第21讲 相似三角形及其应用（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）（原卷版）

第21讲相似三角形及其应用目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一相似三角形的性质与判定题型01添加条件使两个三角形相似题型02证明两个三角形相似题型03确定相似三角形的对数题型04在网格中判断相似三角形题型05利用相似的性质求解题型06利用相似的性质求点的坐标题型07在网格中画与已知三角形相似的三角形题型08证明三角形的对应线段成比例题型09利用相似三角形的性质求解决折叠问题题型10利用相似三角形的性质判断函数图象题型11尺规作图与相似三角形综合应用题型12三角板与相似三角形综合应用题型13平移与相似三角形综合应用题型14利用相似三角形的性质与判定求线段比值题型15利用相似三角形的性质与判定求最值题型16利用相似三角形的性质与判定解决动点问题题型17利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题考点二相似三角形的常见模型题型01A字模型题型028字模型题型03一线三垂直模型题型04三角形内接矩形模型题型05旋转相似模型考点三相似三角形的应用题型01测量树高题型02测量旗杆高度题型03测量楼高问题题型04测量河宽问题题型05杠杆问题题型06实验问题题型07九章算经问题题型08三角形内接矩形问题

考点要求新课标要求命题预测相似三角形的性质与判定了解相似三角形的判定定理.了解相似三角形判定定理的证明.了解相似三角形的性质定理.相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点.它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察.而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段.需要考生在复习的时候给予加倍的重视!相似三角形的常见模型相似三角形的应用会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.考点一相似三角形的性质与判定相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”.相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2）两个三角形相似的判定定理：①三边成比例的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③两角分别相等的两个三角形相似．④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.相似三角形的性质：1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3）相似三角形周长的比等于相似比.4）相似三角形面积比等于相似比的平方.判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；1.1.判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等.题型01添加条件使两个三角形相似【例1】（2023·河北邢台·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（

）A．CA平分∠BCD B．∠DAC=∠ABC C．AC【变式1-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）如图，要使△ACD∼△ABC，则需要添加的条件是（填一个即可）

【变式1-2】（2023·江西赣州·统考一模）如图，已知ABAC=ACAD题型02证明两个三角形相似【例2】（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点A、D、C、E在同一直线上，满足∠ABC=90°，BD⊥BE

【变式2-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B．请用尺规作图法，在BC边上求作一点M，使△CMA∽【变式2-2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD

(1)求证：△APC∽△DPB；(2)若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长.【变式2-3】（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，CE=BF，点Q在线段AB上，且AE求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)△ACE∽△AFQ．题型03确定相似三角形的对数【例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72∘.

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【变式3-1】（2022·广东江门·校考一模）如图，BD和CE是△ABC的高，在不添加其它字母情况下，则图中相似三角形共有（

）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对题型04在网格中判断相似三角形【例4】（2019·浙江·校联考三模）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【变式4-1】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能与△ABC相似的是．（△ABC除外）题型05利用相似的性质求解【例5】（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，∠ADE=60°，若AD=4,BDCE=32，则

A．1 B．43 C．2 D．【变式5-1】（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，△ABC中，DE∥BC，若ADBD

A．DEBC=23 BC．DOCO=23 D【变式5-2】（2023·云南红河·统考二模）如图，△ADE∼△ACB，DE=5，S△ADE:S四边形BCED=9:16

A．8 B．203 C．253 D【变式5-3】（2023·福建南平·统考二模）在等边三角形ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若△ABC的周长为12，则△ADE的周长为（

）A．3 B．4 C．6 D．9【变式5-4】（2023·甘肃武威·统考三模）已知△ABC∽△DEF，且∠A=30°，∠E=30°，则∠C的度数是（A．120° B．60° C．90° D．30°题型06利用相似的性质求点的坐标【例6】（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第二中学校校考二模）如图，已知点A、B的坐标分别是0,1、0,3，点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是（

）A．2,0 B．3,0 C．2,0 D【变式6-1】（2023·江西九江·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则P

【变式6-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2-32x+c与x轴交于A(-1,0)、(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AC，点P为抛物线上一点，且在y轴右侧，过点P作PQ⊥x轴于Q，若△PAQ∽△ACO，请求出点【变式6-3】（2023·江西赣州·统考一模）如图，直线y=ax+2与x轴，y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y=kxx>0相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=4，点A(1)求一次函数和双曲线的解析式；(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当△ABO∼△CQH时，求点Q的坐标．题型07在网格中画与已知三角形相似的三角形【例7】（2023·吉林延边·统考一模）如图是由边长为1的小正方形组成的6×8的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，在给定的网络中，只用无刻度直尺，按要求作图，不要求写画法．

