第一章(第四节续,第五节)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页全概率公式与贝叶斯公式(续)定理设事件组满意：（1）；（2）互不相容；（3），(倘若某,则在概率计算中将其去掉)则有如下结论(I)对随意事件，恒有;(1.10)(II)对随意事件，有,,(1.11)注:这两个公式当时,(条件也变为可列个事件),也有相应的公式.,.理论意义,以后常常在论证推导中用到;实际计算概率主意,化难为易,解决问题;注重典型例题及在变化的情景中灵便运用;贝叶斯公式在概率诊断,概率判断方面实用。例4在无线电通讯中,因为随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0”、不清和1的概率分离为0.7,0.2,0.1;当发出信号为1时,收到信号为1、不清和0的概率分离为0.9,0.1和0.倘若在发报过程中0和1浮上的概率分离是0.6和0.4,当收到信号不清时,原发信号是什么？试加以预测.解设原发信号为“0”, 原发信号为“1”, 收到信号“不清”,由贝叶斯公式得,.因为收到信号不清时,原发信号为“0”概率较之原发信号为“1”的概率为大,因此通常应判断原发信号为“0”.例5甲袋中装有3只红球、2只白球,乙袋中装有红、白球各2只.从甲袋中任取2只球放入乙袋,然后再从乙袋中随意取出3只球.求从乙袋中至多取出1只红球的概率;若从乙袋中取出的红球不多于1只,求从甲袋中取出的2只全是白球的概率.解令从乙袋中至多取出1只红球, 从甲袋中恰好取出只红球,(只白球),;易知互不相容,,且;又,故由全概率公式得;易知要求概率,由贝叶斯公式得.第五节事件的自立性普通情况下,条件概率,这说明事件的发生对于事件发生的概率有影响.倘若事件的发生不影响事件发生的概率,即,便得.我们把具有这种性质的两个事件与称为是互相自立的,即有定义8对随意两个事件、,若成立,则称与互相自立,简称自立.例把一颗匀称的骰子延续掷两次,看见浮上的点数。第一次掷出5点,第二次掷时出5点,则显然有,,,成立,即与互相自立。(这与实际感觉到的相符).异常事件的性质:若,则对随意事件,,,,与互相自立;异常与互相自立.若,对随意事件,由且知,,且,故,即与互相自立;异常与互相自立.设为事件,若对随意事件,都有与互相自立,则有或.事实上,,对随意事件,异常取,则,于是有或,再由(1)和(2)得证.事件互相自立判别法:定理三对随意事件、,且,则与自立的充足须要条件是.证实须要性已知与自立,即有,于是;充足性已知,即得,从而,即得与自立.定理三＇对随意事件、,且,，则与自立的充足须要条件是.(自立涵义直观理解的公式化)证实须要性已知与自立,即有,从而,,于是充足性已知,由,,得出,,于是,即得与自立.自立事件的性质定理四若与自立,则(1)与自立;(2)与自立;(3)与自立.(结论的直观理解)证实(1)因,,故,由定义知,与自立;(2)同理可证或由与的地位对称性,得与自立;(3)与自立，推得与自立，利用(1)，得与自立．(或,即得与自立)有限多个事件的自立性和无穷多个事件的自立性.定义9(1)若事件满意条件:,,则称个事件是两两自立的.(2)若事件满意条件:对随意整数()和,恒有,则称个事件互相自立.(3)对于可列无穷多个事件,若其中随意有限多个事件都互相自立,则称可列无穷多个事件互相自立.显然,若事件互相自立,则事件是两两自立的;反之,若事件是两两自立的,事件未必互相自立.例如(比如正四面体),,显然,,,,即是两两自立的;但,从而不互相自立.定理五若事件互相自立,则事件也互相自立.其中为或,.事件的自立性是一种异常容易情形,有了自立性,计算概率和理论推导就容易.判断自立性靠定义和性质.实际中,事件的自立性常常按照经验来判断或告诉是自立的.普通地,若个事件中的每一个事件发生的概率都不受其它事件发生与否的影响,那么就可以认为这个事件是互相自立的.自立条件下一些概率计算公式设事件互相自立,则(1);(2);(3).例1设甲乙两人自立地射击同一目标,他们击中目标的概率分离为0.8和0.6。每人射击一次，求目标被击中的概率。解令目标被击中， 甲击中目标， 乙击中目标，由题意知，，与自立，，；于是。或。例2三人自立地破译一个密码，他们各自能破译的概率分离为0.5,0.6,0.8,求至少有两人能将密码译出的概率.解设至少有两人将密码译出, 第个人将密码译出, ,由题意知,互相自立,且,故由概率的有限可加性和自立的性质得.破译密码的故事，电视剧《暗算》、〈〈对手〉〉、《风语》。 例3已知事件互相自立,且,，求.解由自立性及概率性质得,而,得到,化简得,得,或(舍去),故.例4袋中装有红球,个白球,从中作有放回的抽取,每次取一球,直到取得红球为止.求恰好次取得白球的概率.解设恰好次取得白球, 第次取得白球, 第次取得红球,,，,按照题意知,且互相自立,从而.例5甲、乙两人的射击水平相当,于是约定比赛规矩:双方对同一目标轮流射击,若一方失利,另一方可以继续射击,直到有人命中目标为止.命中一方为该轮比赛的优胜者.你认为先射击者是否一定沾光？为什么？解设甲、乙两人每次命中的概率均为,失利的概率为，,令,().假设甲先发第一枪,则