高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题8.3立体图形的直观图（重难点题型精讲）（学生版）

专题8.3立体图形的直观图（重难点题型精讲）1．空间几何体的直观图(1)直观图的概念

直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.

在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.

(2)斜二测画法及其步骤

利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：

①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面.

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段.

③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.(3)旋转体及其相关概念

斜二测画法画空间几何体的直观图的规则

画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有以下规则.①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.

②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.

③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系(1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积.(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为，由斜二测画法得到的直观图的面积为，则有=.【题型1斜二测画法】【方法点拨】根据斜二测画法画直观图的规则和步骤，进行求解即可.【例1】（2023·高一课时练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（

）A． B． C． D．【变式11】（2022秋·陕西渭南·高一期末）如图，△A'B'C'是△ABC的直观图，其中B'A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定【变式12】（2022春·山西吕梁·高一期中）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中OA．6 B．46 C．42 【变式13】（2022·全国·高三专题练习）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABCA．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【题型2画平面图形的直观图】【方法点拨】画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.【例2】（2023·高一课时练习）如图，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC=3【变式21】（2023·高一课时练习）用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积．【变式22】（2023·全国·高三专题练习）用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)【变式23】（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：(1)边长为3cm(2)边长为4cm(3)边长为2cm【题型3画空间几何体的直观图】【方法点拨】(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确地画出.(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致.【例3】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体ABCD−A【变式31】（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．【变式32】（2022·高一课时练习）已知直三棱柱ABC−A1B1C【变式33】（2022·全国·高一专题练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．【题型4平面图形的面积与其直观图的面积的关系】【方法点拨】根据斜二测画法中平面图形的面积与其直观图的面积的关系，结合具体条件，进行转化求解即可.【例4】（2022秋·四川内江·高二期中）如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA．242 B．122 C．12 【变式41】（2022秋·四川·高二期中）如图，Rt△O'A'A．1 B．2 C．22 D．【变式42】（2022秋·安徽六安·高三阶段练习）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为