(1)在图①中，作△DEF，使△DEF≌△ABC，且点D、E、F均在格点上．(2)在图②中，作△CGH，使△CGH∽△ABC，点G、H均在格点上，且相似比不为1．(3)在图③中，作∠AMB，使∠AMB=2∠C．【变式7-1】（2023·浙江温州·校考三模）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画格点三角形（顶点在格点上），且三角形的各个顶点均不与点A，B，C重合．

(1)在图1中，作一个格点△DEF，使得△DEF与△ABC相似（相似比不等于1），且AB∥(2)在图2中，作一个格点△PQR，使得△PQR与△ABC全等，且每条对应边都互相垂直．注：图1，图2在答题卷上．【变式7-2】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点及线段MN的端点均在格点（网格线的交点）上．(1)作出△ABC关于直线MN对称的△A(2)画出一个格点△EFC，使△EFC∽△ABC（相似比不为1）．题型08证明三角形的对应线段成比例【例8】（2020·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（

）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2【变式8-1】（2020·安徽合肥·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（

）A．2 B．32 C．5 D．【变式8-2】（2023·上海松江·统考一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且求证：(1)△ABD∼△FCB；(2)BD⋅BE=AD⋅CE．题型09利用相似三角形的性质求解决折叠问题【例9】（2020·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE=35a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上，则a的值为A．53 B．35 C．53或53 D【变式9-1】（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A'DE，且点A'落在BC边上，若△A'DC恰好与

【变式9-2】（2020·河南平顶山·统考一模）如图所示，已知等边△ABC，边长为3，点M为AB边上一点，且BM=1，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连结MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为点P，当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为．【变式9-3】（2022·辽宁抚顺·统考一模）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，F是为射线AD上的一个动点，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和直线EH于点N，M，已知∠BAC＝30∘，BC=2，若△EMN与△AEF相似，则AF题型10利用相似三角形的性质判断函数图象【例10】（2023·河北邯郸·校考三模）在△ABC中，AH⊥BC于点H，点P从B点出发沿BC向C点运动，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图1），而y关于x的函数图象如图2所示．Q1，3是函数图象上的最低点．当△ABP为锐角三角形时x的取值范围为（A．2<x<4 B．1<x<3 C．1<x<4 D．3<x<5【变式10-1】（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4，点P为边AB上一动点，过点P作直线l⊥AB，交折线ACB于点Q．设AP=x,CQ=y，则y关于x的函数图象大致是（

A．

B．

C．

D．

【变式10-2】（2023·江苏南通·校考一模）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于点F，设点E的运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是45，则矩形ABCD的面积是（

A．20 B．16 C．65 D．【变式10-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校联考二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P从B点出发，沿B→C→D方向移动，连接DP，过P作PQ⊥DP交边AB于点Q，设点P走的路程为x，线段BQ的长度为y，则y与x之间函数图象大致为（）A．B．C．D．题型11尺规作图与相似三角形综合应用【例11】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，在△ABC中，AB边上有一点D．

(1)尺规作图：在AC上取一个点E，使得△ADE∽△ACB（尺(2)在（1）的基础上，若AD=3cm，AC=6cm，BC=5cm，求DE的长度．【变式11-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）已知△ABC．

(1)在边AB上取一点P，使△APC∽△ACB（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若PB=AC，求PBAB【变式11-2】（2023·广东广州·校考二模）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8

