数学-易错点03 函数（原卷版）

易错点03函数平面直角坐标系与函数一次函数的图像与性质一次函数的应用反比例函数二次函数的图像性质与性质二次函数的应用易错分析易错分析01各个待定系数表示的意义。充分掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的概念。对于较复杂问题容易忽略数形结合思想。（2022九下·沭阳模拟）已知一次函数y＝kx＋b，且当－3≤x≤1时，1≤y≤9，则k＋b的值为【答案】9【规范解答】本题答案不全面，此题分两种情况考虑：①当x=-3时，y=1；当x=1时，y=9，代入y=kx+b中求出k、b的值，进而可得k+b的值；②当x=-3时，y=9，当x=1时，y=1，同理可得k+b的值.【规范解答】解：①当x=-3时，y=1；当x=1时，y=9；则1=-3k解得k=2；②当x=-3时，y=9，当x=1时，y=1；则9=-3k

解得，；故答案为：9或1.【变式训练01】（2022·宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是.【变式训练02】（2021九上·丰县期中）下表给出一个二次函数的一些取值情况：x⋯01234⋯y⋯300n⋯（1）n=，二次函数表达式为；（2）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）根据图像说明：当x取何值时，y的值为非负数？

【变式训练03】（2022九上·通州月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为．（1）求点B的坐标及m的值；（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；（3）结合函数图象直接写出当y＞0时x的取值范围．易错分析易错分析02各种函数解析式的求法以及函数与几何图形的关系应用。注意解析式中字母表示的几何意义，特别是二次函数的解析式，其表示的方式多样化，容易记忆混淆。涉及的公式比较多，一定要理解推导记忆6．（2022九上·通州月考）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为．【答案】

【解析】本题答案不全面，利用二次函数的解析式可得到抛物线的对称轴为直线x=1，观察图象可知抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），利用二次函数的对称性，可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标；然后就二次函数y=-x2+2x+m与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程-x2+2x+m=0的两个根，即可求解.【规范解答】解：根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），对称轴为，由抛物线的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为：抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根，即：；故答案为：．【变式训练01】（2022九上·通州月考）抛物线的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2【变式训练02】（2022九上·通州月考）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【变式训练03】（2022九上·兴化开学考）已知反比例函数y，下列说法不正确的是（）A．图像经过点（2，﹣4） B．图像分别在二、四象限C．当y≤1时，x≤﹣8 D．在每个象限内，y随x增大而增大易错分析易错分析03利用图像求不等式的解集和方程（组）的解，利用图像性质确定增减性。此类题目对学生数形结合的思想掌握利用要求比较高，注意细心审题，找准问题问的是什么。也很容易对数轴直线的增减性与解析式中的字母结合理解出错。

（2022·徐州）若一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于kx＋b＞0的不等式的解集为．【答案】x＞2【思路点拨】本题答案有误，忽略题目关键问题，求的是另外一个不等式的解集，而不是原解析式。根据图象可知y＝kx+b与x轴交于点（2，0）且k>0，代入化简可得b=-2k，根据不等式表示出x，进而可得x的范围.【规范解答】解：∵根据图象可知y＝kx＋b与x轴交于点，且，∴，解得，，∴，即，解得x＞3.故答案为：x＞3.【思路点拨】根据图象可知y＝kx+b与x轴交于点（2，0）且k>0，代入化简可得b=-2k，根据不等式表示出x，进而可得x的范围.【变式训练01】（2022·扬州）如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为.

【变式训练02】（2021·阜宁模拟）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为.【变式训练03】（2021·滨海模拟）如图，两条直线l1和l2的关系式分别为y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，两直线的交点坐标为（2，1），当y1＞y2时，x的取值范围为.

易错分析易错分析04利用函数模型解实际问题。注意区别方程、函数、不等式模型解决不等领域的问题。这类问题容易出现多个解，对审题能力，计算及概念掌握要求比较高。需要着重掌握零散的知识点（2022·沭阳模拟）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，当时，x的取值范围是.【答案】【思路点拨】答案不全面，没有考虑到图像的完整性。由图象可知：抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），则其与x轴的另一个交点坐标为（-5，0），然后根据图象，找出二次函数图象在x轴上方部分所对应的x的范围即可.【规范解答】解：由图象可知，抛物线的对称轴为，∵与轴的一个交点坐标为，则其与x轴的另一个交点坐标为，结合图象得：当时，.故答案为：.

【变式训练01】（2022·泰州）如图，二次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点B(3，1).（1）求这两个函数的表达式；（2）当随x的增大而增大且时，直接写出x的取值范围；（3）平行于x轴的直线l与函数的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图象相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.

