数一定，参加植树的人数和植树总棵数小新跳高的高度和他的身高。长方形的宽一定，它的面积和长。易错点：当两种量的和一定时，认为两种量成正比例关系。例：判断：长方形的周长一定，长和宽成正比例。（√）错解分析：错误解答错误地认为两种相关联的量和一定时，这两种量就成正比例关系，对正比例的概念没有完全理解。因为“长方形的周长”，所以“”，长方形的周长一定，也一定，即长与宽的和一定，而不是比值一定。正确解答：×知识点二：正比例图象情境导入：总价和数量的变化情况可以用下面的图象表示。根据图象回答下面的问题：从图中你发现了什么？把数对（10，35）和（12，42）所在的点描出来，并和右面的图象连起来并延长，你还能发现什么？不计算，根据图象判断，如果卖9m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？小明买的彩带米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？讲解过程：理解题意。总价和数量是一对成正比例的量，把每一对数据描在方格图中并连接起来是一对成正比例的量，把每一对数据描在方格图中并连接起来是一条直线，这就是正比例的图象。观察并总结正比例关系图象的特点。（1）它是一条直线。（2）图象中横轴上的数据表示数量，纵轴上的数据表示总价，数量和它对应的总价每一对数据都可以用一个点来表示。（3）从图象上可以直观地看到数量与总价之间的变化情况，即数量增加，总价也随着增加。3.观察图象解决问题（1）从图中可以发现数量和对应的总价可以用一个点表示，并且这些点都在一条直线上。（2）通过描点和延长直线，可以发现这些点都在一条直线上。（3）买9m彩带总价是31.5元，49元能买14m彩带。（4）小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的2倍。归纳总结：正比例关系的图象是一条经过原点O的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。夯实基础：一台织布机织布的时间和长度如下表：时间/时12345678…长度/米81624…把上面的表格补充完整。根据表中的数据，在图中描出织布机的工作时间和织布长度所对应的点，再按顺序将它们连起来。你有什么发现？练习：填空题车轮的直径一定，所行驶的路程和车轮的转数成（）比例。圆的周长和半径成（）比例。如果，那么y与x成（）比例。判断题（对的画“√”，错的画“×”）人的体重与人的年龄成正比例（）收入一定，支出和结余成正比例（）长方形的长一定，长方形的面积和宽成正比例。（）购买一种自行车的数量和总价如下表：数量/辆1245…总价/元250500750…把表格补充完整。写出几组对应的数量和总价之间的比，并比较比值的大小。你能用式子表示这种自行车的总价与数量之间的关系吗？自行车的总价与数量之间是否成正比例？为什么？知识点三：反比例的意义情境导入：杯子的底面积与水的高度的变化情况如下表。杯子的底面积/cm21015203060…水的高度/cm302015105…观察上表，回答下面的问题：表中有哪两种量？水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的？相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积分别是多少？讲解过程：根据公式“圆柱的体积=底面积×高”完成下面的表格。杯子的底面积/cm21015203060…水的高度/cm302015105…体积/cm3300300300300300…观察上表，总结水的高度和底面积的变化规律。底面积是10cm2，水的高度是30cm；底面积是15cm2，水的高度是20cm……说明水的高度随着底面积的变化而变化，它们是两种相关联的量。从左到右观察表中数据，发现底面积越大，水的高度越低；从右往左观察表中数据，发现底面积越小，水的高度越高。计算并比较两种量中相对应的两个数的乘积。，说明水的高度和底面积的乘积一定，也就是。小结：因为水的体积一定，所以水的高度随着杯子底面积的变化而变化。底面积增加，高度反而降低；底面积减少，高度反而升高。但是无论怎样变化，高度和底面积的乘积是一定的，我们就说杯子的高度和底面积成反比例关系，高度和底面积叫做成反比例的量。判断两种量是不是成反比例关系。判断两种量中相对应的两个数的乘积是否一定，如果乘积一定，这两种量就成反比例关系，否则不成反比例关系。生活中常见的反比例的量。像水的高度随着底面积增加而降低的变化规律在生活中还有很多，如：路程一定时，时间随着速度的增加会减少。归纳总结：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例关系可以表示为（一定）。夯实基础：1.某自行车厂计划生产600辆自行车。生产所用天数/天1020305060…每天生产辆数/辆6030…把上面的表格补充完整。写出几组每天生产的辆数和生产所用的天数的积，再比较积的大小。每天生产的辆数和生产所用的天数成反比例吗？为什么？下面各题中的两种量是否成反比例？路程一定，速度和时间。（2）长方形的面积一定，长和宽。易错举例：易错点：当两种量的和一定时，认为这两种量成反比例。例：判断：一根木料，用去的和剩下的成反比例。（√）错解分析：虽然“用去的”越多，“剩下的”越少，是一种量随着另一种量的变化而变化，但“用去的+剩下的=原来的木料”，是和一定，而不是积一定。反比例必须具备两种变量的积一定，所以用去的和剩下的不成反比例。正确解答：×练习：填空题总钱数一定时，订《小学生数学报》的份数和单价成（）比例。在括号里填上“每小时生产服装减数”“生产时间”或“生产服装总数”。（）一定，（）和（）成反比例。（）一定，（）和（）成正比例。，则A、B成（）比例。选择题。因为24÷x=y，所以x和y（）成正比例B.成反比例C.不成比例三角形的高一定，它的面积和底（）成正比例B.成反比例C.不成比例（3）分子一定，分母和分数值（）A.成正比例B.成反比例C.不成比例3.运一批货物，每车运的吨数和需要车的辆数如下表。每车运的吨数/吨1351012需要车的辆数/辆60201265表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小。表中相关联的两种量成反比例吗？为什么？课后作业：一、判断．

