专题20圆锥曲线的离心率讲义高三数学二轮复习

专题20·圆锥曲线的离心率命题规律离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现。关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种方法：1利用圆锥曲线的定义解决；2利用题中的几何关系来解决问题。另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．题型归纳题型1定义法求离心率【解题技巧】一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义（主要使用椭圆和双曲线的第一定义）去考虑，会更简单．【例1】（2023春•江北区校级月考）已知F是椭圆C的右焦点，O为坐标原点，P是C上的一点，若|PF|＝2|OF|，且∠OFP＝120°，则C的离心率为（）A．1−32 B．2−3 C．3【分析】由椭圆定义，在焦点三角形中由余弦定理建立齐次方程，求得离心率．【解答】解：设椭圆半长轴为a，焦半径为c，左焦点为F1，则有F1（﹣c，0），F（c，0），|FF1|＝2c，|PF|＝2|OF|＝2c，|PF1|＝2a﹣|PF|＝2a﹣2c，所以在△PFF1中，cos∠OFP=4故选：D．【点评】本题主要考查了椭圆的定义和性质，考查了椭圆离心率的求法，属于中档题．【例2】（多选）（2022秋•湘潭期末）已知双曲线C：x2−y28=1的左、右焦点分别为F1，F2，若A．C的虚轴长为2 B．|PF2|的值可能为5 C．C的离心率为3 D．|PF2|的值可能为9【分析】由双曲线标准式确定a，b，c，可判断A，C，由双曲线第一定义可判断B，D，即可得出答案．【解答】解：双曲线C：x2−y28=1由双曲线第一定义得||PF1|﹣|PF2||＝2，|PF1|＝7，解得|PF2|＝5或9，c﹣a＝2，5≥2，9≥2，故B、D正确，故选：BCD．【点评】本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．题型2几何关系法求离心率【解题技巧】初高中平面几何的全部知识都可以涉及．【例1】（2023•辽阳一模）已知A，B，C为椭圆D上的三点，AB为长轴，AB＝7，AC＝3，∠BAC＝60°，则D的离心率是（）A．211 B．3211 C．3【分析】根据已知条件求得a，b2，进而求得椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆D的方程为x2如图，点C的横坐标为−(72−3cos60°)=−2因为AB＝7，所以a=7将点C的坐标代入x2(72)故e=1−故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．【例2】（2022秋•西安区期末）已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为C的右顶点，B为CA．4 B．5 C．6 D．7【分析】求出A点，B点坐标，利用斜率等于5结合b2＝c2﹣a2得到c2﹣5ac+4a2＝0，方程两边同除以a2得到关于离心率的方程，求出答案．【解答】解：由题意得：F（c，0），A（a，0），当x＝c时，c2a2因为AB的斜率为5，所以B点位于第一象限，则B(c，故kAB=b2ac−a=5，整理得：b因为b2＝c2﹣a2，即c2﹣5ac+4a2＝0，方程两边同除以a2得：e2﹣5e+4＝0，解得：e＝4或1（舍去），故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．题型3由三角形三边关系求离心率范围【解题技巧】椭圆x2a2+y双曲线x2a2−y【例1】（2022•望花区校级开学）已知椭圆C的焦点为F1，F2，短轴的一个端点为B，△BF1F2是一个等腰直角三角形，则椭圆C的离心率e＝（）A．12 B．2 C．22 【分析】利用椭圆焦点为F1、F2，点B是椭圆短轴的一个端点，△F1BF2为等腰直角三角形，确定a、c的关系，即可确定椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆焦点为F1、F2，点B是椭圆短轴的一个端点，且∠F1BF2＝90°，∴b＝c，∴a2＝b2+c2＝2c2，∴a=2c，∴e=故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力．【例2】（2023春•晋中月考）已知O是坐标原点，F是双曲线E：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点，平面内一点M满足△OMF是等边三角形，MF与双曲线E交于点N【分析】由题意画出图形，求出M的坐标，进一步得到N的坐标，代入双曲线方程，整理可得双曲线的离心率．