(1)尺规作图，过点D作DE⊥BC交边AC于点E；(2)求ED、(3)点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°，若BP=2，求CQ的长．题型12三角板与相似三角形综合应用【例12】（2022·湖北荆门·校考模拟预测）如图，两块大小不相同的含30°的直角三角板拼在一起，若AB=3，CD=2，则AEA．2 B．32 C．12 D【变式12-1】（2023·陕西渭南·统考一模）【问题情景】含30°角的直角三角板ABC中∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<90°)，得到Rt△A'B'C，边(1)如图1，若A'B'边经过点B，则α的度数为(2)【探究发现】如图2是旋转过程的一个位置，过点D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，设BC=1，△BDE的面积为S，当S=①求AD的长；②以点E为圆心，BE为半径作⊙E，并判断此时直线A'C与【变式12-2】（2022·吉林长春·校考模拟预测）取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角(0°<α≤45°)得到△ABC试问：(1)当α为多少度时，能使得图②中AB∥DC；(2)当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；(3)连接BD，当0°<α≤45°时，探寻∠DBC【变式12-3】（2022·湖南永州·统考二模）如图，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在同一条直线上，AB=BC=40cm，OD=20cm．(1)如图①，当AC与量角器的半圆相切时，求AD的长；(2)如图②，当AB和DE重合时，求证：CF题型13平移与相似三角形综合应用【例13】（2023·河南南阳·统考二模）如图，三角形OAB的顶点O0,0、A6,0、B6,8，C是OB边的中点，过点C作CD⊥OB交x轴于点D，将△OCD沿x轴向右平移，当点C的对应点恰好落在AB边上时，此时点D对应点的坐标为（

A．343,0 B．253,0 C．【变式13-1】（2022·山西晋城·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD是BC边上的中线．将△ABC沿AD方向平移得到△A'B'C'．A'C'与BC相交于点E，连接BA'并延长，与边AC相交于点

【变式13-2】（2023·广东深圳·校考三模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点C(2，0)，点B132,0，双曲线y=165x经过点A．将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，点A'在反比例函数y=k

【变式13-3】（2023·河北石家庄·校考二模）如图1，正方形ABCD的边长是4，对角线AC的中点为O．△ACD沿AC方向平移得到△A

(1)如图2，当点A'移动到点O时，点A'移动的距离是___________，A(2)当点A'移动到点O时，将△A'①当A'C'过BC中点时，△②P、Q分别是边AB、BC上的点，且AP=2PB，CQ=2BQ．嘉嘉说，当A'C'过点P时，A'D题型14利用相似三角形的性质与判定求线段比值【例14】（2021·广东江门·校联考模拟预测）如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．

(1)求证：FC是⊙O的切线；(2)连接DC、CO，判断四边形(3)求OG与GE的比值．【变式14-1】（2023·湖南株洲·校考三模）已知：如图，过原点的直线l1与反比例函数y1=mx(x>0)的图像交于点A2,4，与反比例函数y2=2xx<0的图像交于点Ba,b，过原点的直线l2与y1，y2的图像分别相交于C、(1)求m和ab的值；(2)当直线l2绕点O①直接写出比值OCOD=___________②点E是否在某个反比例函数的图像上运动？如果是，请求出这个反比例函数的解析式；如果不是，请说明理由．【变式14-2】（2023·江苏无锡·模拟预测）（1）如图1，正方形ABCD，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，有∠FOD＝90°，则AFDE=

（2）如图2，平行四边形ABCD，AB=285，BC=165，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，当∠FOD＝∠

（3）如图3，四边形ABCD，AB＝113，∠B＝∠ADC＝120°，BC＝45，CDAD=97，点E在边AB上，连接AC与DE交于点O，当∠COD＝∠

题型15利用相似三角形的性质与判定求最值【例15】（2019·广东·江门市第二中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．(1)求线段CD的长；(2)当△CPQ与△BDC相似时，求t值；(3)设△CPQ的面积为y，求y与t的函数关系式，并判断△PCQ的面积是否有最大值还是最小值？若有，求出t为何值时y的最值，若没有，则说明理由．【变式15-1】（2022·山东济宁·统考一模）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，AC⊥BC,CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD=a，BD=b0<a<b①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；②比较大小：CE__________CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y=1xx>0的图像上，横坐标分别为m、n．设p=m+n,q=①当m=1,n=2时，l=__________；当m=3,n=3时，l=________；②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．题型16利用相似三角形的性质与判定解决动点问题【例16】（2023·广东茂名·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，点E为BC上的动点，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，EF与AC相交于点G，若AB=3AD，AC=3，BC=6，CG=0.8，则CE的值为．【变式16-1】（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=6-23，点P是BC上一动点，

题型17利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题【例17】（2023·广东汕尾·统考二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（B在A的左边），与y轴交于点C0,3，顶点为D-1,4(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2)如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点E，连接PC，是否存在点P，使得△PCE与△BME相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式17-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决