1．一个因数不变，积与另一个因数成正比例．（

）

2．长方形的长一定，宽和面积成正比例．（

）

3．大米的总量一定，吃掉的和剩下的成反比例．（

）

4．圆的半径和周长成正比例．（

）

5．分数的分子一定，分数值和分母成反比例．（

）

6．铺地面积一定，方砖的边长和所需块数成反比例．（

）

7．铺地面积一定，方砖面积和所需块数成反比例．（

）

8．除数一定，被除数和商成正比例．（

）

9、圆的面积和圆的半径成正比例。（

）

10、圆的面积和圆的半径的平方成正比例。（

）

11、圆的面积和圆的周长的平方成正比例。（

）

12、正方形的面积和边长成正比例。（

）

13、正方形的周长和边长成正比例。（

）

14、长方形的面积一定时，长和宽成反比例。（

）

15、长方形的周长一定时，长和宽成反比例。（

）

16、三角形的面积一定时，底和高成反比例。（

）

17、梯形的面积一定时，上底和下底的和与高成反比例。（

）

18、圆的周长和圆的半径成正比例。（

）

19路程一定，速度和时间成正比例。

（

）

20一堆煤的总量不变，烧去的煤与剩下的煤成反比例。

（

）

21花生的出油率一定，花生的重量与榨出花生油的重量成正比例。

（

）

22平行四边形的面积不变，它的底与高成反比例。

（

）

23正方体的表面积与体积成正比例。（

）

24一堆煤的总量不变，每天烧去的数量与烧的天数成反比例。（

）

25长方体底面积一定，体积和高成正比例。（

）

26三角形的面积不变，它的底与高成反比例。

（

）

二、选择．

1．把一堆化肥装入麻袋，麻袋的数量和每袋化肥的重量．（

）

A．成正比例

B．成反比例

C．不成比例

2．和一定，加数和另一个加数．（

）

A．成正比例

B．成反比例

C．不成比例

3．在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（

），成反比例关系是（

）．

A．汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数．

B．汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数．

C．汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数．

4，圆柱体底面积与高(

)。A.成正比例

B.成反比例

C.不成比例

,

5，年龄与身高(

)。A.成正比例

B.成反比例

C.不成比例

6，长方形的_________________，它的长和面积成正比例。

A.周长一定

B.宽一定

C.面积一定

7，圆柱体体积一定，________________和高成反比例。

底面半径

B.底面积

C.表面积

8，ab=c，当c一定时a和b（

）；当a一定时b和c（

）；当b一定时a和c（

）。A、成正比例

B、成反比例

,

C、不成比例三．选择填空，判断数量间的比例关系。

（1）圆的面积一定，直径与圆周率_______________。

（2）比的前项一定，比的后项与比值_________________。

（3）时间一定，速度与路程____________。

（4）被减数一定，减数与差______________。

（5）圆锥体体积一定，底面积与高_____________。

A、成正比例

B、成反比例

C、不成比例

四、下列各题中的两种量是不是成比例，成什么比例，并说明理由。

（

1）买相同的电脑，购买的电脑台数与总价___________________

每捆练习本的本数相同，练习本的总本数与捆数__________________

总路程一定，已行的路程与未行的路程____________________

分数值一定，分数的分子与分母_________________

（5）长方形的长一定，它的面积和宽__________________

（6）长方体的体积一定，底面积和高____________________

（7）一本书的总页数一定，看的天数与平均每天看的页数_______________

（8）圆的周长和直径____________________

（9）订阅《扬子晚报》，订的份数与总价__________________

（19）小麦的出粉率一定，小麦的质量与面粉的质量_____________

（11）六（1）班同学做操，每排站的人数与排数_______________

五、下面题里的数量成什么关系？你能列出式子表示数量之间的相等关系吗？

1,小红看一本儿童小说，每天看12页，10天可以看完；如果每天看15页，8天可以看完。

2,一种螺丝钉，20个重30克。一盒这样的螺丝钉是600克，