【解答】解：如图，∵△OMF是等边三角形，∴M（−c2，3c2），则N（把N的坐标代入x2a2−y整理得：9e4﹣28e2+16＝0，∵e＞1，∴解得e2=14+213故答案为：13+1【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．题型4由余弦值求离心率范围【解题技巧】椭圆x2a2+y双曲线x2a2−y【例1】（多选）（2022秋•长寿区期末）双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为O，过F1作O的切线与双曲线C交于M，N两点，且cos∠F1MF2=45，则双曲线A．132 B．133 C．53【分析】当直线与双曲线交于一支时，设过F1的切线与圆D：x2+y2＝a2相切于点A，从而可求得|AF1|，过点F2作F2B⊥MN于点B，由中位线的性质求得|F1B|，|BF2|，在RtΔBMF2中，可求得|MF2|，|MB|，利用双曲线的定义可得a，b的关系，再由离心率公式求解即可，当直线与双曲线交于两支时，同理可求得离心率．【解答】解：当直线与双曲线交于一支时，记切点为A，连接OA，则|OA|＝a，|F1A|＝b，过F2作F2B⊥MN于B，则|F2B|＝2a，∴|BF1|=|F1∵cos∠F1MF2=45，∴∠F1MF2为锐角，∴sin∠F1MF2则|MF2|=|BF2|sin∠F1MF2=2a∴|MF1|＝|MB|−|F1B|=8a∴|MF2|﹣|MF1|=10a3−（8a3−2b）＝2a∴ba=23当直线与双曲线交于两支时，设过F1的切线与圆O：x2+y2＝a2相切于点P，则|OP|＝a，OP⊥PF1，∵|OF1|＝c，∴|PF1|=|OF过点F2作F2Q⊥MN于点Q，∴OP∥F2Q，∵O为F1F2的中点，∴|F1Q|＝2|PF1|＝2b，|QF2|＝2|OP|＝2a，∵cos∠F1MF2=45，∴sin∠F1MF2=35，∴|MF∴|MQ|＝|MF2|cos∠F1MF2=10a3×45=8a3，∴|MF1|＝|∵|MF1|﹣|MF2|＝2a，∴8a3+2b−10a3=2a，化简得3∴ba=43综上，双曲线的离心率为133或5故选：BC．【点评】本题考查双曲线的性质，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．【例2】（2023•洪山区校级模拟）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若从椭圆右焦点F2发出的光线经过椭圆上的点A和点A．12 B．22 C．32【分析】由题意可知A，D，F1三点共线，B，C，F1三点共线，再由AB⊥AD，且cos∠ABC=35，可得tan∠ABF1=43=|AF1||AB|，设|AF1|＝4k，|AB|＝3k，可得|BF1|＝5k，由椭圆的定义可知k与a【解答】解：连接AF1，BF1，由题意可知A，D，F1三点共线，B，C，F1三点共线，在△ABF1中，因为AB⊥AD，且cos∠ABC=3可得cos∠ABF1=35，sin∠ABF1=45，tan∠设|AF1|＝4k，|AB|＝3k，可得|BF1|＝5k，由椭圆的定义知|BF2|＝2a﹣|BF1|＝2a﹣5k，|AF2|＝|AB|﹣|BF2|＝3k﹣（2a﹣5k）＝8k﹣2a，又因为|AF1|+|AF2|＝2a，即4k+8k﹣2a＝2a，解得k=a所以|AF1|=4a3，|AF2|=8a3在Rt△AF1F2中，|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，即（4a3）2+（2a3）2＝（2c）2，得e故选：D．【点评】本题考查椭圆的性质的应用及光学的性质的应用，属于中档题．题型5由向量求离心率范围【解题技巧】椭圆x2a2+y双曲线x2a2−y【例1】（2023春•岳阳月考）已知F1，F2为双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)左右焦点，MA．2 B．62 C．173【分析】设|F1N|＝t，则|F2N|＝t+2a，进而可得t2+2at﹣2b2＝0，由由余弦定理，可得t2﹣2at+b2＝0，可求双曲线的离心率．【解答】解：由|ON|＝c，∴|ON|=12|F1F2|，所以F1N⊥F2设|F1N|＝t，则|F2N|＝t+2a，所以（t+2a）2+t2＝4c2⇒t2+2at﹣2b2＝0①，设∠F1F2N＝θ，则sinθ=t△MF1F2中，|MF2|＝2t，|MF1|＝2t+2a，|F1F2|＝2c，由余弦定理，(2t)2+4c2−8ctcos(θ+π2)=(2t+2a)2由①﹣②可得：t=3b把③代入①：得9b2＝8a2，所以9（c2﹣a2）＝8a2，即9c2＝17a2，所以e2故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查运算求解能力，属中档题．