江苏省徐州市2023-2024学年高二上学期1月期末抽测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省徐州市2023-2024学年高二上学期1月期末抽测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的〖答案〗信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗，〖答案〗不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新的〖答案〗；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的〖答案〗无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过两点的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，经过直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为.故选：C2.圆的圆心坐标和半径分别为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据圆的标准方程，即可得圆心坐标为，半径为.故选：D3.己知是等差数列，，则（）A. B. C.0 D.14〖答案〗C〖解析〗设等差数列的公差为d，则，解得，所以.故选：C4.己知函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数的极小值点的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗根据导函数的图象可知，有三个变号零点，则可得函数在上的单调性为先增再减，再增又减，所以函数的极小值点的个数为1个.故选：A5.若椭圆C的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，长轴长、短轴长、焦距成等比数列，所以，即，则，即，则，得，解得或（舍）故选：D.6.若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，依题意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，则，显然当时，，此时在上单调递减；当时，，此时在上单调递增；所以在时取得最小值，即；因此只需满足即可，即实数a的取值范围是.故选：B7.已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得,即数列是以为首项，公比的等比数列，可得，即；所以，因此，且当x趋近于+∞时，趋近于，所以实数k的取值范围为.故选：A8.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗令，，则，当时，，∴在区间上单调递增，∴，即，故，因为，所以，即，故，所以，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.己知是等比数列，公比为q，前n项和为，则下列说法正确的是（）A.为等比数列 B.为等差数列C.若，则 D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，故为公比为的等比数列，故A正确；对于B，，所以是公差为的等差数列，故B正确；对于C，若，则，则，所以，但，故C错误；对于D，因为，所以，，，因为是等比数列，所以，解得：，故D正确.故选：ABD.10.已知直线与圆相切，椭圆，则（）A.点在圆O内 B.点在圆O上C.点在椭圆C内 D.点在椭圆C上〖答案〗BC〖解析〗由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离，即，所以点在圆O上，并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内.故选：BC11.已知函数，则（）A.有两个极值点 B.有三个零点C.当时， D.过点可作三条直线与曲线相切〖答案〗ACD〖解析〗A选项，的定义域为R，，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故为极大值点，为极小值点，共2个极值点，A正确；B选项，极大值，极小值，又，，结合A选项中函数单调性及零点存在性定理可得，有且只有，使得，故函数只有1个零点，B错误；C选项，令，则，故在R上单调递增，故当时，，C正确；D选项，由于，故点不是函数上点，设切点为，，故，故切线方程为，将点代入切线方程中得，，可以看出是方程的根，故，令，两根为，综上，过点可作三条直线与曲线相切，D正确.故选：ACD12.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，过点P的直线l与C的两条渐近线分别交于点M，N，则下列说法正确的是（）A.的最小值为4B.与C仅有公共点P的直线共有三条C.若，且P为线段MN的中点，则l的方程为D.若l与C相切于点，则M，N的纵坐标之积为〖答案〗BD〖解析〗由题意，双曲线，可得，则，所以焦点，且，设，则，双曲线的两条渐近线的方程为，A：由，所以，得，即的最小值为，故A错误；B：过点P作双曲线的一条切线，和两条平行于渐近线的直线，这3条直线与双曲线仅有公共点P，故B正确；C：设，直线的方程为，则，，两式相减得，即，所以，所以直线的方程为，即，故C错误；D：设直线的方程为，联立方程组，整理得，若直线与双曲线相切，则，整理得，联立方程组，解得，即点的纵坐标为，联立方程组，解得，即点的纵坐标为，则点的纵坐标之积为，故D正确；故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与直线平行，则实数a的值为____________.〖答案〗1〖解析〗由题可知两直线的斜率存在，故，由，则它们的斜率相等且纵截距不等，∴，解得.故〖答案〗为：1.14.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为，则与C相切于弦AB端点的一条直线的方程为____________.〖答案〗或〖解析〗抛物线的焦点，设直线的方程为，联立，得，，，由题意可知，，得，方程为，得或，时，，当，，不妨设，,，所以函数在点处的导数，此时切线方程为，即；函数在点处的导数，此时切线方程为，即，综上可知，与C相切于弦AB端点的一条直线的方程为或.所以直线的方程为，15.已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为____________.〖答案〗〖解析〗易知为椭圆的下焦点，点在椭圆内部；设为椭圆的上焦点，连接，由椭圆定义可得，则，所以，当且仅当三点共线时，取得最小值，如下图所示：因此则的最小值为.故〖答案〗为：16.若实数t是方程的根，则的值为____________.〖答案〗〖解析〗由可得，即即可得实数t是方程的根，即；易知，所以；令函数，则在上恒成立；所以在上单调递增，因此需满足；可得，同时取对数得，即；所以，即.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.己知直线，直线l过点且与垂直.（1）求直线l的方程；（2）设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程.解：（1）由题意可得的斜率为，可得直线l的斜率为，由点斜式方程可得，即直线；（2）联立直线l和方程，解得；联立直线l和方程，解得；如下图所示：设过三点A，B，O的圆的方程为，将三点坐标代入可得，解得，可得圆的方程为（或）.18.已知数列的首项为2，前n项和为，且.（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）由，首项为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）可知，，即，当时，，当时，成立，所以，，，，两式相减得，，所以.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若函数有最小值2，求a的值.解：（1）当时，，的定义域为，则，则，，由于函数在点处切线方程为，即.（2）的定义域为，，当时，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，即则令，设，，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，解得：.20.已知椭圆右焦点为，且过点.（1）求C的方程；（2）若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.解：（1）椭圆的右焦点为，则椭圆的半焦距为，由于，则椭圆的方程变为：，将点的坐标代入，，解得：或（舍去），得，所以椭圆方程为.（2）依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为，，，由消去x并整理得：，，，的面积，，设，，，因为，当且仅当，时取得“=”，于是得，，所以面积的最大值为1.21.已知函数.（1）当时，试判断的单调性；（2）若，且a的取值集合中恰有3个整数，求b的取值范围.解：（1）由题设，则，当时，则单调递减；当时，则单调递增；（2）由题设，则，当，则，即递减；当，则，即递增；所以，由，有，令，则，当，，递减；当，，递增；所以，而，，，，由a的取值集合中恰有3个整数，故取，又，，所以，故只要.22.已知抛物线过点，直线l与C交于A，B两点，且.（1）当l垂直于x轴时，求的面积；（2）若，D为垂足，求点D到直线的距离的最大值.解：（1）根据题意由抛物线过点可得，解得，即抛物线方