（1）若四边形ABCD是菱形，边长为2，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，如图1，连接CE、DE，则BP与CE的数量关系为，DE长度的最小值为．【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决：（2）如图2，若四边形ABCD是正方形，边长为2，点O为BD中点，点P是射线BD上一动点，以AP为斜边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，∠AEP=90°，连接OE、DE①BP与OE的数量关系；②求DE长度的最小值．【拓展应用】（3）如图3，在（2）的基础上，当P是对角线BD的延长线上一动点时，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，∠APE=90°，连接BE，若AB=2，BE=6，求△BPE【变式17-2】（2023·广东湛江·统考二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点(B在A的左边)，与y轴交于点C0,3，顶点为D-1,4(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2)如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点E，连接PC，是否存在点P，使得△PCE与△BME相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式17-3】（2022·湖北宜昌·校联考模拟预测）如图，已知平行四边形ABCD中，AD=5，AB=5，tanA=2，点E是射线AD上一动点，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF．设AE=m．(1)如图当点E在边AD上时．①求证△AEF∽△BGF．②当S△DCE=4S(2)当点E在边AD的延长线上时，是否存在这样的点E使△AEF与△CFG相似？如果存在求出此时AE的长度m．【变式17-4】（2023·湖南长沙·统考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+4a>0与x轴交于点A1,0和B4,0，与(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ，当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE=2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．考点二相似三角形的常见模型模型图形结论证明过程（思路）A字模型①∆ADE~∆ABC②AD1)已知DE∥BC则∠ADE=∠ABC而∠A=∠A所以∆ADE~∆ABC2)已知∠1=∠2∠A=∠A所以∆ADE~∆ABC共边反A字模型①∆ABC~∆ACD②AB③AC2=AB•AD剪刀反A字模型①∆ABC~∆ADE②AB证明过程参照按照2）8字模型正8字模型①∆AOB~∆COD②AO反8字模型①∆AOB~∆DOC②AO3)已知AB∥DC则∠A=∠C而∠AOB=∠DOC所以∆AOB~∆COD4)已知∠1=∠2∠AOB=∠DOC所以∆AOB~∆DOC一线三垂直①∆ABC~∆CDE②AB③当点C为BD中点时，∆ABC~∆CDE~∆ACE5)∵∠B=∠D=∠ACE=90°∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°则∠1=∠3由此可得∆ABC~∆CDE6)∵∆ABC~∆CDE∴ABCD=AC则ABBC=∴∆ABC~∆ACE则∆ABC~∆CDE~∆ACE三角形内接矩形①∆ABC~∆ADG②AD③若四边形DEFG为正方形即DGBC=AMAN则xBC=AN-xAN若已知B7)∵四边形DEFG为矩形∴DG∥BC而AN⊥BC∴∆ABC~∆ADG∠AMG=∠ANC=90°∴ADAB旋转相似模型①∆ABD~∆ACE∵∆ADE~∆ABC∴∠BAC=∠DAEAD而∠1+∠DAC=∠BAC，∠2+∠DAC=∠DAE∴∠1=∠2∴∆ABD~∆ACE题型01A字模型【例1】（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，ADDB=23，DE＝6cm，则BCA．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【变式1-1】（2022·广东中山·统考一模）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD，AC:AB=1:2，则△ADC与△ACB的周长比是（

）A．1:2 B．1:2 C．1:3 D．【变式1-2】（2023·河南驻马店·统考一模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DEBC(1)若AB=8，求线段AD的长．(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．题型028字模型【例2】（2023·山东淄博·统考一模）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（

）A．5 B．6 C．163 D．【变式2-1】（2020·湖北武汉·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果CEBE=2【变式2-2】（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（

）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm【变式2-3】（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB=6，则△AEF的面积为．题型03一线三垂直模型【例3】（2018·湖南永州·校联考一模）如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G．（1）求证：AE＝BF；（2）若BE＝3，AG＝2，求正方形的边长．【变式3-1】（2023·广西·模拟预测）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是（

A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)【变式3-2】（2020·重庆·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则

A．163 B．8 C．10 D．【变式3-3】（2018·河南信阳·统考二模）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝1x的图象上．若点B在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为【变式3-4】（2020·福建漳州·统考模拟预测）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=14AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q【变式3-5】（2019·四川成都·校联考一模）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝62，BD＝4，则DE的长为．【变式3-6】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，过点A、B分别作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，则DE=AD+BE