【例2】（2023•新乡二模）已知F是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点，P是E右支上一点，PF与A．62 B．263 C．3【分析】设点B（am，bm），由FA→=AB→=2BP→可表示出A【解答】解：∵B在双曲线的渐近线上，∴不妨设点B（am，bm），m＞0，又F（﹣c，0），且FA→=AB又bmam−c=−b又AB→=2BP→，∴am−am−c又P是E右支上一点，∴49c264故E的离心率为26故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．题型6由位置关系求离心率范围【解题技巧】椭圆x2a2+y双曲线x2a2−y【例1】（2022秋•浉河区校级期末）已知双曲线x2a2−y2b2=1A．（1，5） B．（1，5] C．（5，+∞） D．[5，+∞）【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为y=bax∴双曲线的离心率e=c故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，不等式思想，属基础题．【例2】（2022秋•商丘期末）已知椭圆C关于x轴、y轴均对称，焦点在y轴上，且焦距为2c（c＞0），若点A(c，62c)不在椭圆A．[33，1) B．(0，33【分析】设出椭圆方程，由于A(c，62c)不在椭圆C的外部，得到6c24a2+c2b2≤1，结合【解答】解：设椭圆C的方程为y2因为A(c，62c)不在椭圆C的外部，所以6c24a2+所以6c24a2+c2a2−c同除以a4得：6e4﹣14e2+4≥0，结合e∈（0，1），解得：0＜e2≤故选：B．【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．题型7由角度关系求离心率范围【解题技巧】椭圆x2a2+y双曲线x2a2−y【例1】（2022秋•南岗区校级期末）设双曲线的方程为x2a2−yA．233 B．533 C．【分析】先由斜率公式得出ba【解答】解：由题意得k=b−0∴ba=3故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，两点的斜率公式，化归转化思想，属基础题．【例2】（2023春•杭州月考）双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以F1，F2为直径的圆O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P，Q，点B为圆O与y轴正半轴的交点，若∠【分析】等价转化、数形结合求解【解答】解：∵∠POF2＝∠QOB，∴∠QOF2＝∠POB，双曲线的一条渐近线方程为y=bax，则tan∠QOF2以线段F1F2为直径的圆的方程x2+y2＝c2，联立x2+y∴tan∠POB=ab2+c∵e2＝1+b2a2，∴2+1e2−1=故答案为：5+1【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．题型8由长度关系求离心率范围【解题技巧】椭圆x2a2+y双曲线x2a2−y【例1】（2023春•项城市月考）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点M在双曲线的右支上，满足MF⊥xA．2 B．52 C．5+12【分析】根据题意设M点为（c，yM），代入双曲线方程得到c2﹣a2＝ac，整理即可求解．【解答】解：因为|OF|＝c，设M点为（c，yM），代人x2a2−y则c2﹣a2＝ac，又e＞1，故e=1+故选：C．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．【例2】（2023春•仁寿县月考）设双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交与B，C两点，过B，C分别作AB，AC的垂线交与DA．（1，2] B．[2，+∞) C．(【分析】设D（x，0），则由BD⊥AB得，−−b2ac−x⋅b2a【解答】解：由题意，A(a，0)，B(c，b由双曲线的对称性可知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得：−−b2∵D到BC的距离不小于a+c，∴|c−x|=|b∴b4a2≥c2−a2=∴e≥2故选：B．【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题．