第09讲离散型随机变量及其分布列（人教A版2019选择性）（原卷版）

第09讲离散型随机变量及其分布列【人教A版2019】·模块一离散型随机变量及其分布列·模块二两点分布·模块三课后作业模块一模块一离散型随机变量及其分布列1．随机变量与离散型随机变量(1)随机变量

①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们称X为随机变量.

②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.

③随机变量与函数的关系

联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点相当于函数定义中的自变量，样本空间相当于函数的定义域.

区别：样本空间不一定是数集，随机变量的取值X()随着试验结果的变化而变化，而函数是从非空数集到非空数集的一一对应.

(2)离散型随机变量

可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量.2．离散型随机变量的分布列(1)定义

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)=，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列.(2)分布列的表格表示Xx1x2xnPp1p2pn分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示.

(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质

①0，i=1，2，，n；

②+++=1.【考点1离散型随机变量】【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（

）①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X1②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离X2③某同学射击3次，命中的次数X3④某电子元件的寿命X4A．①② B．③④ C．①③ D．②④【例1.2】（2023下·高二课时练习）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（）A．两次掷出的点数之和B．两次掷出的最大点数C．第一次与第二次掷出的点数之差D．两次掷出的点数【变式1.1】（2023下·高二课时练习）下列叙述中，是离散型随机变量的为（）A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某指挥台5分钟内接到的雷达次数X；④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；其中是离散型随机变量的为（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【考点2

求离散型随机变量的分布列】【例2.1】（2023下·河南新乡·高二统考期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为X，则X的分布列为（

）A．X12P11B．X01P11C．

X012P111D．

X012P111【例2.2】（2023·全国·高三对口高考）下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（

）A．ξ－101P0.30.40.4B．ξ123P0.40.7－0.1C．ξ－101P0.30.40.3D．ξ123P0.20.40.3【变式2.1】（2023·全国·高二课堂例题）全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下：分数012345人数01312204现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列．【变式2.2】（2023上·高二课时练习）设离散型随机变量X的分布列为：X01234P0.20.10.10.3m求随机变量η=X−1【考点3利用随机变量分布列的性质解题】【例3.1】（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）若随机变量X的分布列为X−2−10123P0.10.20.10.30.10.2则当PX<a=0.7时，实数a的取值范围是（A．−∞,2 C．1,2 D．1,2【例3.2】（2023下·福建福州·高二校联考期中）已知随机变量X的分布列为P(X=i)=ia(i=1，2，3，4，5)A．13 B．12 C．35【变式3.1】（2023上·高二课时练习）随机变量ξ的分布列如下：ξ−101Pabc其中2b=a+c，则P(ξ=1)等于（A．13 B．C．12 D．【变式3.2】（2023下·安徽宿州·高二校考阶段练习）若随机变量的分布列如表，则P(|X−2|=1)的值为（

）X1234P11a1A．512 B．12 C．712模块二模块二两点分布1．两点分布(1)两点分布的定义

对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=

如果P(A)=p，则P()=1p，那么X的分布列如下表所示.X01P1pp我们称X服从两点分布或0—1分布.(2)两点分布理解

两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1.【考点1

两点分布】【例1.1】（2023下·重庆永川·高二校考期中）随机变量X服从两点分布，且PX=1=0.2，令Y=3X−2，则PY=−2A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8【例1.2】（2023下·山西运城·高二统考期中）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且PX=0=2−5PX=1=a，则A．34 B．12 C．13【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记X=0,两球全是白球,【变式1.2】（2023下·高二课时练习）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的概率分布．【考点2两个相关的随机变量的分布列问题】【例2.1】（2023下·高二课时练习）设离散型随机变量X的概率分布为X01234P0.150.150.150.25m若随机变量Y=X−2，则P(Y=2)等于（）A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7【例2.2】（2023下·山东临沂·高二统考期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：X0123Pa15a1若离散型随机变量Y=2X+1，则PY≥5=（A．712 B．512 C．56【变式2.1】（2023·全国·高二课堂例题）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元．(1)当X=110时，求Y的值；(2)写出X与Y之间的关系式；(3)若PX≤120=0.6，求【变式2.2】（2022·高二课时练习）已知随机变量X的分布列如表所示．X−2−10123P111111(1)求随机变量Y=X(2)若PY<x=11【考点3离散型随机变量的分布列的综合应用】【例3.1】（2023上·全国·高三专题练习）习近平总书记在2020年新年贺词中勉励大家：“让我们只争朝夕，不负韶华，共同迎接2020年的到来.”其中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发有为，积极进取，不负青春，不负时代.“只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为：“Seizethedayandliveittothefull.”(1)求上述英语译文中，e，i，t，a4个字母出现的频率(小数点后面保留两位有效数字)，并比较4个频率的大小(用“>”连接)；(2)在上面的句子中随机取一个单词，用X表示取到的单词所包含的字母个数，写出X的分布列.(3)从上述单词中任选2个单词，求其字母个数之和为6的概率.【例3.2】（2023上·全国·高三专题练习）小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．表1购买实物商品(元)(0，100)[100，500)[500，1000)积分246概率111表2购买虚拟商品(元)(0，20)[20，50)[50，100)[100，200)积分1234概率1111(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列．【变式3.1】（2023上·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为12和23，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和34，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和(1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为1136，求p(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列．【变式3.2】（2023上·辽宁·高三校联考开学考试）踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为13；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为13，12，16；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为13，12，16；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为13，16，12.假设毽子一直没有掉地上，经过n次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为(1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为X，求X的分布列；(2)证明an−1模块三模块三课后作业1．（2023下·河南周口·高二统考期中）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ；②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置η；③某派出所一天内接到的报警次数X；④某同学上学路上离开家的距离Y．其中是离散型随机变量的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·高二课时练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（

）A．甲赢三局B．甲赢一局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次3．（2023·全国·高二专题练习）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（

）A．X012P0.080.140.78B．X012P0.060.240.70C．X012P0.060.560.38D．X012P0.060.380.564．（2023下·四川成都·高二校考阶段练习）下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（

）A．抛掷一枚骰子，所得点数XB．某射击手射击一次，击中目标的次数XC．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设X=D．某医生做一次手术，手术成功的次数X5．（2023下·上海金山·高二校考期末）设随机变量X的分布列P(X=i)=k2i(i=1,2,3)，则A．1 B．37 C．47 6．（2023·全国·高三专题练习）下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是（

）X3459Pa111A．16 B．112 C．197．（2023上·全国·高三专题练习）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P11112则下列各式正确的是（

）A．Pξ<3=2C．P2<ξ<4=258．（2023下·江苏盐城·高二校联考期中）已知随机变量X服从两点分布，且PX=1=0.6.设Y=3X−2，那么PY=−2A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.49．（2023下·贵州遵义·高二统考期中）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则PX≤2=（A．45 B．25 C．1510．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为P（X=k)=λkk!e−λk=0,1,2,⋯，其中e为自然对数的底数，A．1e4 B．4e4 C．11．（2023下·高二课时练习）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；(2)某单位办公室一天中接到的次数；(3)一瓶果汁的容量为500±2mL.12．（2023上·高二课时练习）在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．13．（2023上·上海宝山·高二校考阶段练习）从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200km，遇到红灯个数的概率如下表所示：遇到红灯个数0123456个及6个以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母a的值；(2)求至少遇到4个红灯的概率.14．（2023上·全国·高三专题练习）设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量η=X(2)求