(1)【类比探究】如图2，在△ABC中，AC=BC，且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．(2)【拓展延伸】①如图3，在△ABC中，AC=nBC，且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°，猜想线段DE、AD、BE之间有什么数量关系？并证明你的猜想．②若图1的Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=nBC，并将直线l绕点C旋转一定角度后与斜边AB相交，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E，请在备用图上画出图形，并直接写出线段DE、AD、BE题型04三角形内接矩形模型【例4】（2021·山东淄博·统考二模）如图，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（

）A．15 B．20 C．25 D．30【变式4-1】（2023·云南·模拟预测）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2EF,AD是△ABC的高．BC=8,AD=6，那么EH的长为．【变式4-2】（2022·内蒙古包头·校考三模）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=23EH，那么EH的长为A．23 B．13 C．32【变式4-3】（2023·湖南长沙·统考二模）如图，已知在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC边上，G、H分别在AC、AB上，则内接矩形EFGH的最大面积为

题型05旋转相似模型【例5】（2023·湖南岳阳·统考三模）

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD①求BDCE②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．【变式5-1】（2021·山东德州·校考一模）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，【变式5-2】（2023·广东深圳·深圳市福田区上步中学校考三模）问题背景：小李在探究几何图形的时候，发现了一组非常神奇的性质：如图1，等边三角形△ABC，△CDE中，连接AD，BE可以得到△ACD≌△BCE，好学的他发问取迁移应用：如图2，在正方形ABCD中，点O为CB的中点，构造正方形EHMF绕O点进行旋转，OE=OF，连接AH，BE，联系拓展：如图3，等腰Rt△ABC，△BDE中，AB=AC，BD=DE，∠BDE=∠BAC=90°，当△BDE绕B点旋转的过程中取AD，CE的中点M，N，连接MN，若

【变式5-3】（2022·安徽合肥·校考三模）在△ABC和△AED中，点E为△ABC内一点，∠ABC=∠AED=60°，∠ACB=∠ADE=α．(1)如图①，若α=60°，求证：BE=CD．(2)如图②，若α=90°，直线BE分别交线段AC和直线CD于点H、G，求CDBE(3)在（2）的条件下，若AC=9，AD=6，将△ADE绕点A旋转，当点H恰是线段AC的三等分点时，请直接写出AG的长．考点三相似三角形的应用1.利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．2.利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．3.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．题型01测量树高【例1】（2023·安徽宿州·统考一模）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．(2)估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．测得DF=0.5m，EF=0.3m，CD=10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB【变式1-1】（2022·陕西渭南·统考一模）雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E处有一处积水，如图，若小李站在D处距积水2米，他正好从水面上看到距他约10米的前方一棵树的顶端A的影子．已知点D、E、B在同一直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高．（∠CED＝∠AEB，积水水面大小忽略不计）题型02测量旗杆高度【例2】（2023·广东深圳·校考一模）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（A．22.5m B．20m C．14.4m【变式2-1】（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考三模）某学习小组利川直立在地而上标杆DE测量直立在同一水平地面上的旗杆AB的高度（如图），同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光，下的影长分别BC=8.8m,EF=2.2m已知B，C，E，F在同一直线上AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.4m

【变式2-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得学校旗杆的影长为900cm，在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为53°．乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．

任务要求：(1)请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度；(2)如图2，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长等于线段NG的影长．）（参考数据：sin53°≈题型03测量楼高问题【例3】（2023·北京顺义·统考二模）如图，要测量楼高MN，在距MN为15m的点B处竖立一根长为5.5m的直杆AB，恰好使得观测点E、直杆顶点A和高楼顶点N在同一条直线上．若DB=5m，DE=1.5m，则楼高MNA．13.5m B．16.5m C．17.5m【变式3-1】（2021·浙江台州·统考一模）如图，为测量楼高AB，在适当位置竖立一根高2m的标杆MN，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长AC=20m, MP=2.5A．15m B．16m C．18m题型04测量河宽问题【例4】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，为了估算河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点2米远的B点，立一根长为1米的标杆AB，在河对岸的岸边有一块高为2.5米的安全警示牌MF，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即PM=PN，两岸均高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？【变式4-1】（2021·陕西西安·校考一模）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．题型0