题型9由面积关系求离心率范围【解题技巧】椭圆x2a2+y双曲线x2a2−y【例1】（2023•五华区校级模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，P为椭圆上一点，直线AP与直线交于点M，∠PFB的角平分线与直线x＝a交于点N，若PF⊥AB【分析】由题意知，A（﹣a，0），B（a，0），F（c，0），可得|PF||AF|=|MB|【解答】解：由题意知，A（﹣a，0），B（a，0），F（c，0），当PF⊥AB时，|PF|=b2a，由|PF||AF|=|MB||AB|又∠PFB的角平分线与直线x＝a交于点N，可知|NB|＝|BF|＝a﹣c，∴|MB||NB|S△MABS△NFB=1∴椭圆C的离心率是13故答案为：13【点评】本题考查离心率的计算，考查三角形的面积，属中档题．【例2】（2022秋•南岸区校级期末）设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且∠F1PF2A．1 B．2 C．4 D．8【分析】根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，求解即可得出答案．【解答】解：设|PF2|＝m，|PF1|＝n，∵∠F1PF2＝120°，△F1PF2的面积为43∴|n﹣m|＝2a，12mnsin120°=433，4c2＝（n﹣m）2+3mn＝4a又双曲线C：x2a2−y2b2故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．最新模拟一、选择题1．（2023•南昌县校级二模）如图，F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A、B（）A．4 B．3 C．352 【答案】D【题型】定义法求离心率【解析】解：∵|AB|＝8，|BF2|＝6，|AF2|＝10，∵|AB|2+|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AF2|﹣|AF1|＝2a，∴|AF1|+8﹣6＝10﹣|AF1|，∴|AF1|＝4．∴|BF1|﹣|BF2|＝8+4﹣6＝2a，∴a＝3．在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2+|BF2|2＝122+62＝180，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝180，∴c＝35．∴双曲线的离心率e=3故选：D．2．（2023•西固区校级二模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=3x与CA．3+12 B．3 C．3+1【答案】C【题型】几何关系法求离心率【解析】解：显然直线y=3x与F1F2交于原点由双曲线对称性知，若四边形AF1BF2是矩形，则|AB|＝|F1F2|，设点A（x1，y1），B（x2，y2），而F1（﹣c，0），F2（c，0）由y=3xx2a2−y2b2=1得，（b2﹣3a则|AB|=1+(3化简得b4﹣6a2b2﹣3a4＝0，即(b2a2)则e=c故选：C．3．（2023•郑州模拟）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的上顶点为B，斜率为32的直线A．22 B．33 C．12【答案】A【题型】由位置关系求离心率范围【解析】解：B（0，b），F（c，0），设MN的中点为Q（x0，y0），∵F为△BMN的重心，∴BF→从而（c，﹣b）＝2（x0﹣c，y0），可得x0=3c再设M（x1，y1），N（x2，y2），则x12a两式作差可得：(x∴kMN整理得：a2＝2bc，∴b2+c2﹣2bc＝0，即b＝c，a=b∴e=c故选：A．4．（2023•咸阳二模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，关于原点对称的两点A、BA．103 B．102 C．52【答案】B【题型】由向量求离心率范围【解析】解：设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'，CF'，由以AB为直径的圆恰好过右焦点F可得AF⊥BF，由双曲线的对称性得四边形AFBF'为矩形，可设|BF|＝t，则|FC|＝3t，|BF'|＝2a+t，|CF'|＝3t+2a，在直角三角形CBF'中，可得|BC|2+|BF'|2＝|CF'|2，即为（4t）2+（2a+t）2＝（3t+2a）2，解得t＝a，又在直角三角形BFF'中，|BF|2+|BF'|2＝|FF'|2，即为t2+（2a+t）2＝4c2，即为a2+9a2＝10a2＝4c2，即有e=c故选：B．5．