【变式训练02】（2022·泗洪模拟）如图，二次函数y1＝﹣x2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C.（1）求二次函数的解析式y1和一次函数的解析式y2；（2）点P在x轴下方的二次函数图象上，且S△ACP＝33，求点P的坐标；（3）结合图象，求当x取什么范围的值时，有y1≤y2.易错分析易错分析05反比例函数K值得特殊意义及应用。对相关公式加深理解记忆，这类问题在考察作辅助线以及反比例函数与几何图形的综合运用上有一定要求（2022九下·沭阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx与y=的图象交于A、B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【思路点拨】答案有误。忽略了辅助线的解题技巧。连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，由反比例函数的对称性得OA=OB，根据等底同高三角形面积相等得S△AOC=S△COB，根据反比例函数k的几何意义可得S△AOD=1，S△COD=2，则S△AOC=3，据此计算.【规范解答】解：连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，如图，∵反比例函数y=-为对称图形，∴O为AB的中点，∴S△AOC=S△COB，∵由题意得A点在y=-上，B点在y=上，∴S△AOD==1，S△COD=2；S△AOC=S△AOD+S△COD=3，∴S△ABC=S△AOC+S△COB=6.故答案为：C.

【变式训练01】（2022·锡山模拟）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为，点C'的坐标为.【变式训练02】（2021·江都模拟）如图，平行四边形ABCO的边AB的中点F在y轴上，对角线AC与y轴交于点E，若反比例函数（x＞0）的图象恰好经过AF的中点D，且△AEO的面积为6，则k的值为.【变式训练03】（2021·大丰模拟）如图，点在反比例函数（）的图象上，点在反比例函数（）的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点.则的面积为（）

A．3 B．4 C．5 D．6易错分析易错分析06与坐标轴交点坐标一定要会求。面积最大值的求解方法，距离之和的最小值的求解方法，距离之差最大值的求解方法。此类问题需要掌握一定的解题技巧，特别是辅助线的作法上，掌握必要的辅助线作法模型很重要，对解题速度，正确率都有很大的帮助。（2022·南通模拟）若抛物线的图像与轴有交点，那么的取值范围是．【答案】m＜1【思路点拨】答案有误，没有考虑到多种情况。令y=0，根据抛物线的图象与x轴有交点可得△≥0，代入求解可得m的范围.【规范解答】解：抛物线的图像与轴有交点，令，有，即该方程有实数根，，

．故答案是：m≤1．【变式训练01】（2022九上·盐城期末）二次函数的图象如图所示，则三个代数式①abc，②，③中，值为正数的有.（填序号）【变式训练02】（2021九上·浦口月考）已知二次函数y＝（x－m）2－1（m为常数）.（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）请根据m的不同取值，探索该函数图象过哪些象限?（直接写出答案）（3）当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值.【变式训练03】（2021九上·淮阴月考）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，若点E为第二象限内抛物线上一动点，连接BE、CE.（1）求B、C两点的坐标；

（2）求四边形BOCE面积的最大值.易错分析易错分析07数形结合思想方法的运用，还应注意结合图像性质解题。函数图象与图形结合学会从复杂图形分解为简单图形的方法，图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据。（2016·丹阳模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④b=2a中，正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【思路点拨】答案有误。根据二次函数图象与x交点的个数来判定b2﹣4ac的符号；将x=﹣1时，y＜0来推知a﹣b+c的符号；根据函数图象的开口方向、与坐标轴的交点的位置以及对称轴的位置来判定abc的符号；根据图象的对称轴来判断b=2a的正误．【规范解答】解：①根据二次函数的图象知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2﹣4ac＞0；故本选项错误；②根据图示知，当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；故本选项正确；③∵抛物线的开口向下，

∴a＜0；又∵该抛物线与y交于正半轴，∴c＞0，而对称轴x=﹣=﹣1，∴b=2a＜0，∴abc＞0；故本选项正确；④由③知，b=2a；故本选项正确；综上所述，正确的选项有3个．故选C．【变式训练01】（2022·连云港）已知二次函数，其中.（1）当该函数的图象经过原点，求此时函数图象的顶点的坐标；（2）求证：二次函数的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图象与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值.【变式训练02】（2022·泗阳模拟）如图1，已知矩形的边长，.

某一时刻，动点M从点A出发，沿以的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿方向以的速度向点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为t.（1）若是等腰直角三角形，则t=（直接写出结果）.（2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由.（3）如图2，连接，试求的最小值.【变式训练03】（2022九下·扬州期中）已知：平面直角坐标系内一直线：y＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，抛物线在x轴上方部分上有一动点D，连结AC；

（1）求抛物线解析式；（2）当D在第一象限，求D到直线BC的最大距离；（3）是否存在D点某一位置，使∠DBC＝∠ACO？若存在，请直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由.一、选择题1．（2022九上·通州月考）抛物线的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝22．（2022九上·通州月考）抛物线可以看作是由抛物线经过以下哪种变换得到的（）A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位3．（2022九上·吴江月考）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）

A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）4．（2022·南通）如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图象大致为（）A． B．C． D．5．（2022·南通）根据图像，可得关于x的不等式的解集是（）

A． B． C． D．二、填空题6．（2022·淮安）在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值是.7．（2022九上·通州月考）抛物线开口方向是．8．（2022九上·洪泽月考）如图，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点B在反比例函数图象上，点C的坐标为（3，4），则反比例函数的关系式为．9．（2022九上·海陵月考）如图，反比例函数在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线与x轴相交于点C，D是线段上一点．若，连接，记，的面积分别为，，则的值为．10．（2022·盐城）《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点

，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为