（2022•杭州模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为A．255 B．55 C．4【答案】B【题型】几何关系法求离心率【解析】解：左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，∴|AF1|＝|AF2|＝a，设|BF1|＝n，则|BF2|＝2a﹣n，由AF2⊥BF2，根据勾股定理，有AB即（a+n）2＝a2+（2a﹣n）2，解得n=23a由A（0，b），F1（﹣c，0），|AF1|＝a，|BF1|=23a，∴B(−53c，−23故椭圆离心率为e=c故选：B．6．（2022秋•梅河口市校级期末）直线l：y=3x与椭圆C：x2a2+y2b2A．4−23 B．23−3 C．3【答案】C【题型】由向量求离心率范围【解析】解：如图，设椭圆C的左焦点为F'，由对称性知：PF'QF为平行四边形，∴|PF'|＝|QF|，∴|PF|+|PF'|＝|PF|+|QF|＝2a，∵PF→⋅QF→=0，∴PF⊥QF，∴四边形PF'QF为矩形，∴|PQ又tan∠POF=3，∴∠POF=π3，又|OF|＝|OQ∴|PF|=2csinπ6=c，∴椭圆的离心率e=c故选：C．二、填空题7．（2022•苏州模拟）已知F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x=a2+b2a【答案】(【题型】几何关系法求离心率【解析】解：设P（m，n），则Q(a2+b2a所以m=a2+所以﹣1＜2﹣2e﹣e2＜1，可得2−1＜e＜1故答案为：(28．（2022秋•朝阳期末）已知点F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且满足【答案】5【题型】由长度关系求离心率范围【解析】解：如图所示，设|AF1|＝4x，x＞0，则|AB|＝3x，∵AF1⊥AB，∴|B又|AF1|+|AB|+|BF1|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF2|+|BF1|）＝4a＝12x，∴x=a∴|AF1由勾股定理可得|AF1|2∴该椭圆的离心率为e=c故答案为：539．（2023春•商丘月考）过双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，过A，B分别作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P【答案】1+【题型】由长度关系求离心率范围【解析】解：如图所示，作AM⊥BQ，垂足为M，设双曲线的半焦距为c（c＞0），在x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)中，令x＝﹣c又|PQ|＝2b，所以2b3ac=2b，得b2＝ac，得c2﹣a2＝ac，得c2﹣a得e2﹣e﹣1＝0，解得e=1±(−1)2故双曲线的离心率为1+5故答案为：1+510．（2022秋•潮阳区期末）已知F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，过F1的直线与双曲线E的左支交于A，B两点，若|BF2|：|AB|：|AF2|＝5：12：13，则双曲线E的离心率为．【答案】29【题型】由长度关系求离心率范围【解析】解：由题意可设|BF2|＝5t（t＞0），则|AB|＝12t，|AF2|＝13t，由勾股定理易知AB⊥BF2，又由双曲线定义可知|BF2|+|AF2|﹣|AB|＝4a＝6t，∴2a＝3t，又|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a＝3t，∴|AF1|＝|AF2|﹣3t＝10t，|BF1|＝|BF2|﹣3t＝2t，∴2c=|F∴离心率e=2c故答案为：29311．（2023•叙州区校级模拟）双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)​的左顶点为A​，右焦点F（c，0）​，若直线x＝c【答案】2【题型】由三角形三边关系求离心率范围【解析】解：联立x=cx2a2−∵点B、C​关于x​轴对称，且F​为线段BC​的中点，∴|AB|＝|AC|​，又△ABC为等腰直角三角形，∴|BC|＝2|AF|，∴2b2a=2(c+a)，∴a（c+a）＝b2＝c2∴a＝c﹣a，∴c＝2a，∴该双曲线的离心率为e=c故答案为：2．12．（2023•丽水模拟）已知F1，F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，若E上存在不同的两点A【答案】(【题型】由向量求离心率范围【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），又F1（﹣c，0），F2（c，0），∴F1∵F1A→=3F2B→，∴（x1+c，y1）＝3（x2又x12a2+又E上存在不同的两点A，B，且F1A→=3F又0＜e＜1，∴12故答案为：(113．（2023•新城区校级一模）已知双曲线C：x2a2−y2b【答案】3【题型】由长度关系求离心率范围【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)即3b=7c，9b2＝7c2，所以9（c2﹣a2）＝7c2，解得所以离心率为e=c故答案为：32真题在线一．选择题1．（2022•甲卷）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于yA．32 B．22 C．12【答案】A【题型】由位置关系求离心率范围【解析】解：已知A（﹣a，0），设P（x0，y0），则Q（﹣x0，y0），kAP=y0x0+a，kAQ=y0a−x0，故∵x02a2②代入①整理得：b2a2=故选：A．2．（2021•乙卷）设B是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点，若CA．[22，1） B．[12，1） C．（0，22] 【答案】C【题型】由长度关系求离心率范围【解析】解：点B的坐标为（0，b），设P（x0，y0），则x02a2+y02b2故|PB|2＝x02+（y0﹣b）2＝a2（1−y02b2）+（y0﹣b）2=−c2b2y02﹣2by0+a2+b2又对称轴y0=−b3c2＜0，当−b则当y0＝﹣b时，|PB|2最大，此时|PB|＝2b，故只需要满足−b3c2≤−b，即b2≥c2，则a2﹣c2≥c又0＜e＜1，故e的范围为（0，22当−b3c2＞−b时，即b＜c时，则当y0=−此时|PB|2=b4c2+a2+b2=b4c2+2b2+c当且仅当b4c2=c2即又b＜c，所以|PB|2＞4b2，即|PB|＞2b，故不满足题意，综上所述的e的范围为（0，22方法二：根据题意，有B（0，b），设P（x0，y0），则|PB|≤2b⇔x02+（y0﹣b）2≤4b2，也即a2（1−y02b2）+（y0﹣b）不妨设b＝1，则∀y0∈[﹣1，1]，（a2﹣1）y02+2y0﹣a2+3≥0，也即∀y0∈[﹣1，1]，（y0+1）[（a2﹣1）y0﹣a2+3]≥0，也即∀y0∈[﹣1，1]，（a2﹣1）y0﹣a2+3≥0，从而可得（a2﹣1）（﹣1）﹣a2+3≥0⇔a∈（1，2]，从而离心率的取值范围为（0，22故选：C．3．（2021•天津）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于CA．2 B．3 C．2 D．3【答案】A【题型】由长度关系求离心率范围【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为x=−p由题意可得：p2=a2+可得A（−a2+b2，b2aC（−a2+b2，ba2所以|AB|=2b2a，|由|CD|=2|AB|，解得：c=2a，所以双曲线的离心率e故选：A．4．（2019•天津）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点AA．2 B．3 C．2 D．5【答案】D【题型】由长度关系求离心率范围【解析】解：∵y2＝4x的焦点为F，准线为l．∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，∵l与双曲线x2a2−y2b2=且|AB|＝4|OF|（O为原点），∴|AB|=2ba，|OF|＝1，∴2ba=4，∴∴c=a2+b故选：D．5．（2019•新课标Ⅱ）设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于PA．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【题型】由长度关系求离心率范围【解析】解：如图，由|PQ|＝|OF|，可知PQ过点（c2，0），由图可得a=22c故选：A．6．（2016•新课标Ⅱ）已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与xA．2 B．32 C．3 【答案】A【题型】由余弦值求离心率范围【解析】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则|MF1|=b2a，|MF2∴sin∠MF2F1=13，∴b2a4c2+b4a2=13又c2＝a2+b2，可得2e2﹣e−2=0，e＞1，解得e故选：A．7．（2015•福建）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点，若|AF|